新人教版九年级下册初中数学 课时2 余弦、正切函数 教案（教学设计）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十八章 锐角三角函数28.1 锐角三角函数课时2 余弦、正切函数【知识与技能】1.探索直角三角形的锐角确定时,它的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是固定值,从而引出余弦、正切的概念.2.了解锐角三角函数的概念,理解锐角的余弦、正切的概念并能根据余弦、正切的概念进行计算.【过程与方法】1.结合正弦的概念探索锐角的余弦、正切的概念的形成,培养学生类比推理的能力.2.通过探究锐角的余弦、正切的概念的形成,体会由特殊到一般的数学思想方法,培养学生的归纳推理能力.3.通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生观察、比较、

2、分析、概括等逻辑思维能力.【情感态度与价值观】1.通过观察、思考、交流、总结等数学活动,体验数学学习充满着探索与发现,培养学生积极思考,勇于探索的精神.2.通过主动探索,合作交流,增强学生的合作意识,体验成功的快乐,增强学生学习数学的信心.3.培养学生敢于发表自己的想法,勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯,形成实事求是的科学态度. 理解余弦、正切的概念,并会求锐角的余弦值、正切值. 类比正弦的概念,探索余弦、正切的概念. 多媒体课件. 导入一:【复习提问】1.在直角三角形中,当一个锐角的大小一定时,它的对边与斜边的比有什么规律?2.什么是正弦?如何求一个角的正弦?3.探究正弦

3、的概念时,我们用了什么方法?导入二:观察两个大小不同的三角板,当角是30,45,60时,它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.过渡语类比探究正弦的方法,在直角三角形中,当锐角的度数一定时,它的邻边与斜边、对边与邻边的比也是固定的值,这就是我们这节课要学习的内容.设计意图通过复习提问,回忆上节课的探究方法,用类比的方法探究本节课的内容,为本节课的学习做好铺垫.计算直角三角板中特殊角的邻边与斜边、对边与邻边的比,归纳规律,很自然地引出本节课要学习的概念,同时培养学生计算、观察、猜想的能力. 一、新知探究思路一【思考】在不同的直角三角形中,当锐角A的度数相同时,它们的邻边与斜边的

4、比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?【师生活动】教师提示类比上节课的证明思路,学生独立完成证明过程,学生代表板书,教师规范证明过程.已知:如图,在RtABC和RtABC中,C=C=90,A=A=.求证:=,=.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,共同得出结论,教师对学生的展示进行点评.【板书】证明:因为C=C=90,A=A=,所以RtABCRtABC,因此,=,即=.同理可得=,即=.【思考】大家能不能得出锐角B的度数一定时,B的邻边与斜边、B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?学生思考回答,教师点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个

5、角的邻边与斜边的比都是一个固定值.2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.思路二如图,在RtAB1C1和RtAB2C2中,AC1B1=AC2B2=90.【思考】(1)RtAB1C1与RtAB2C2之间有什么关系?(RtAB1C1RtAB2C2)(2)与,与之间各有什么关系?=,=(3)在射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3AC1,垂足为C3,则与,与之间有什么关系?=,=(4)根据以上思考,你得到什么结论?(直角三角形中A的邻边与斜边、对边与邻边的比是固定不变的)(5)如果改变A的大小,上边的比值是否变化?归纳你的结论.

6、【师生活动】教师提出问题,学生思考后小组合作交流,共同归纳结论,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的回答作出点评.【课件展示】1.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.2.在直角三角形中,当锐角的度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.设计意图在教师提出的问题的引导下,学生通过小组合作交流,类比上节课探究问题的方法,经过观察、讨论、验证等数学活动,归纳出结论,为归纳理解三角函数的定义做好铺垫,同时培养学生的归纳总结能力.二、形成概念过渡语在直角三角形中,锐角的度数一定时,角的邻边与斜边

7、、对边与邻边的比是固定值,我们把这两个固定值分别定义为余弦和正切.【课件展示】如图,在RtABC中,C=90,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cos A,即cos A=.同样,把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=.【思考】当A的大小变化时,sin A,cos A,tan A是否变化?对于锐角A的每一个确定的值,sin A,cos A和tan A是否有唯一的值和它对应?【师生活动】学生思考回答,教师引导点评.归纳:sin A,cos A,tan A都是A的函数.【课件】锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数.设计意图教师根据上边的总结验证,类

8、比正弦的概念形成,引导学生认识理解余弦、正切的概念,教师可以强调概念中需注意的事项,加深学生对锐角三角函数的概念的理解和掌握.三、例题讲解如图,在RtABC中,C=90,AB=10,BC=6,求sin A,cos A,tan A的值.【思考】(1)根据余弦、正切的定义,要求cos A,tan A的值必须求出哪条边的长?(2)怎样求出AC的长?【师生活动】学生思考后回答问题,然后书写解题过程,小组交流结果,小组代表板书过程.【课件展示】解:由勾股定理得AC=8,所以sin A=,cos A=,tan A=.(补充拓展)如图,在RtABC中,C=90,BC=6,sin A=,求cos A,tan

9、B的值.【解析】(1)已知sin A和BC的值,根据正弦的定义,可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?(3)根据余弦、正切的定义,你能求出cos A,tan B的值吗?【师生活动】学生独立思考完成,小组内交流答案,教师帮助有困难的学生,对学生的答案进行点评.解:sin A=,AB=6=10.又AC=8,cos A=,tan B=.设计意图在教师提出的问题的引导下,学生独立思考完成,教师对学生的结果进行点评,让学生根据概念求出各三角函数值,加深学生对概念的理解和掌握,同时让学生综合运用勾股定理、三角函数的概念进行有关计算,培养学生综合运用数学知识解决问题的能力.知识拓展

10、(1)余弦和正切都是一个比值,没有单位.(2)余弦值和正切值只与角的大小有关,而与三角形的大小无关.(3)cos A,tan A都是一个整体符号,不能写成cosA,tanA.(4)当用三个字母表示角时,角的符号“”不能省略,如tanABC.(5)在RtABC中,C=90,由于sin A=,cos A=,sin B=,cos B=,tan A=,tan B=,因此,sin A=cos B,cos A=sin B,tan Atan B=1.在RtABC中,C=90,a2+b2=c2.sin A=,cos A=,tan A=,sin2A+cos2A=1,tan A=. 1.在直角三角形中,当锐角A的

11、度数一定时,无论这个直角三角形的大小如何,A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值.2.余弦、正切的定义:在RtABC中,C=90,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cos A,即cos A=.把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=.3.三角函数的定义:锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数. 第2课时1.新知探究2.形成概念在RtABC中,C=90,则cos A=,tan A=.3.例题讲解例1例2 一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则tan B的值是()A.B.C.D.2.在RtA

12、BC中,C=90,BC=1,AC=2,则tan A的值是()A.2B.C.D.3.在RtABC中,C=90,tan A=,BC=8,则AC等于()A.6B.C.10D.124.如图,若cos =,则sin 的值为()A.B.C.D.5.小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A在BC上的点E处,还原后,再沿过点E的直线折叠,使点A落在BC上的点F处,这样就可以求出67.5的角的正切值是()A.+1B.+1C.2.5D.6.如图,将AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tanAOB=.7.如图,AB是O的直径,AB=15,AC=9,连接BC,则ta

13、nADC=.8.在RtABC中,C=90,tan A=,AB=26.求cos B及AC的长.【能力提升】9.如图,A,B,C三点在正方形网格线的交点处(每个小正方形的边长均为1).若将ACB绕着点A逆时针旋转到如图的位置,得到ACB,使A,C,B三点共线,则tanBCB的值为.10.如图,AB是O的直径,且AB=5,CD是O的弦,AD与BC相交于点E,若CD=2,则cosBED=.11.如图,在RtABC中,C=90,AM是BC边上的中线,sinCAM=,则tan B的值是.12.如图,在ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cosDAC.(1)求证：AC=BD.(2)若sin C=,BC

14、=12,求AD的长.【拓展探究】13.如图,在RtABC中,C=90,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设CAD=.(1)求sin ,cos ,tan 的值；(2)若B=CAD,求BD的长.【答案与解析】1.D解析:在RtABC中,由勾股定理可得AC=4,tan B=.故选D.2.B解析:在RtABC中,C=90,AC=2,BC=1,tan A=.故选B.3.A解析:tan A=,BC=8,AC=BC=6.故选A.4.D解析:cos =,设的邻边长为k,斜边长为10k,由勾股定理可得的对边长为=3k,sin =.故选D.5.B解析:注意折叠前后对应点关于对称轴对称,也就是说ABE和AEF都

15、是等腰三角形,进而得到67.5的角为FAB.设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求得AE=EF=x,于是BF=(+1)x.在直角三角形ABF中,tanFAB=+1=tan67.5.故选B.6.解析:过点A作ADOB,垂足为D,如图.在RtAOD中,AD=1,OD=2,则tanAOB=.7.解析:AB为O的直径,ACB=90.AB=15,AC=9,根据勾股定理,得BC=12.ADC和ABC是同弧所对的圆周角,ADC=ABC.tanADC=tanABC=.8.解:在RtABC中,C=90,tan A=,设BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=k,k=26,k=2,BC=

16、2k=4,AC=3k=6,cos B=.AC的长为6,cos B=.9.2解析:如图,连接BD,由正方形网格利用勾股定理得BC=,CD=,BD=2,则CD2+BD2=BC2,所以CDBD,则tanBCB=2.10.解析:如图,连接BD,则ADB=90,易知CDA=ABC,C=A,CEDAEB,=.在RtBED中,EDB=90,cosBED=.11.解析:在RtAMC中,sinCAM=,设MC=3x,AM=5x,则AC=4x.由题意知M是BC的中点,BC=2MC=6x.在RtABC中,tan B=.12.(1)证明:AD是BC边上的高,ADBC,ADB=90,ADC=90.在RtABD和RtAD

17、C中,tan B=,cosDAC=.又tan B=cosDAC,=,AC=BD.(2)解:在RtADC中,sin C=,故可设AD=12k,AC=13k,CD=5k.BC=BD+CD,又AC=BD,BC=13k+5k=18k.BC=12,18k=12,k=,AD=12k=12=8.13.解:在RtACD中,AC=2,DC=1,AD=.(1)sin =,cos =,tan =.(2)在RtABC中,tan B=,即tan =,BC=4,BD=BC-CD=4-1=3. 本节课的主要内容是在上节课的基础上,用类比的方法探究余弦和正切的定义,在教学设计中,通过复习上节课探究正弦的方法和技巧,为本节课学生的自主学习打下基础.在探究活动中,教师