理工微积分习题册

1、PAGE - 80 -独立学院大学数学习题册第一分册 CALCULUS 微积分学(理、工类) 肖继红 钟 琴 张志银 吴 杰 编重庆大学出版社前 言 认真做习题是大学生学好大学数学必不可少的环节。但是如何选择难易程度适当、适量的习题给同学练习是教师必须面对的问题。独立学院的教学有自身的特点，大部分一般同学需要掌握基本的概念和方法及基本解题能力，为学好各自的专业课程打下数学基础，同时部分需要深造的同学需要较好的掌握知识点和较熟练的掌握解题技能，以便将来复习之后能顺利通过研究生入学考试。另外，在课程考核中，我们希望大学生应该自己有总结课程内容的能力，而不依赖于老师划重点，出复习题。基于以上三点考虑

2、，在统计系主任陈鸿建教授的组织下，我们编写了这本独立学院大学数学习题册。这本习题册，每一节知识点的题大多数是一般难度的习题，是给大多数同学使用的。而打星号的题和每节后的综合练习题是给较好的同学，特别是将来要考研的同学准备的。希望同学们做了这部分习题，能较熟练的掌握基本概念，基本方法和有较熟练的解题能力。以便将来经过考研复习，能顺利通过研究生入学考试。这套习题册一共有三个分册，第一分册是微积分（理，工），第二分册是微积分（经、管），第三分册是线性代数和概率统计，其中第三分册不分理工和经管类。这本习题册的编写得到了四川大学锦江学院有关领导的支持。闵心畅副教授仔细审查了微积分部分，陈鸿建教授仔细审查

3、了线性代数和概率统计部分，作者在此一并感谢他们的支持和工作。由于作者水平有限，习题册难免有错误和不适当的题目，恳请使用者批评指正。 作者 于四川大学锦江学院 2013年5月 ii 目 录TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc17661 1.1 函数的概念 - 309 -1.1 函数的概念一. 选择题1. 下列各对函数表示相同函数的是( )(A) ; (B);(C) ; (D)2. 的周期为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) 不存在.3. 的定义域为（ ）（A）; （B）; （C）; （D）.二. 填空题1. 设函数, 则 ;2. 设函数的定义域为, 则的定义

4、域为 ;3. 函数的反函数为 .三. 解答题1. 已知, 且,求的表达式及定义域.2. 判定 的奇偶性.3. 设, 求.4*. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.（1）将每台的实际售价表示为订购量的函数；（2）将厂方所获的利润表示成订购量的函数；（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？5*. 设, , 求1.2 数列与函数的极限一. 选择题1. 数列（ ）(A) 发散; (B) 收敛于0; (C) 收敛于-1; (D) 收敛于1.2. 下列数列中收敛的是（ ）(A) ;

5、 （B）; （C）; （D）.3. 设, 则（ ）（）; （）; （）; （）.二. 填空题1. 数列的通项_及 。2. 3. ， ， ， .三. 解答题1. 设, 求, , .2. 讨论函数在处的极限是否存在.3. 极限可改写成, 其中. 将下列极限完成这种改写, 并求出相应的(1) ; (2) .4*. 根据函数极限定义证明: 5*. 设. 试分别讨论在时的极限.1.3 极限的四则运算一. 选择题1. 已知, 则（ ）(A) ; (B) ; (C); (D) 不存在.2. 的值为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) 3. 当时，函数是（ ）（A）无穷小；（B）无穷大；（C）有界

6、的，但不是无穷小； （D）无界的，但不是无穷大.二. 填空题1. 2. 的值为 3. 当_ 时，是无穷小；当 _时，是无穷大.4. 当 时，是无穷小；当 时，是无穷大.三. 解答题1. ; 2. 3. ; 4. ;5. ; 6. .四*. 计算错在何处, 请指正.五*. 计算的值.1.4 极限存在的两个准则和两个重要极限一. 利用夹逼定理求下列极限：1. 2. 二. 利用单调有界原理证明下列数列极限存在，并求出其极限：1. 2*. 三. 计算下列极限：1. ； 2. ; 3. ; 4. ;5. ; 6. .四. 计算下列极限1. ; 2. .3. ； 4. 5. ; 6. .五*. 设, 且存

7、在, 求的值.六*. 设，.（1）证明数列单调增加，数列单调减少且满足；（2）证明数列和都收敛，并且有相同的极限.1.5 无穷小量的比较一. 选择题1. 下列函数中当时,与无穷小相比是高阶无穷小的是（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .2. 函数在时, 若（ ）(A) 不是无穷大, 则必有界; (B) 极限不存在, 则必为无界;(C) 是无界, 则必为无穷大; (D) 是无穷小, 则必存在极限.3. 当时，为了使与等价，应为（ ）(A) ; (B) 1; （C）2; （D）3;二. 填空题1. 2. 当时, 与比较是 阶无穷小量？三. 利用等价无穷小量求下列极限1. ； 2. ;

8、 3. ; 4. ;5*. ; 6*. .四. 当时, 若与等价, 求的值.五*. 求的值. 1.6 连续函数与间断点一. 选择题1. 要使函数在处连续, 则要求补充定义（ ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) .2. 函数在点处连续的充要条件是当时 （ ）（A）有极限 （B）的左右极限都存在（C）是无穷小量 （D）是无穷小量3. 下列函数在处不连续的是（ ） (A) ; (B) ;(C) ; (D) .二. 填空题1. 已知在实数集上连续, 则 ， .2. 是的 间断点.三求下列函数的间断点，并指出其类型：1. ； .2. 四解答题1. 求函数，当时的增量.2. 求函数的连续区间.

9、3. 计算的值.4. 设函数在内连续，求的值.五利用初等函数的连续性计算下列极限：1. ； 2. ； 3. .六*. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型.七. 证明: 方程在区间上至少有一个实根.八设函数f (x)，g(x)在 a,b 上连续且 f (a) g(a)，f (b) g(b)，求证：在（a,b）内，曲线y = f (x) 与y = g (x) 至少有一个交点.九*. 证明: 若在上连续, 且, 则在上必有点, 使得知识要点与学习指导重点：极限基本理论及计算、闭区间上连续函数的性质.难点：计算极限技巧.知识结构：（一） 关于极限由于极限是研究变量在无限变化过程中的趋势，因此

10、必须从变化的、运动的角度来认识极限，在极限的描述性定义中应明确“无限接近于”的含义。“无限接近于”是指在某一过程中，与要有多接近就有多接近，或者说与的误差可达到任意小。数列极限是特殊的函数极限。因此，其极限性质也有其特殊性。如函数极限只具有局部有界性，而存在极限的数列是有界的，这里就有一个局部和整体的差别，其它性质也可进行对照比较。计算极限的基本方法小结：1利用极限四则运算、夹逼原理、两个重要极限求极限；2约简分式、分子（分母）有理化法；3变量替换法;4等价无穷小的替换法;5利用连续函数求极限法;（二）关于函数的连续性1.“连续”是个局部的概念，是在这一点定义的，因此区间上的连续函数是指对区间

11、上的任一点处，函数都连续。2. 函数在处连续的充要条件为同时满足以下三条：存在；在处有定义；极限值与函数值相等。3. 无穷小量就是极限为0的变量，因此，极限为的变量显然不是无穷小量，依无穷大量的定义，它是无穷大量。常用的等价无穷小量：当时，；， .第一章 综合练习选择题1. 函数的定义域是（ ）(A); (B) ; (C) ; (D)2. 已知, 则（ ）（A）2; （B）3; （C）3; （D）4.3. 下列极限中，正确的是 （ ）（A） （B）（C） （D）4. 当时, 与相比是几阶无穷小量？（ ）（A）1; （B）2; （C）3; （D）4.5. 设函数在定义域内连续, 则的值为（ ）(

12、A) ; (B); (C); (D) .二、填空题1. 设, 则 2. 已知,则_, .3. 的值为 4. 的值为 5. 已知当时，与是等价无穷小，则常数 _。三. 解答与证明1. 计算下列极限：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .2. 设, 求的值.3. 指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型，若是第一类可去间断点，请补充函数的定义使函数在改点连续.(1); (2) ;(3) ; (4) .4*.计算的值.5. 设, 证明：极限存在, 且求出极限值.6. 试确定的值，使函数在上连续.7. 设在上连续, 且, 证明：在上必存在点, 使得2.1 导数的概念选择题1. 设在处不连续,

13、 则（ ）(A)必存在; (B)必存在; (C)必不存在; (D)必不存在.2. 设在处可导，为常数，则（ ）（A）; （B）; （C）; （D）.3. 设, 其中在处连续, 则必有（ ）(A) ; (B);(C) ; (D) .二. 填空题1. 设, 则 2. 设, 则 3. 已知在点可导，且，则.三. 解答题1. 求函数在处的导数.2. 设, 试确定常数, 使得在处可导.3. 设曲线上点处的切线平行于直线 求点的坐标, 并写出曲线在该点的切线方程和法线方程.4. 讨论函数在点处的连续性和可导性.5*. 证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。2.2 导数的四则运算选择

14、题1. 设可导, 则与分别为（ ）(A) 与都不可导; (B) 与都可导;(C) 与至少有一个可导; (D)不能确定与的可导性.2. 已知 则为（ ）(A) 不可导; (B) 只在处不可导; (C) 只在处不可导; (D) 除和外都可导.二. 填空题1. 设则 2. 曲线在处的切线方程为 三. 求下列函数的导数.1. ; 2. ;3. ; 4. ;5. ; 6. .四. 求下列函数在指定点的导数:1. , 求和.2. , 求.五. 一球在斜面上向上滚动, 其运动规律为(1) 求初速度;(2) 何时到达最高点？2.3 复合函数的导数，隐函数的导数一. 选择题1. 设曲线与直线的交点为则曲线在点的

15、切线方程是（ ）(A) ; (B) ; (C); (D) .2. 则的值等于（ ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) .3. ，则（ ）（A）; （B）;（C）; （D）.二. 填空题1. 则 2. ， ；， 。3. 设，则 ； ； 三. 求下列复合函数的导数1. ; 2. ；3. ； 4. ；5. ； 6. .四. 设可导，求下列函数的导数：1. ； 2. ； 3. ; 4. .六求下列参数方程所确定的函数的导数：1； 2；3*； 4. . 七用对数求导法求下列函数的导数.1. ； 2. ； 3. ； 4. .5*.； 6*. .2.4 高阶导数一. 选择题1. 设存在, 且, 则

16、的值为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) 不存在.2. 已知任意阶可导, 且, 则的阶导数（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二. 填空题1. , 则 2. 设, 则 三. 解答题1. 设, 求的值.2. 已知求3. 设, 且存在, 求的值.4*. 已知求5*. 设方程在点附近确定隐函数, 求2.5 函数的微分选择题1.（ ）(A) ; (B); (C) ; (D) .2.如果函数有, 则当时在处的微分是（ ）(A) 与等价无穷小; (B) 与同价无穷小但不是等价无穷小;(C) 比高阶无穷小; (D) 比低阶无穷小.二、填空题1. 设 则当时, 2. 三. 解答题

17、1. 求的微分2. 已知求3*. 已知求的值.4. 已知求当由改变为时的微分.5*. 证明: 当时, 知识要点与学习指导一.导数的概念1.导数概念是由具体问题抽象产生的。自然科学中有关函数变化率的问题，经常涉及到导数概念。不论是求瞬时速度，还是求曲线的切线的斜率等，从数学角度看这些问题的解决方法都一样。都是经过以下三个计算步骤得出的：第一步：求出对应于自变量改变量的函数改变量，即求出；第二步：作改变量与之比，；第三步：求出以下极限 ，称此极限为函数在点处的导数。2. 由1可知导数是一种特定形式的极限，具体地说是函数的改变量与自变量的改变量之比，当时的极限。因此，可用不同的形式来表示。如：、。3

18、. 导数是个局部性的概念。若在一个区间上的每一点处，函数均有导数，就得到了定义于区间上的一个以为自变量的新的函数。这个新函数的对应关系就是求的导数，称这个新函数为，这时就是在处的值。4.“函数在处可微的充要条件是在处可导”，这个结论是针对函数在处的可微性和可导性而言的，而不是对微分和导数的值而言的。事实上，从导数的定义以及微分的定义易知导数仅与有关，而不仅与有关，也与自变量的增量有关，这一点从下面图形中也易看出。5. 函数在某点可导必在该点连续，但在某点连续的函数不一定在该点可导。二. 复合函数的求导法则 1.复合函数求导法则在求导数的运算中起着重要的作用，从法则易知，复合函数的导数的计算是利

19、用基本初等函数导数的计算得到的。因此，应用这个法则的难点在于找准复合关系，找复合关系时应注意：从外层入手，逐步深入到内层找复合关系；将函数分解成几个函数复合而成，这几个函数都应是基本初等函数。例：设，求解：设，根据复合函数求导法则，得 注意以上、在解题过程中的应用。由于直接可得出。因此，常将直接看成的函数，即，不再设中间变量。 2. 。因此与的含义不同。表示函数关于变量的导数，而表示函数关于中间变量的导数。 3. 求幂指函数以及分子分母都是因式连乘积的分式函数的导数时，可尽量利用对数求导法。 4.求隐函数的导数关键是明确对哪个变量求导，这样，另一个变量就是方程所确定的隐函数。例：求方程确定的函

20、数的导数。分析：这里是自变量，是的函数解：在方程两边对求导，即得 解出，得到 注意：在的表达式中一般含有和，其中的由方程所确定的隐函数。不能期望将用的某个式子来表达，事实上隐函数不一定能表示成显函数的形式。 5. 对参数式函数求导，实质上是对复合函数求导。设参数式函数，实际上这里是中间变量，是的复合函数，它由，复合而成，在求这复合函数的各阶导数，时，最重要的一点就是要记住这是复合函数，以求为例，由复合函数求导法则知： (*)三. 高阶导数 1. 求参数式函数的高阶导数，仍是求复合函数的导数。在求二阶导数时，由于，注意到是的函数，又是的函数。因此，即 .对参数式求更高阶导数，均可如此处理，一般地

21、，(*)求参数式函数的高阶导，初学者容易误认为，这是错误的。事实上，从上面的公式易知：，而不等于。为免于记忆太多的公式，求高阶导时，建议直接应用上面方法来求。 2. 导数的一阶微分形式不变性是指若在点处可微，在对应点处可微，则复合函数的微分可成或。这里的不变性是指：无论是自变量还是另一变量的可微函数，微分形式不变，用此性质求复合函数的微分较易。 3. 应注意到在利用微分将一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替时，在很小时，才有价值。第二章 综合练习一. 选择题1. 函数在处（ ）(A)不连续但可导; (B)不连续也不可导; (C) 连续且可导; (D)连续但不可导.2. 设, 则在处的（

22、） A 左右导数都存在 B 左导数存在, 但右导数不存在 C 左导数不存在右导数存在 D 左右导数都不存在3. 的导数为（ ） A B C D 4. 设则等于（ ） A B C D 5. 已知, 则为（ ） A B C D 二. 填空题1. 已知, 则 2. 设则 3. 曲线上对应处的法线方程是 4. 5. 设，则 三. 解答与证明1. 求下列函数的导数：(1); (2);(3) , 其中 (4) .2. 求下列函数的微分(1); (2);(3); (4).3. 设在处连续, 且求4. 求由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数5. 设, , 求6. 证明：设是定义在上的函数, 且对任意的,

23、 都有, 且 证明：对都有7.设且, 证明: 8. 求函数的阶导数.9. 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.3.1 微分中值定理一、选择题：1. 下列函数中，在给定区间上满足罗尔中值定理条件的是（ ）(A) ； (B) ;(C) ; (D) .2. 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的是（ ）(A) ; (B) ;(C) ; (D) .二填空题：1. 设，则方程有_个实根，它们分别位于区间 内; 而方程有 个实根.2. 设在上满足罗尔中值定理的条件，则定理中的.3. 函数在区间上满足拉格朗日中值定理中的.三设在上连续，在上可导，则至少存在一点，使.四设在R上二阶可导，且，令. 求证：存

24、在，使得.五证明：(1) 当，；(2) .3.2 洛必达法则一. 选择题：1. 求极限时,下列各种解法, 正确的是（ ）（A）用洛比达法则后,求得极限为0 （B）因为不存在, 所以上述极限不存在（C）原式 （D）因为不能用洛比达法则，故极限不存在2. 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .二填空题1 ; 2 ;3 ; 4 ;三求下列各极限:(1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) ;(7) ; (8) ; .三已知求常数.*四. (1) 求.(2)在处二阶可导，求学院 姓名 学号 日期 3.3 泰勒公式一.

25、 按的幂展开多项式.二. 将函数按的幂展开为带佩亚诺余项的n阶泰勒公式.三. 求函数按的幂展开为带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式.四*. 求五*. 证明的绝对误差不超过0.01，并求的误差不超过0.01的近似值.六*. 在区间有二阶导数，且试证明内至少有一点，使得：学院 姓名 学号 日期 3.4 函数的单调性、极值和最值一. 选择题 1. 下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数.(A) ; (B) ; (C) ; (D) . 2. 在内可导, 且,当时, ,则( )(A) 任意 (B) 任意(C) 单调递增 (D) 单调递增3. 已知在处有极值 2 ,则常数a, b之值为（ ）(A) ;

26、 (B) ; (C) ; (D) .二填空题1. 函数，则该函数的单调减区间是_2. 函数，则该函数的单调增区间是_3*. 函数在区间上的最大值为 ，最小值为 三求下列函数的极值点和单调区间.1. ; 2. .四. 证明下列不等式:1. (); 2. ().五求下列函数在指定区间的最值:1. , ; 2. ，.*六. 讨论方程有几个实根.*七. 若函数二阶导数存在，且，判断在上的单调性3.5 曲线的凹凸性与拐点、渐近线一选择题：1. 设函数在区间内有二阶导数，则当（ ）成立时，点是曲线的拐点.(A) (B) 在内单调增加(C)，在内单调增加 (D) 在内单调减少 2. 点（1,2）是曲线的拐点

27、，则（ ）(A) a =1,b=3; (B) a =0,b=1; (C) a为任意数, b=3; (D) a =1,b为任意数.3、曲线（ ）(A) 有一个拐点; (B) 有二个拐点; (C) 有三个拐点; (D) 无拐点.4、曲线的渐近线（ ）(A) 无水平渐近线，也无斜渐近线 (B) 为垂直渐近线，无水平渐近线(C) 有水平渐近线，也有垂直渐近线 (D) 只有水平渐近线二填空题1. 曲线的凹区间为_，凸区间为_2. 曲线的斜渐近线为 3. 曲线，其垂直渐近线方程是 ，斜渐近线方程是 三求下列函数的凹凸区间及拐点.1. ; 2. .四. 求下列函数曲线的渐近线:1. ; 2. .学院 姓名

28、学号 日期 五已知函数有拐点（-1，4），且在x=0处有极大值2，求.知识要点与学习指导一、知识脉络 推广推广 罗尔定理柯西定理洛尔定理拉格朗日定理特殊特殊推广 特殊泰勒公式二、重点与难点1重点：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。2难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。三、问题与分析1学习罗尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题：罗尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论；定理的条件是充分的，但不是必要的；三个定理都是存在性定理，只肯定了有存在，而未指出如何确

29、定该点。2学习洛必塔法则应注意问题：洛必塔法则仅仅用于型和型未定式；如果不存在（不包括），不能断言不存在，只能说明洛必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限；，也叫未定型，必须转化为型或型之后，方可用洛必塔法则求极限；思路“：型转化为或型； 可通分转化为型或型； 型转化为，其中指数是型； 型转化为，其中数是； 型转化为，其中指数是型。洛必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用；有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是型或型。3学习函数单调性应注意的问题：如果在某个区间内只有有限个点处等于零，在其它点处均为正（或负）时，则函数在该区间内仍为单调增加（或单调减少）；求单调区间的步骤

30、：先令，求出驻点与不可导点，这样的点将定义域分成了几个区间；再在每个区间内验证的符号，若为正，则单增，若为负，则单减。4学习函数极值应注意的问题： 函数极值是一个局部性的概念，它只与极值点邻近的所有点的函数值相比较是大还是小，并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函数可能存在其极大值小于极小值的情形； 求函数极值的步骤：先求的解以及不存在的点，这些点是可疑的极值点；其次，可疑极值点将的定义域分成了几个区间，在每个区间考察的符号；最后确定极值点；极值点与极值是两个不同的概念。5学习函数最值应注意的问题：极值点是函数在一点附近函数值的大小比较，是局部性质，而最大值最小值是在区间上的性质；最值

31、在区间的端点和极值点上产生。所以确定最大值最小值的步骤为：首先求出定义域；然后求出，求出可疑点；最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。6学习凹凸性应注意的问题：用一阶导数确定单调区间，用二阶导数确定凹凸区间及拐点，确定拐点时不但需要，而且还要在该点的左右变号；拐点一定是坐标形式的点，拐点的表达与极值点的表达不同，拐点是曲线上的某一点。7学习渐近线应注意的问题：函数的图形不一定有渐近线；渐近线分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。8学习泰勒展开式应注意的问题：麦克劳林展开是特殊的泰勒展式；用关于的次多项式近似表示函数时，一定有一个余项，该余项即误差一定是的高阶无穷小量；应该熟记一些常用的泰勒展

32、式。9证明不等式的方法有：利用单调性； 利用中值定理关键在于构造一个函数，这就需要分析不等式的特点。10求具体问题最值的步骤分析问题，明确求哪个量的最值；写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等方面的知识，函数关系式列出后，依具体情况要写出定义域；由函数式求驻点，并判断是否为极值点；根据具体问题，判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在连续，且只求得唯一的极值点，则这个极值点就是所求的最值点。最后写出最值。四、解题格式例1 函数在区间上是否满足罗尔定理的条件？如满足求出定理中的。解：因是多项式，故满足：在上连续；在内可导，且； 所以在上满足罗尔定理条件。令得.例2 求极限

33、.解：原式.例3 设，试证.证法一：用中值定理设，则在上连续；在内可导，且，则存在，使即因为，故又因为，故，从而所以.证法二：用函数的单调性设，则因为，故，即从而当时是单调减少的又所以当时，有即，故.例4 求函数的单调区间和极值。解：的定义域为， ，令，得当时，不存在.故定义域分为，列表为02不存在-0+极大值极小值由极值判别法知为极大值点，极大值，为极小值点，极小值。故在和内单调增加，内单调减少。第三章 综合练习一填空题1. 函数在上不具有罗尔定理的结论，其原因是由于f (x)不满足罗尔定理的一个条件：_.2. 在上满足拉格朗日中值定理条件的=_.3. 函数在上的最大值为_，最小值为_.4.

34、 为的极值点，则它为极_点5. 函数在有连续的二阶导数，且，则=_.二. 选择题1. 上的凸曲线所对应的区间为（ ）(A) ;(B) ;(C) ;(D) (0,1).2. 设在上，则的大小顺序是（ ）(A) (B) (C) (D) 3. 有（ ）条渐近线(A) 2(B) 3(C) 4(D) 54. 函数（ ）(A) 在上单调减少 (B) 在上单调增加(C) 在内单调减少 (D) 在内单调增加5. 设在上可导，且，在上，则方程在上实根的个数为（ ）（A）0; (B) 1; (C) 2 ; (D) .三. 设在上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使.四设在上连续，在内可导且，证明：至少存在一

35、点使得 .五计算下列极限1. ; 2. ;3. ; 4. .四. 设（1）？，；（2）求；（3）在处是否连续？五. ，中上满足拉格朗日中值定理，求六. 求椭圆上纵坐标最大和最小的点.七. 设在上连续，在内二阶可导，弦与曲线相交于点C，点C的横坐标.证明：至少存在一点，使得4.1 不定积分的概念与性质一选择题1设为可导函数，则（ ）。(A) ; (B);(C); (D) (2 ( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .3若，则（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4设的一个原函数为，则等于（ ）(A); (B) ; (C) ; (D) .二 计算下列不定积分 1.; 2.

36、 ;3.; 4. ; 5. ; 6. ; 7*.; 8. 三设，求。四设的导函数为，求的原函数全体。4.2 换元积分法一选择题1（ ）（A） （B） （C） （D）2设，则 （ ）（） （） （） （）二、填空题1. 是的一个原函数，则=_.2. 已知，则=_.三. 求下列不定积分(第一换元法)(1); (2);(3); (4);(5); (6);(7) (8)四. 求下列不定积分(第二换元法)。(1) (2)(3) (4)(5*)4.3 分部积分法一选择题1（ ）（A）（B） （C） （D）2设是的一个原函数，则（ ）（） （）（） （）3设，则（ ）（A）（B） （C） （D）二填空题1

37、2 3 三计算下列不定积分(1) ; (2);(3); (4);(5); (6); (7*); (8*).四. 已知，求.*五. 设，；证明：.4.4 有理函数的积分一选择题1（ ）（A） （B） （C） （D）2（ ）（A） （B）（C） （D）3将分解为部分分式，正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题1 2 3 三计算题1; 2;3; 4;5; 6;7. ; 8. .知识要点与学习指导一、知识脉络 二、基本要求1理解原函数和不定积分的概念;2牢记基本积分公式;3熟练掌握第一换元法（凑微分法）和分部积分法;三、重点和难点1重点：第一换元积分法，分部积分法;2难点：第二换元积分

38、法、特殊函数的积分.四、问题与分析1由不定积分的定义可知，求已知函数的不定积分是找它的全体原函数。而找全体原函数的关键是求一个原函数，这个原函数的导数恰为已知函数。所以，积分法是微分法的逆运算，积分是否正确，可求出其导数来验证.2不定积分的几何意义：不定积分是的一族积分曲线，这些曲线可以通过其中任何一条沿着轴上下平移得到。而且这些曲线在横坐标相同的点处的切线斜率都相同，均为.3由可导与不定积分之间的关系知，求导数与求不定积分是互为逆运算，所以对一个函数先求导再求不定积分，其结果是该函数加上一个任意常数；而对一个函数先求不定积分，再求导数，其结果是原被积函数. 即， 4积分不变性定理：若，则，其

39、中是的可微函数 .5第二换元法是在难以或不可能应用第一换元法时，先采用一次适当的变量替换，使所求不定积分恒等变为相对容易积分或处理的不定积分的所谓“缓一着”的方法.第二换元法中常用的变量替换形式如下表所示：代换名称被积函数换元形式三角函数，无理函数同时含有和6运用分部积分公式求不定积分时应注意以下几点：分部积分法与直接积分法，换元积分法在同一题目中可交替使用；运用部分积分公式前，需将所求不定积分化为的形式，即需要选定，之中的某一个为，另一个则为。恰当地选择哪一个作，哪一个作是至关重要的。一般地，选择和的原则是(1)由易求出其中一个原函数；(2)比原积分容易计算；(3)连续两次或两次以上应用分部

40、积分公式时，再一次选择的，须是前一次选择的同类函数（即若第一次选择指数函数为，则第二次仍选择指数函数为），以免积分还原。常见的选择，的方法如下表，供大家参考，表中是多项式：不定积分类型和的选择，7有理函数的积分解题程序用多项式除法，把被积函数代为一个整式与一个真分式之和；把真分式分解成部分分式之和。所谓部分分式是指：分母为质因式或一质因式的若干次幂，而分子的次数低于分母的次数：(1)若分母中有因式，则其部分分式相应地有个，即,其中，为常数。(2)若分母中有因式，则部分分式相应的有个，即其中，（）为常数。五、典型例题例1：求解：设，则原式例2：解：原式 第四章 综合练习一.选择题1. 设的一个原

41、函数是，则 (A) (B) -2 (C) -4 (D) 42. 下列各式中错误的是（ ）(A) (B) (C) (D) 3. 设，则=( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4. ( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) .5. 若是的一个原函数，则（ ）；（A）； （B）； （C）； （D）二.填空题1. ，则=_;2. 设, 则=_;3. ,则=_;4. 设，则 ;5. 若是的一个原函数，则=_.三.求下列不定积分(1) (2)(3) (4) (5) (6). 四已知，求.五设，且，求。五 设为的原函数，当时，有，且， 试求。六*. 求七*设F ( x ) 是的一个原函

42、数，G ( x ) 是的一个原函数，且，求.5.1 定积分的概念与性质一. 选择题1. 下列等式不成立的是（ ）(A) ； (B) (C) (D) 2. 若，则与的大小关系是（ ）(A) ;(B) ; (C) ; (D) 无法确定.3*. 将和式的极限表示成定积分为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D).二. 填空题1. 曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为 2. 函数在区间上有界，是在区间上可积的 条件；而在区间上连续，是在区间上可积的 条件. 3*. 设是连续函数，且，则 .三. 计算题1. 设，. 求(1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2. 利用定积分几何意义解

43、释下列等式：(1) ； (2) ； 3*. 求极限 （提示应用估值定理或积分中值定理）.4*. 设在上连续，且，求.5.2 微积分基本公式一. 选择题1. 下列等于1的积分是（ ） B、 C、 D、2. 设在上具有一阶连续导数，则下列等式中正确的是（ ）A. B.C. D.3*. 设在区间上连续，若为偶函数，则是（ ）A、偶函数 B、奇函数 C、非奇非偶 D、不确定二. 填空题1. 设，则 ， .2*. 设连续函数满足，则 .三. 计算题1. 求下列极限(1) ； (2) . 2. 用牛顿-莱布尼茨公式求下列定积分：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 3. 求下列导数：(1) ；

44、(2) ； (3) ； (4) . *4. 设由方程所确定，求.5.3 定积分的换元法和分部积分法一. 用换元积分法求下列积分：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； 二. 用分部积分法求下列积分：(1) ； (2) ； (3) ； (4) 三. 综合题：1. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：(1) ； (2) . 2. 证明：.3*. 设在上连续，且，求：.5.4 反常积分一. 讨论下列反常积分的敛散性，并求出收敛的反常积分值：(1) ； (2) ； (3) ; (4) (5) ； (6) ； (7) ; (8) .二、当为何值时，反常积分收敛？ 当为何值时，

45、该反常积分发散？当为何值时，该反常积分取得最小值？知识要点与学习指导一、基本内容(一)定积分的定义设在上有界，在上任意插入若干个分点 ，把分成个小区间，小区间的长度为()，在每个小区间上取点，作和式。取，若当时，对区间的任意分法及每个小区间中的任意取法，均有确定的极限I，则称在上可积，极限I为在上的定积分，记为。 即 (二)有关定积分的重要性质和定理1线性性：.2可加性：.3比较性：若在上，则，取得若，则.4估值性：设和是在上的最大值和最小值，则.5积分中值定理：若在上连续，则，使 称为在 的平均值.6可变上限的定积分及其性质设在上连续，()，则在连续、可导且，即是的一个原函数.由此可得：若则

46、.(三)定积分的计算1牛顿-莱布尼兹公式：若是的一个原函数，则.2换元积分法：略.3分部积分法：.(四)广义积分1无穷区间上的广义积分设在内连续，取若存在，则称广义积分收敛，否则为发散，同理可定义和.2无界函数的广义积分设在上连续，在点的某邻域内无界，取，若存在，称广义积分收敛，否则为发散。同理可定义瑕点在右端点和区间内部的广义积分。二、基本要求1掌握定积分的定义，了解定积分概念产生的背景；2掌握变积分限函数的性质及求导方法；3掌握牛顿莱布尼兹公式，熟练掌握定积分换元积分法和分部积分法；4理解定积分的有关性质并注意解题与证题中的应用；5了解广义积分的定义，并能计算一些简单的广义积分。三、重点与

47、难点1重点：定积分的定义、牛顿莱布尼兹公式与定积分的计算；2难点：利用定积分的一些定义和性质来解题或证明.四、学习中应注意的几个问题1理解定积分的几何意义：()由曲线及直线，和所围曲边梯形的面积，这是用定积分解决有关面积问题的基础；2积分限问题。在中一般，但为讨论问题的方便，规定时，；时，；3遇到函数绝对值的定积分，应将绝对值去掉，即分区间进行讨论；4用换元法积分时，应牢记换元应换限；5解题或证题中，若遇有变限定积分，可以优先考虑用导数来处理；6二个公式：若是奇函数则; 若是偶函数则.五、典型例题例1 计算解： 原式例2 求极限解：原式例3 证明：若是奇函数，则证：而 。例4 计算解：令，时，

48、时，代入得：原式例5 计算解：原式例6 ，计算解： 例7 是以为周期的连续函数，证明的值与无关。证：而即的值与无关。例8 设在上连续且，证明：(1)；(2)方程在内有且仅有一个根。证：1) 2) 由于在上可导，故在上连续，故由零点存在定理知，在上连续，故由零点存在定理知。在由至少有一个根，但由于。故在上单调递增，所以方程在有仅有一个根。第五章 综合练习一. 填空题1. 函数在上有定义，且在上可积，此时积分 存在.2. 设，则= .3. .4. = .5*. .二. 选择题1. 设在区间上连续，则下列说法不正确的是（ ）.(A)是常数; (B)是的函数; (C)是的函数; (D)是和的函数.2.

49、 已知是的原函数，则（ ）.(A) ; (B) ;(C) ; (D) .3. 设在a，b上连续，则（ ）.(A) ; (B) ; (C) ; (D) .4. 若，则（ ）.(A) 0 ; (B) 1; (C) -1; (D) 2.5. 下列反常积分中收敛的是 （ ） (A) ; (B); (C) ; (D).三. 计算下列定积分：1. 2. 3. 4. 5. 6. 四. 综合题1. 求由，及直线所围成平面图形的面积.2. 求与所围图形的面积,并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.3设在上连续，证明 4. 证明：，并求出积分值。5. 设函数在上连续，且，试证明在内至少存在两个不同的点，使。(提示

50、作辅助函数再使用积分中值定理和Rolle定理 )6. 设函数在上可导，且，证明：必存在点，使得. (提示：使用积分中值定理和Rolle定理)6.1 微元法及定积分的几何应用一、求由下列各曲线所围成的图形的面积1）与直线及2），与直线3）二、求下列旋转体的体积1. 求由曲线和它在处的切线以及直线所围成的图形的面积和它绕轴旋转而成的旋转体的体积2. 由，所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两旋转体的体积三、综合题1、计算曲线上对应于的一段弧的长度2、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积1），2），6.2 定积分的物理应用一. 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力（单位：N）与伸长量（单

51、位：cm）成正比，即：（k是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm， 计算所作的功二. 一物体按规律作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由移到时，克服介质阻力所作的功设一锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？四. 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm和6cm，高为20cm，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力五. 设有一长度为，线密度为的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为单位处有一质量为m的质点M，试求这细棒对质点M的引力知识要点与学习指导一、基本内容（一）微元法根据问题的具体情况选取积分变量及变化区间，再小区间。求出部分量的近似值的

52、积分元素，从而求出所求量。（二）平面图形的面积1由平面曲线，直线，和所围图形的面积： 。2由平面曲线，和直线，所转图形的面积：。3由极坐标曲线， 、转的图形的面积：。4由参数方程，给出的曲线和直线，所围图形的面积： 。（三）体积1由曲线和直线，所围图形绕轴旋转一周所得旋转体体积： 。2由曲线和直线，所围图形绕轴旋转一周所得旋转体积：。3垂直于轴的平行截面面积为的函数的立体的体积： 。（四）平面曲线的弧长1直角坐标曲线：。2参数方程曲线，：。3极坐标曲线，： 。（五）定积分在物理上的应用对实际问题先取积分变量，积分区间，求出所求量的微元，利用微元法求解。二、基本要求1掌握利用定积分求解问题的基本

53、方法微元法。2会用定积分计算一些平图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。3能利用定积分解决有关数学和物理上的一些问题。三、重点和难点重点：用定积分求解的方法微元法，计算平面图形的面积，旋转体的体积和曲线的弧长。难点：用微元法解决有关问题。四、注意的问题本章的学习应注意在掌握微元法上下功夫，掌握了微元法，有关公式的掌握和证明就轻而易举了。五、典型例题例1：求椭圆所围成的图形面积。解：椭圆关于两坐标轴均对称，故面积为，其中为该椭圆在第一象限部分与坐标辆所围图形的面积。 利用参数方程，在第一象限，于是所求面积为： 当时，得圆的面积。例2：求曲线及直线，()所围图形绕轴、轴旋转一周所得旋转体的体积。解

54、：作出图形，求解交点：解方程组：，得交点坐标。从而可求的绕辆和绕轴旋转所得的旋转体体系和 。注：求体积进常需进行适当的分解或组合。例3：求摆线的弧长。解： 于是所求弧长 例4：一倒圆锥形容器，高为，底半径，容器内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出需作功多少？解：作轴截面图如图，取积分变量积分区间为。，取小区间相应于此小区间这一薄层水的高度为水的比重为，因此的单位为米。这薄层水的重量为 （这里是三角形的所此求的）。故这薄层水吸容器外需作为微功为：于是所求的功为：(KJ)7.1 微分方程的基本概念一. 指出下列方程中哪些是微分方程（1） ( ) （2） ( )（3） ( ) （4） ( ) 二指出下

55、列微分方程的阶数（1） ( ) （2） ( )（3） ( ) （4） ( )三. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解，如果是解,是通解，还是特解，请选出相应的选项（1）A.是解 B.不是解 C.是通解 D.是特解（2）A.是解 B.不是解 C.是通解 D.是特解四. 验证所给的二元方程所确定的函数为所给微分方程的解*（1）. （2）7.2 可分离变量的微分方程一. 求下列可分离变量的微分方程的解（1）； （2）；(3) ； （4）；（5）; （6）7.3 齐次微分方程一求下列齐次微分方程的解1. ； 2. .3. ； 4. ,5*. .6*. .7.4 一阶线性微分方程一求下列一阶线性

56、微分方程的解1 ； 2 3 45*；二一 曲线过原点，在处切线斜率为，求该曲线方程.7.5 可降阶的高阶微分方程求下列微分方程的解1. ；2. ；3. 4. 5. ，二. 试求的经过点且在此点与直线垂直的积分曲线.7.6 二阶常系数线性微分方程求下列常系数齐次微分方程的解1. ； 2. ；3. 4. 二. 求二阶常系数非齐次微分方程的解1. 2. 3. 4*. 知识要点与学习指导一. 基本概念1微分方程含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。2微分方程的阶微分方程中的未知函数的导数的最高阶数。3微分方程的解满足微分方程的函数4通解微分方程中带有独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解。5特解

57、利用定解条件，确定通解中任意常数的解。6定解条件用来确定通解中的任意常数的条件，常见的定解条件是初始条件。二. 一阶微分方程的解法1可分离变量方程 解：2齐次方程 解：令，则，故 3一阶线性方程 解：三. 可降阶的高阶微分方程的解法1, 用次不定积分求得方程的通解。2 令，则，得到一阶微分方程3 令，则，得到一阶微分方程 四. 线性微分方程的解的结构设二阶线性齐次微分方程为 (1) 它的个解的线性组合仍是方程的解；(2) 它的两个线性无关的特解的线性组合是方程的通解。设二阶线性非齐次微分方程为 式的通解与式的一个特解之和是式的通解若，分别为方程的特解，则方程的一个特解为五. 二阶线性常系数齐次

58、微分方程的解法设二阶线性常系数齐次微分方程为 的特征方程为(1)若 ，为两个不相等的实根，则式的通解为 (2) 若，为两相等的实根，则式的通解为 (3) 若是一对共轭复根，则式的通解为 六. 二阶线性常系数非齐次微分方程的解法设二阶线性常系数非齐次微分方程为：(1) 若，其中为的次多项式，则可令，其中为次多项式的标准型。(2) 若，其中，分别是次、次多项式，则可令其中，和是两个不同的次多项式。七. 学习方法指导1许多科学及技术问题的研究都归结到解微分方程。例如：研究最简单的机械振动就有微分方程：，这是二阶微分方程。2在初学本章时，首先要掌握微分方程的阶、解、通解、特解这四个基本定义。3应当注意

59、到，微分方程的通解不一定是所有解。 如：是一阶微分方程的通解，但该微分方程还有另一解，即。4在解阶微分方程时，因为通解中有个任意常数，为确定是这个参数，初始条件包含时，函数的值及这函数的直到阶的导数在时的值。例如：当时，初始条件为：及5在一阶微分方程一节中，学生必须能够识别这几种类型的微分方程并掌握它们的解法。6在三种高阶微分方程的求解时，也首先要能够认识三种类型，然后要知道每一类型该用什么方法去解。7在二阶及高阶线性微分方程的理论中，关于线性无关的解的概念有着重要的意义，同学应加深理解。8应当注意到，如果常系数齐次线性方程的特征方程有复根，则对应于这两个根的线性无关的特解为和。第七章 综合练

60、习一. 选择题1、函数（为任意常数）是微分方程的 （ ）（A）通解 （B）特解（C）是解，但既非通解也非特解 （D）不是解2、微分方程的通解是 （ ）（A） （B） （C） （D） 3. 下列微分方程中，通解是的方程是 ( )； ； 4. 微分方程的一个特解应具有形式 ( )； ； 5. 已知 ，则函数 的表达式为 ( )(A) (B) (C) (D) 二. 填空题1、方程的通解是_2. 方程的通解是_ 3. 方程 的通解是_4. 方程 的通解是_5. 已知方程 的积分曲线在点 处与直线 相切，则该积分曲线的方程为_三. 计算题1、求微分方程满足初始条件的一个特解2、求微分方程的通解3*、求方