人教版高中数学高考一轮复习-高考中的三角函数与解三角形问题

1、规范答题增分专项二高考中的三角函数与解三角形问题2022高中总复习优化设计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI【考情分析】 三角函数与解三角形知识高考必考,一般是“一大一小”的题量,分值15分或17分.小题一般考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质等,大题难度不大,多放在17题或18题,且经常以开放性问题呈现,给考生选择的空间,体现了新高考的创新精神.主要考查逻辑推理、数学运算的学科素养,对数形结合思想和转化与化归思想应用较多.典 例 突 破题型一三角函数的化简与求值解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减少未知量的个数.如把三角函数式

2、中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦函数、余弦函数又有正切函数的题目,化简方法是切化弦,或者弦化切,目的也是化异为同.例1已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.(1)求角A的大小;(2)求 的最大值.题型二三角函数性质与三角变换的综合突破策略一多式归一法对于已知的函数解析式是由多项三角函数式通过四则运算组合而成的,求其函数的性质,一般的思路是通过三角变换,把多项三角函数式的代数和(积、商)化成只有一种名

3、称的三角函数式,化简中常用到辅助角公式对点训练2已知函数 .若f(x)的最小正周期为4.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,求f(A)的取值范围.突破策略二整体代换法利用函数y=sin x的有关性质求三角函数f(x)=Asin(x+)的单调区间、图象的对称轴方程等问题,要把x+看作一个整体,整体代换函数y=sin x的相关性质,进而求出题目所要求的量.对点训练3(2020浙江,18)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos

4、 C的取值范围.题型三正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合问题突破策略一边角互化法在解三角形中,根据所求结论的需要,通过正弦定理把角的正弦转化成边或把边转化成角的正弦,通过余弦定理把角的余弦转化成边,使已知条件要么是角的关系,要么是边的关系,这样能使已知条件更容易化简或适合题目的要求.例4已知(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B),2ccos C=acos B+bcos A,ABC的面积为 ,从这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角C;(2)若D为AB的中点,且c=2, ,求a,b的值

5、.解:选择:(1)根据正弦定理,得(a-c)(a+c)=b(a-b),整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,对点训练4在锐角三角形ABC中,a,b,c为内角A,B,C的对边,且满足(2c-a)cos B-bcos A =0.(1)求角B的大小;(2)已知c=2,AC边上的高 ,求ABC的面积S的值.解 (1)(2c-a)cos B-bcos A=0,由正弦定理,得(2sin C-sin A)cos B-sin Bcos A=0,2sin Ccos B-sin(A+B)=0,突破策略二列方程组消元法对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为两个三角形来解三角形的问题,分别在两个三角形中列出方程,组成方程组,通过加减消元或者代入消元,求出所需要的量;对于含有三角形中的多个量的已知等式,化简求不出结果,需要依据题意应用正弦定理、余弦定理再列出一个等式,由此组成方程组通过消元法求解.题型四正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合在解三角形中,若已知条件是由三角形的边及角的正弦、余弦构成的,则解题方法通常是通过正弦定理把边转化成角的正弦,使已知条件变成了只有角的正弦、余弦的关系,这样既实现了消元