统计软件SAS讲义 T平方测验与多元方差分析

1、高级生物统计学第一章 预备知识第二章 T平方测验与多元方差分析第三章 主成分分析第四章 因子分析第五章 典型相关分析第六章 多元回归分析第七章 通径分析第八章 多元相关分析第九章 聚类分析第十章 判别分析第二章 T平方测验与多元方差分析Chapter II T2 Test & MANOVA第二节 多元方差分析第一节 平方测验统计测验Statistical Test 回顾单变量情况的 t 测验。 一些常见的例子: 1. 产品检验: 某产品某个技术指标值为 ,现从一批该产品中抽取大小为 的样本，测得样本平均数为 ，标准差为 ，试测验该批产品的该技术指标平均数 是否与已知的 间有显著差异。 2. 品

2、种比较: 调查A品种 株，平均产量为 ,标准差为 ；调查B品种 株，平均产量为 ,标准差为 ；试测验两品种的真正产量 与 之间有无显著差异。统计测验Statistical Test 单个样本平均数的测验 测验某样本所来自的总体平均数（ ）是否与某已知总体的平均数（ ）有显著差异的统计测验。 测验的步骤: 1. 设假设 H0: = vs HA: 2. 计算统计量： 3. 此统计量服从自由度为 的 分布，可以在 分布表上查得出现此值的概率。当 时，判 定 与 的差异显著；若 则差异极显著。 第一节 T平方测验 T-Square Test 现在依然是讨论第一个常见例子: 1. 产品检验: 某产品某个

3、技术指标值为 ,现从一批该产品中抽取大小为 的样本，测得样本平均数为 ，标准差为 ，试测验该批产品的该技术指标平均数 是否与已知的 间有显著差异。 只是现在不再是单个变量而是多个变量了，即： 1. 产品检验: 某产品 个技术指标值为 维向量 ,现从一批该产品中抽取大小为 的样本，测得样本平均数向量为 ，方差协方差向量为，试测验该批产品的这些技术指标平均数向量 是否与已知的 间有显著差异。 第一节 T平方测验 T-Square Test 在单变量的样本平均数的测验中，计算的统计量是：此统计量服从 的 分布 将此统计量平方变成：此统计量服从 的 分布，因此单变量的样本平均数测验也可以用 测验进行，

4、效果是一样的。 第一节 T平方测验 T-Square Test 如果考察的有 项指标，统计量用矩阵形式表示为：其中 为 维，其转置阵为 维， 是方差协方差矩阵的逆阵， 维。 是一个数字。因为 此统计量又可以用平方和乘积和矩阵 表示为： 极少统计书提供 Hotelling T2分布表。 此统计量服从Hotelling 2分布。算出2后，与2分布表值比较，便可以判断差异是否显著。 第一节 T平方测验 T-Square Test 如果考察的有 项指标，统计量用矩阵形式表示为：其中 为 维，其转置阵为 维， 是方差协方差矩阵的逆阵， 维。 是一个数字。因为 此统计量又可以用平方和乘积和矩阵 表示为：

5、统计学家发现2分布与分布有如下关系： 第一节 T平方测验 T-Square Test 或：此统计量服从的分布。 统计学家发现2分布与分布有如下关系：此统计量又可以用平方和乘积和矩阵 表示为： 第一节 T平方测验 T-Square Test 或：此统计量服从的分布。 现在可以将2测验的步骤归纳以下了。特别地，当时，此式与前面的 完全一致。 第一节 T平方测验 T-Square Test 2测验的步骤： 1. 设假设 H0: = vs HA: 2. 计算统计量： 多元统计可取较低的显著水平，例如 。 3. 此统计量服从的 分布，可以 在 分布表上查得出现此值的概率。当 时， 判定 与 的差异显著；

6、否判断差异不显著。 第一节 T平方测验 T-Square Test 2测验的例子： 某产品的四个关键性指标的验收标准为： 现从某批产品中抽取 的样本，数据如下表。试用95%的置信度测验这批产品是否符合验收标准。 (表中数据参阅课本第49页表2.1） 第一节 T平方测验 T-Square Test 利用数据可以算出： 于是得到： 第一节 T平方测验 T-Square Test 或者利用方差协方差矩阵计算： 同样得到： 第一节 T平方测验 T-Square Test 换算为当 时，现在 ，判断 所来自的总体的 与 之间有显著差异。 如果对四个指标分别进行单变量的平均数 测验，他们的 值分别为当 时

7、， 只有第4个变量与验收指标有显著差异。 若删除第4个指标重作2测验，会发现 与 之间无显著差异。 第二节 多元方差分析 Multiple ANOVA单向分类的多元方差分析基本原理两向分类（不带互作）的多元方差分析两向分类（带互作）的多元方差分析任意试验设计资料的多元方差分析 第二节 多元方差分析 Multiple ANOVA 基本原理： 多元方差分析的基本原理与单变量的方差分析的基本原理基本一致，只是将一个变量推广到多个变量。 让我们回顾一下关于单变量的方差分析的基本思路。 在方差分析中数据的变异用方差来衡量。 方差分析Analysis of Variance (ANOVA)方差分析的基本思

8、路: 将试验数据的总变异分解为已知的若干可控因子引起的变异，扣除这些可控因子引起的变异后，把剩余的变异当作为由误差引起的，再将要考察的因子引起的变异与误差引起的变异比较，如果待考察的因子引起的变异显著地大于误差引起的变异，便判定该因子对试验指标有显著的效应，拒绝H0，,接受HA ；否则，判定该因子对试验指标没有显著的效应，接受H0 ，拒绝HA 。 在方差分析中数据的变异用方差来衡量。 第二节 多元方差分析 Multiple ANOVA 当变量数变成 时 ，用方差协方差距阵来衡量变异。 而方差和协方差是分别用平方和及乘积和除以相应的自由度计算出来的。因此在多元方差分析中要将总的平方和乘积和矩阵分

9、解为各个可控因素的平方和乘积和矩阵和误差引起的平方和乘积和矩阵。同时将总自由度也进行相应的分解。 在一元方差分析中用 测验来比较两个不同变异来 源的方差。但在多元方差分析中，不是两个方差之比而是两个不同变异来源的矩阵之比了。因此要寻 求另一种测验方法。 第二节 多元方差分析 Multiple ANOVA 在多元方差分析中，要计算的统计量是： 其中， 为误差平方和乘积和矩阵； 为欲测验可控因素的平方和乘积和矩阵。此统计量服从的分布。其中 为变量数， 为 矩阵的自由度， 为 矩阵的自由度， 为显著水准。 注意：这里的 中，误差项放在分子，而在一元方 差分析中的 统计量中，误差放在分母。所以， 越大

10、越显著，而 则越小越显著。 第二节 多元方差分析 Multiple ANOVA它近似服从 分布。其中当 时， 否则当 不为整数时，用最接近的整数查 表。 很少统计书提供 分布表。不断有人研究 分布与其它分布的关系。 国外大多数统计软件上采用Rao提出的近似公式。该公式把 转换为 ： 注意：当转换为 后，又变成 越大越显著了。 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA 举例子说明此法的步骤:有一个完全随机设计的作物 品种试验，五个品种(A1,A2, A3,A4,A5), 三次重复，对每个品种记录了四项指标（产量指标 ,抗性指标 ,质量指标 ,经济指标 )。数据如右表，现欲综合考虑这四

11、个指标，看这五个品种之间是否有显著的差异。 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA一、分别对四个变量进行单向分类平方和分解: 二、分别对两两变量间进行乘积和分解: 三、用上述品种间平方和及品种间乘积和构成 ： 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA8266.67-540.00-540.0040.0040.004653.334653.333092.4018.4018.40-1164.73-1164.7319.066784.26784.2673551.73 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA四、用上述误差平方和及误差乘积和构成： 单向分类的多元方差分析

12、 One-way MANOVA37916.675935.005935.00426.67426.674158.00462.33462.33308.667-44.667-44.667494.67-686.67-686.67314.00314.00一、分别对四个变量进行一元的单向分类方差分析: 三、用上述品种间平方和及品种间乘积和构成 ： 分析步骤:二、分别对两两变量间进行单向分类协方差分析: 四、用上述误差平方和及误差乘积和构成： 六、求出 的行列式值； 五、将 与 相加得和矩阵，求和矩阵的行列式值 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA本例中， 。用它除以和矩阵的行列式值得到:一、

13、分别对四个变量进行一元的单向分类方差分析: 三、用上述品种间平方和及品种间乘积和构成 ： 分析步骤:二、分别对两两变量间进行单向分类协方差分析: 四、用上述误差平方和及误差乘积和构成： 六、求出 的行列式值； 五、将 与 相加得和矩阵，求和矩阵的行列式值 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA本例中， 。用它除以和矩阵的行列式值得到:七、将 换算为 ，并算出 的自由度，查出 进 行统计推断。 Rao的换算公式：本例中， 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA查表 df1=16，df2=22 F0.05=2.13因为F=2.45 F0.05=2.13判断这五个品种之间

14、在四项指标上具有显著差异。 统计结论: 单向分类的多元方差分析 One-way MANOVA对四个指标进行一元方差分析发现只有经济效益指标X4的 F 检验是显著的。作经济效益指标X4品种间的多重比较，发现品种1的均值极显著的高于其它的品种。 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA 举例子说明此法的步骤:有一个随机区组设计的作物 品种试验，五个品种(A1,A2, A3,A4,A5), 三次重复，对每个品种记录了四项指标（产量指标 ,抗性指标 ,质量指标 ,经济指标 )。数据如右表，现欲综合考虑这四个指标，看这五个品种之间是否有显著的差异。一、分别对四个变量进行一元的两向分类方差分析

15、: 二、分别对两两变量间进行两向分类协方差分析: 三、用上述品种间平方和及品种间乘积和构成 ： 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA8266.67-540.00-540.0040.0040.004653.334653.333092.4018.4018.40-1164.73-1164.7319.066784.26784.2673551.73 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA四、用上述误差平方和及误差乘积和构成： 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA22753.335620.005620.001547.671547.672988.00330.33

16、330.33184.533-133.267-133.267391.07-111.00-111.00-19.00-19.00 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA本例中， 。 用它除以和矩阵的行列式值得到: 一、分别对四个变量进行一元的两向分类方差分析: 三、用上述品种间平方和及品种间乘积和构成 ： 对品种间差异显著性测验的分析步骤:二、分别对两两变量间进行两向分类协方差分析: 四、用上述误差平方和及误差乘积和构成： 六、求出 的行列式值； 五、将 与 相加得和矩阵，求和矩阵的行列式值 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA一、分别对四个变量进行一元的两向分类方差分

17、析: 三、用上述品种间平方和及品种间乘积和构成 ： 对品种间差异显著性测验的分析步骤:二、分别对两两变量间进行两向分类协方差分析: 四、用上述误差平方和及误差乘积和构成： 六、求出 的行列式值； 用它除以和矩阵的行列式值得到 。 五、将 与 相加得和矩阵，求和矩阵的行列式值 本例中， 。七、将 换算为 ，与 表查得的值比较，作出统计 推断。本例中 ,差异显著。 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVAeQ一、分别对四个变量进行一元的两向分类方差分析: 三、用上述区组间平方和及区组间乘积和构成 ： 对区组间差异显著性测验的分析步骤:二、分别对两两变量间进行两向分类协方差分析: 四、用

18、上述误差平方和及误差乘积和构成： 六、求出 的行列式值； 用它除以和矩阵的行列式值得到 。 五、将 与 相加得和矩阵，求和矩阵的行列式值 本例中， 。七、将 换算为 ，与 表查得的值比较，作出统计 推断。本例中 ,差异不显著。 两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVAeQ 在两向分类资料中，当每种处理组合（即两个分类因素的不同水平的搭配方式）有多于一个观察值时，可以考察因子间的交互作用。 带互作的两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA with Interaction 当试验中只考虑一种性状时，只收集了一个变量的数据。单变量的方差分析方法已经在第一章讨论过，这里讨论多变量的情况。 用一个例子说明分析的步骤。 带互作的两向分类的多元方差分析 Two-way MANOVA with Interaction 例2.4 一个作物品种和种植密度的试验，有五个 品种(A1、A2、A3、A4、A5),三种种植密度(B1、B2、B3), 共53=15个处理组合。试验中每处理组合种植了2个 小区，全试验共有152=30个试验小区。对于每个小 区，观