2022年二次函数复习教案附练习试卷

1、学习好资料 欢迎下载二次函数 学问讲解一般地,假如y=ax2+bx+c （a,b, c 是常数且a 0）,那么 y 叫做 x 的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必需是非零实数时才是二次函数,这也是判定函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时,二次函数 y=ax 2 是最简洁的二次函数二次函数 y=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数, a 0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx 1）（x x2）,通常要知道图像

2、与 x 轴的两个交点坐标 x1,x 2 才能求出此解析式；对于 y=ax 2+bx+c 而言,2其顶点坐标为（b,4 ac b）对于 y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h,k）,.2 a 4 a由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向,对称轴,顶点2二次函数 y=ax 2+bx+c 的对称轴为 x=b,最值为 4 ac b,（ k0 时为最小值,2 a 4 ak0）个单位得到函数 y=ax 2 k,将 y=ax 2 沿着 x 轴（右“ ” ,左“ ” ）平移 h（h0）个单位得到 y=a（ x h）2 .在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,如沿 y.轴

3、平移就直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减）,如沿 x 轴平移就直接在含 x 的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点抛物线 y=ax 2+bx+c 的图像位置及性质与 a,b,c 的作用： a 的正负打算了开口方向,学习好资料 欢迎下载当 a0 时,开口向上, 在对称轴 x= b 的左侧, y 随 x 的增大而减小； 在对称轴 x=b2 a 2 a的右侧, y 随 x 的增大而增大, 此时 y 有最小值为 y= 4 ac b 2,顶点（b,4 ac b 2）4 a 2 a 4 ab为最低点；当 a0

4、 时,开口向下,在对称轴 x=的左侧, y 随 x 的增大而增大,在对2 a称轴 x=b 的右侧, y 随 x 的增大而增大,此时 y 有最大值为 y= 4 ac b 2,顶点（,2 a 4 a24 ac b）为最高点a 的大小打算了开口的宽窄,a 越大,开口越小,图像两边4 a越靠近 y 轴, a 越小,开口越大,.图像两边越靠近 x 轴； a,b 的符号共同打算了对称轴的位置, 当 b=0 时,对称轴 x=0,即对称轴为即对称轴在y 轴左侧,垂直于x 轴负半轴,当y 轴,当 a,b 同号时, 对称轴 x=b 0,即对称2 a轴在 y 轴右侧,垂直于 x 轴正半轴； c.的符号打算了抛物线与

5、 y 轴交点的位置,c=0 时,抛物线经过原点,c0 时,与 y 轴交于正半轴；c0,开口向上,又 y=x 2 x+m=x 2x+（1）21 +m= （x1）2+4 m 12 4 2 4对称轴是直线 x=1,顶点坐标为（1,4 m 1）2 2 4学习好资料欢迎下载（2）顶点在x 轴上方,顶点的纵坐标大于0,即4 m410 m1 4m1 4时,顶点在x 轴上方（3）令 x=0 ,就 y=m 即抛物线 y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是A （0,m）AB x 轴B 点的纵坐标为 m当 x 2 x+m=m 时,解得 x 1=0,x2=1A（0,m）,B（1,m）在 Rt BAO 中, AB=1

6、,OA= m SAOB =1 2OA AB=4 2x+8 或 y=x2x81 2 m 1=4, m= 8 故所求二次函数的解析式为y=x【点评】正确懂得并把握二次函数中常数 解答此题的关键之处a,b,c.的符号与函数性质及位置的关系是例 2 （2022,重庆市）已知：m,n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根,且mn,抛物线 y= x 2+bx+c 的图像经过点A（m,0）,B（0,n）,如下列图（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点,过点P 作 PH x

7、 轴,与抛物线交于 H 点,如直线 BC.把 PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分,恳求出 P 点的坐标学习好资料 欢迎下载【分析】（1）解方程求出 m,n 的值用待定系数法求出 b,c 的值（ 2）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M,可求出DMC ,梯形 BDBO , BOC 的面积,.用割补法可求出BCD 的面积（ 3）PH 与 BC 的交点设为E 点,就点 E 有两种可能：EH=3 EP, EH=2 EP2 3【解答】（1）解方程 x 26x+5=0,得 x 1=5,x2=1由 mn ,有 m=1,n=5所以点 A ,B 的坐标分别为分别代入y=x2+bx+c ,A（1,0）

8、,B（0,5）将 A（1,0）,B（0,5）的坐标得c1bc0,解这个方程组,得b54,D（ 2, 9）5c所以抛物线的解析式为y=x24x+5 （2）由 y= x24x+5,令 y=0,得 x24x+5=0 解这个方程,得x 1=5,x2=1所以点 C 的坐标为（ 5,0）,由顶点坐标公式运算,得点过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于 M ,如下列图就 SDMC=1 2 9 （ 52）=27 2S梯形MDBO =1 2 2 （ 9+5）=14,SBDC =1 2 5 5=25 2所以 SBCD =S梯形MDBO +SDMC SBOC =14+27 225 2=15（3）设 P 点的坐标为（ a

9、,0）由于线段 BC 过 B,C 两点,所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5 那么, PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a,a+5）,PH 与抛物线 y=x 2+4x+5 .的交点学习好资料欢迎下载2 mx坐标为 H（a, a24a+5）由题意,得 EH=3 2EP,即（ a 24a+5）（ a+5）= 32（a+5）解这个方程,得a=3 2或 a= 5（舍去）EH=2 3EP,得（ a 24a+5）（ a+5）=32（a+5）解这个方程,得a=2 3或 a= 5（舍去）P 点的坐标为（3,0）或（2 3,0）2例 3 （2022,山东枣庄）已知关于x 的二次函数y=x2mx+m21与

10、 y=x22 m2,这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于 A,B 两个不同的点2（1）试判定哪个二次函数的图像经过A,B 两点；（2）如 A 点坐标为（ 1,0）,试求 B 点坐标；（3）在（ 2）的条件下,对于经过A ,B 两点的二次函数,当x 取何值时, y 的值随x.值的增大而减小？【解答】（1）对于关于x 的二次函数y=x2mx+2 m12由于 b 24ac=（ m） 4 12 m21=m220,所以此函数的图像与x 轴有两个不同的交点故图像经过A,B 两点的二次函数为y=x2mxm222（ 2）将 A （ 1, 0）代入 y=x2mx2 m22得 1+m 2 m2=02整理,得

11、m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时, y=x21令 y=0,得 x21=0 x 1=1,x2=1解这个方程,得此时,点 B 的坐标是 B（1,0）当 m=2 时, y=x22x3令 y=0,得 x22x 3=0 x 1=1, x2=3解这个方程,得此时,点 B 的坐标是 B（3,0）（ 3）当 m=0 时,二次函数为 y=x 21,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=0,所以当 x0 时,函数值 y 随 x 的增大而减小当 m=2 时,二次函数为 y=x 22x3=（x1）2 4,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=1 ,所以当 x1 时,函数值y 随 x 的增大而减小【点评】

12、此题是一道关于二次函数与方程、不等式有关学问的综合题,但它仍旧是反 映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系,抓住问题的实质,敏捷运用所学学问,这类综合题并不难解决学习好资料 欢迎下载 强化训练一、填空题1（2022,大连）右图是二次函数y 1=ax2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像, .观看图像写出 围 _y2y1时, x 的取值范2（2022,山东省）已知抛物线y=a2+bx+c 经过点 A（ 2,7）,B（6, 7）,C（3, 8）,.就该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是 _3已知二次函数 y=x 2+2x+c 2 的对称轴和 x 轴相交于点（ m,0）,就 m 的值为

13、 _4（2022,温州市）如二次函数 y=x 24x+c 的图像与 x 轴没有交点,其中 c 为整数, .就c=_ （只要求写出一个） 5（2022,黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点（ 1,2）与（ 1,4）,就 a+c.的值是 _6甲,乙两人进行羽毛球竞赛,甲发出一非常关键的球,出手点为 P,羽毛球飞行的水平距离 s（ m）与其距地面高度 h（m）之间的关系式为 h=1 s 2+ 2 s+3如下左图所12 3 2示, .已知球网 AB 距原点 5m,乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为 9m,设乙的4起跳点 C 的横坐标为 m,如乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度

14、而导致接球失败,就 m.的取值范畴是 _7（2022,甘肃省）二次函数 y=x 22x 3 与 x 轴两交点之间的距离为 _学习好资料 欢迎下载8（2022,甘肃庆阳）兰州市“ 安居工程” 新建成的一批楼房都是 8 层高, .房子的价格 y（元 /m 2）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1 ,2,3,4,5, 6,7,8）,已知点（ x,y） .都在一个二次函数的图像上（如上右图）,就 6 楼房子的价格为 _元/m 2二、挑选题9（2022,长沙）二次函数y=ax2+bx+c 的图像如下列图,.就以下关系式不正确选项（）A a0 Ca+b+c0 第 15 题 第 9 题 第 12 题 10

15、（2022,威海）已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像过点 A（1,2）,B（ 3,2）,C（ 5,7）如点 M （ 2,y 1）,N（ 1,y 2）,K（8,y3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像上,就以下结论中正确选项（）A y1y 2y 3 By2y 1y 3 Cy3y1y 2 Dy1y 30）交 x 轴 A ,B 两点,交y 轴于点 C,抛物线的对称轴交x 轴于点 E,点 B 的坐标为（ 1,0）（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；P,你能判定四边形ABCP .是什么（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与

16、抛物线的对称轴交于点D,当 APD= ACP 时,求抛物线的解析式学习好资料 欢迎下载18（ 2022,重庆）如下列图,m,n 是方程 x 26x+5=0 的两个实数根,且 mn,.抛物线y=x 2+bx+c 的图像经过点 A（ m, 0）,B（0, n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PHx 轴,与抛物线交于点 H,如直线 BC.把 PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分,恳求出点 P 的坐标19（ 2022,太原市）某地方案开凿一条单

17、向行驶（从正中通过）的隧道,.其截面是抛物线拱形 ACB ,而且能通过最宽3m,最高 3.5m 的厢式货车 按规定, .机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是 0.5m.为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, .建立如下列图的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度 AB 和拱高 OC学习好资料 欢迎下载20（ 2022,河南省）已知一个二次函数的图像过如下列图三点（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y=25,抛物线与 x 轴交于 A,B 两点 .在抛物4线的对称

18、轴上找点 P,使 BP 的长等于直线 L 与 x 轴间的距离求点 P 的坐标21（ 2022,吉林省）如图 576 所示,二次函数 y=ax 2+bx+c （a 0）的图像与 x.轴交于A ,B 两点,其中A 点坐标为（ 1,0）,点 C（0, 5）,D（1, 8）在抛物线上,M为抛物线的顶点（ 1）求抛物线的解析式； （2）求 MCB 的面积学习好资料 欢迎下载22（ 2022,长春市）如下列图,过 y 轴上一点 A（0,1）作 AC 平行于 x 轴,交抛物线y=x 2（x0）于点 B,交抛物线 y=1 x 2（x0）于点 C；过点 C 作 CD 平行于 y 轴,2交抛物线 y=x 2 于点

19、 D；过点 D 作 DE 平行于 x 轴,交抛物线 y=1 x 2 于点 E4（ 1）求 AB ：BC；（ 2）判定 O,B,E 三点是否在同始终线上？假如在,写出直线解析式；假如不在,请说明理由学习好资料 欢迎下载答案1 2x1 2（1, 8）31 4答案不唯独（略）53 65m4+ 7 74 82080 9C 10B 11B 12 D 13D 14B 15B 16D 17（ 1）对称轴是直线 x=2 ,A 点坐标为（ 3,0）（ 2）四边形 ABCP 是平行四边形（ 3） ADE CDP,PE =1PD 2 ADE PAE, 1 2= t t, t= 33将 B（ 1,0）代入 y=ax

20、2+4ax+t 得 t=3a,a= 33抛物线解析式为 y= 3x 2+4 3 x+2 3 3 318（ 1）y= x 24x+5 （2）C（ 5,0）,D（ 2, 9）SBCD=15 （3）设 P（a, 0）, BC 所在直线方程为 y=x+5 PH 与直线 BC 的交点坐标为 E（a,a+5）PH 与抛物线 y=x 24x+5 的交点坐标为 H（a, a 24a+5）如 EH=3 EP就（ a 24a+5）（ a+5） = 3（a+5）,就 a=3 或 a=5（舍）2 2 2如 EH=2 EP,就（ a 24a+5）（ a+5） =2（a+5）,就 a=2 或 a=5（舍）3 3 3P（3

21、,0）或（2,0）2 319如下列图,由条件可得抛物线上两点的坐标分别为 M （3,4）,N（2,7）,2 29a c 4,设抛物线的表达式为 y=ax 2+c,就 474 a c .2学习好资料 欢迎下载a 2 ,解这个方程组,得 765c14y=2 x 2+65,当 x=0 时, y=65,7 14 14C（0,65）,OC=6514 14当 y=0 时,2 x 2+65 =0,解得 x=657 14 2A（65,0）, B（65,0）,AB= 65 2 2所以,抛物线拱形的表达式为 y=2 x 2+657 14隧道的跨度 AB 为 65 m,拱高 OC 为65 m1420（ 1）设二次函数的解析式为 y=ax 2+bx+c c 3 a 1依据题意,得 a b c 2,解得 b 616 a 4 b c 5 c