2020-2021成都中考数学综合题专练∶圆的综合

1、2020-2021成都中考数学综合题专练：圆的综合一、圆的综合1.如图，在锐角厶ABC中，AC是最短边.以AC为直径的OO,交BC于D,过O作OEIIBC,交OD于E,连接AD、AE、CE.求证：ZACE=ZDCE；若ZB=45,ZBAE=15,求ZEAO的度数；S2(3)若AC=4,$ACDF3，求CF的长.43【答案】证明见解析，6。;于【解析】【分析】易证ZOEC=ZOCE,ZOEC=ZECD,从而可知ZOCE=ZECD,即ZACE=ZDCE；延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+ZBAG=60,由于OEIIBC,所以ZAEO=ZAGC=60,所以ZEAO=ZAEO=60；S1S2S

2、1易证svcoe=，由于責*二3，所以SVCDF=3，由圆周角定理可知VCAEVCOEVCAEZAEC=ZFDC=90,从而可证明CDF-CEA,利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】TOC=OE,ZOEC=ZOCE.TOEIIBC,.ZOEC=ZECD,.ZOCE=ZECD,即ZACE=ZDCE；延长AE交BC于点G.TZAGCABG的外角，二ZAGC=ZB+ZBAG=60.TOEIBC,.ZAEO=ZAGC=60.TOA=OE,.ZEAO=ZAEO=60.(3)TO是AC中点,S1-VCOE=.S2VCAEQS2S1S3，S=3.VCOEVCAETAC是直径，.ZAEC=ZFDC=90

3、.TZACE=ZFCD,CDF-CEA,CF_邑T.CF旦CA=冬3.33【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识2.如图，已知ABC中，AB=AC,ZA=30,AB=16，以AB为直径的OO与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DE丄AC于点E.求证：DE是OO的切线；求CE的长；(3)过点B作BGIIDF，父OO于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2)8-4J3(3)4n【解析】【分析】如图1,连接AD,OD,由AB为OO的直径，可得AD丄BC，再根据AB=A

4、C，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得ODIIAC，继而可得DE丄OD,问题得证；1如图2,连接BF,根据已知可推导得出DE=2BF,CE=EF，根据ZA=30,AB=16，可得BF=8，继而得DE=4,由DE为OO的切线，可得ED2=EFAE，即42=CE(16-CE)，继而可求得CE长；如图3,连接OG,连接AD,由BGIIDF,可得ZCBG=ZCDF=30，再根据AB=AC，可推导得出ZOBG=45,由OG=OB,可得ZOGB=45,从而可得ZBOG=90，根据弧长公式即可求得BG的长度.【详解】(1)如图1,连接AD,OD；AB为OO的直径，ZADB=90,即卩AD丄BC,TAB

5、=AC,.BD=DC,TOA=OB,ODIIAC,TDE丄AC,.DE丄OD,ZODE=ZDEA=90,.DE为OO的切线；(2)如图2,连接BF,TAB为OO的直径，.ZAFB=90,.BFIDE,TCD=BD,1.DE=BF,CE=EF,2TZA=30,AB=16,.BF=8,.DE=4,TDE为OO的切线，ed2=efAE,.42=ce(16-CE),CE=8-4J3,CE=8+4p3(不合题意舍去)；(3)如图3,连接OG,连接AD,TBGIDF，.ZCBG=ZCDF=30，TAB=AC，.ZABC=ZC=75，.ZOBG=75-30=45，TOG=OB，.ZOGB=ZOBG=45，.

6、ZBOG=90，90 xkx8BG的长度=4n.180【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.uuur3.在OO中，点C是AB上的一个动点（不与点A,B重合），ZACB=120,点丨是/ABC的内心，CI的延长线交OO于点D,连结AD,BD.（1）求证：AD=BD.（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.（3）若OO的半径为2,点E，F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长.【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI，理由见解析（3）兰39【解析】分析

7、：（1）根据内心的定义可得CI平分ZACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据ZACB=120，ZACD=ZBCD，可求出ZBAD的度数，再根据AD=BD，可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明ZBID=ZIBD，得出ID=BD，再根据AB=BD，即可证得结论；（3）连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI】为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E,F是弧AB-的三等分点，ABD是等边三角形，可证得ZDAI=ZA-D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明

8、：T点I是ZABC的内心CI平分ZACBZACD=ZBCD弧AD=弧BD.AD=BD（2）AB=DI理由：VZACB=120,ZACD=ZBCD乙BCD=x120=60弧BD=BDZDAB=ZBCD=60AD=BD.ABD是等边三角形,.AB=BD,ZABD=ZCI是厶ABC的内心BI平分ZABC.ZCBI=ZABIZBID=ZC+ZCBI,ZIBD=ZABI+ZABD.ZBID=ZIBD.ID=BDAB=BD.AB=DI解：如图，连接DO,延长DO根据题意可知点丨随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧/ZACB=120，弧AD=弧BD.ZAED=ZACB=x120=60V圆的半径为

9、2，DE是直径.DE=4，ZEAD=90.AD=sinZAEDxDE=V点E，F是弧ABT勺三等分点，ABD是等边三角形,.ZADB=60.弧AB的度数为120，.弧AM、弧BF的度数都为为40.ZADM=20=ZFABZDAI=,FAB+ZDAB=80二Zai1D=180-ZADM-ZDAI1=180-20-80=80.ZDAI=ZAID11.ad=i1D=2.弧I2的长为：汹汕71ISO点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.如图，0是厶ABC的内心，BO的延长线和ABC的外接圆相交

10、于D,连结DC.DA、OA、0C,四边形OADC为平行四边形.求证：BOCCDA.若AB=2,求阴影部分的面积.答案】(1)证明见解析；2)【解析】分析：(1)根据内心性质得Z1=Z2,Z3=Z4,则AD=CD,于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC,Z4=Z5=Z6,易得OA=OC,Z2=Z3,所以OB=OC,可判断点0为厶ABC的外心，则可判断ABC为等边三角形，所以ZAOB=ZBOC=ZAOC=120,BC=AC，再根据平行四边形的性质得ZADC=ZAOC=120,AD=OC,CD=OA=OB，则根据SAS”证明BOdCDA；(2)作OH丄AB于H,如图，根据等腰三角形的性质

11、和三角形内角和定理得到1ZBOH=30,根据垂径定理得到BH=AH=AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到叶苧bh耳，ob=2oh=233，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用详解：阴影部分巧扇形AOB-SAA0B进行计算即可.(1)证明：TO是厶ABC的内心,.Z2=Z3,Z5=Z6,IZ1=Z2,J.Z1=Z3,由ADIICO,AD=CO,Z4=Z6,BOCCDA(AAS)(2)由(1)得,BC=AC,Z3=Z4=Z6,.ZABC=ZACB.AB=AC.ABC是等边三角形.O是厶ABC的内心也是外心.OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.11在RtAO

12、CE中，CE=2AC=-AB=1,ZOCE=30,OA=OB=OC=_3ZAOC=120,S=S-S阴影扇AOBVAOB=竺(三)2-1x2x逅360323=4兀-3羽=9点睛:本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计如图所示，以RtAABC的直角边AB为直径作圆0,与斜边交于点D,E为BC边上的中点,连接DE求证：DE是O0的切线；连接OE,AE,当ZCAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求

13、sinZCAE的值.【答案】见解析；(2)10【解析】分析：(1)要证DE是O0的切线，必须证ED丄0D,即/EDB+ZODB=90(2)要证AOED是平行四边形，则DEIIAB,D为AC中点，又BD丄AC,所以ABC为等腰直角三角形，所以ZCAB=45，再由正弦的概念求解即可.详解：(1)证明：连接0、D与B、D两点，BDC是RtA，且E为BC中点，ZEDB=ZEBD.(2分)又:0D=0B且ZEBD+ZDBO=90，.ZEDB+ZODB=90.DE是O0的切线.(2)解：TZED0=ZB=90，若要四边形A0ED是平行四边形，则DEIIAB，D为AC中点，又:BD丄AC，.ABC为等腰直角

14、三角形.ZCAB=45.过E作EH丄AC于H,k，AE=k，设BC=2k，则EH=2.sinZCAE=EH6.函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6,0）、B（0,2）,点C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量X、y,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m,由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作RtAABM.设点M坐标

15、为（x,丫），求（x+y）的最大值是多少？【答案】（1）6（2）4+2営：5【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtAABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+/5,1+：5），代入直线y=-x+m，可得m=4+2、：5，即可得出x+y的最大值为4+2j5.详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y

16、轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，交x轴与E,如图所示，连接OD,CD.TA（6,0）、B（0，2）,D（3,1）,.OD=、:232=、：10,CD=10.根据CD丄EF可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为丫5,.C（3+,1+衬5），代入直线y=-x+m,可得：1+脣5=-（3+）+m,解得：m=4+2叮5,.x+y的最大值为4+25.故答案为：4+2冒5.点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解7.（8分）已知AB为

17、OO的直径，OC丄AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.（1）如图，求证：ED为OO的切线；如图，直线ED与切线AG相交于G,且0F=2,OO的半径为6,求AG的长.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接0D,由ED=EF可得出ZEDF=ZEFD,由对顶角相等可得出ZEDF=ZCFO；由OD=OC可得出ZODF=ZOCF,结合OC丄AB即可得知/EDF+ZODF=90,即/EDO=90,由此证出ED为OO的切线；（2）连接OD,过点D作DM丄BA于点M,结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合ZDOE的正弦、余弦值可得

18、出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA丄EA,从而得出DMIIGA,根据相似三角形的判定定理即可得出厶EDM-EGA,根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD,TED=EF,ZEDF=ZEFD,:ZEFD=ZCFO,ZEDF=ZCFO.TOD=OC,ZODF=ZOCF.TOCAB,ZCFO+ZOCF=ZEDF+ZODF=ZEDO=90,ED为OO的切线；（2）连接OD,过点D作DM丄BA于点M,由（1）可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a,EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=02+62，解得，a=8,ED4OD3即E

19、D=8,EO=10.vsinzEODD而=-，论EODD瓦=5424318DM=ODsinZE0D=6xD亏,MO=ODcosZE0D=6x-=-,1832亍孑,EADEOPmD16.vGA切OO于点A,.GA丄EA,.DMIIGA,：EDM-EGA,EMDEO-MOD10-DM_EMGA_EA2432了_T，解得GAD12.DAEBEOACEIATp图？CGA_16点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出ZEDOD9O；（2）通过相似三角形的性质找出相似比.8解决问题：（1）

20、如图，半径为4的eO外有一点P,且PO_7，点A在e0上，则pa的最大值和最小值分别是和（2）如图，扇形AOB的半径为4,ZAOB_45。，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E,在OB边上找一点F,使得VPEF周长的最小，请在图中确定点E、F的位置并直接写出VPEF周长的最小值；拓展应用（3）如图，正方形ABCD的边长为4、迈；E是CD上一点（不与D、C重合），CF丄BE于F,P在BE上，且PF_CF,M、N分别是AB、AC上动点，求VPMN周长的最小值E團【答案】（1）11,3；（2）图见解析，VPEF周长最小值为4迈；（3）104迈.【解析】【分析】（1）根据圆外一点P到这个圆上所有点的距

21、离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；（2）作点P关于直线OA的对称点P，作点P关于直线OB的对称点P2，连接p、P2，与OA、OB分别交于点E、F,点E、F即为所求，此时VPEF周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；（3）类似（2）题作对称点，VPMN周长最小二P2，然后由三角形相似和勾股定理求解.【详解】解：（1）如图，Q圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离PA的最大值二PA2二PO+OA2二7+4二11，PA的最小值

22、二PA=PO一。牛=7-4二3，故答案为11和3；（2）如图，以0为圆心，0A为半径，画弧AB和弧BD,作点P关于直线OA的对称点P，作点P关于直线0B的对称点P，连接P、P，与OA、0B分别交于点E、F,点E、1212F即为所求连接OP、OP?、OP、PE、PF，由对称知识可知，ZAOP=ZAOP，ZBOP二ZBOP，PE二PE，PF二PFZAOP+ZBOP=ZAOP+ZBOP=ZAOB=45。，12ZPOP=45。+45o=90o，12.vppp?为等腰直角三角形，PP=、辽OP=4,2，121VPEF周长=PE+PF+EF=PE+PF+EF=PP4迈，此时VPEF周长最小.1212故答案

23、为；G）作点P关于直线AB的对称P，连接AP、BP，作点P关于直线AC的对称P,1112连接P、P，与AB、AC分别交于点M、N如图由对称知识可知，PM二PM,PN=pN,VPMN周长12=PM+PN+MN=PM+PN+MN=PP，1212此时，VPMN周长最小=PP.12由对称性可知，上BAP=ZBAP，ZEAP=ZEAP，AP=AP=AP，ZBAP+ZEAP=ZBAP+ZEAP=ZBAC=45。12ZPAP=45。+45o=90。，12.Vpap2为等腰直角三角形，.VPMN周长最小值PP=J1AP，当AP最短时，周长最小.12连接DF.QCF丄BE，且PF=CF，PC/-ZPCF=45o

24、，cff2QZACD=45。，.ZPCF=ZACD，ZPCA=ZFCDACCDACPC在VAPC与VDFC中，=，ZPCA=ZFCDCDCFVAPC-VDFC，AP=竺r2，DFCDAP=、2dfQZBFC=90o，取AB中点O.点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短.DF=DO-FO=JOC2+CD2-OC=、：(2J2)2+(4、2-2迈=2.10-2迈,AP最小值为AP2DF此时，VPMN周长最小值PP=迈P=、辽迈F=迈迈102迈)=4而4迈12PiAB團D【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键9.如图，AC是

25、OO的直径，OB是OO的半径，PA切OO于点A,PB与AC的延长线交于点M,ZCOB=ZAPB.求证：PB是OO的切线；当MB=4,MC=2时，求OO的半径.【答案】(1)证明见解析；(2)3.【解析】【分析】根据题意ZM+ZP=90,而ZCOB=ZAPB，所以有ZM+ZCOB=90，即可证明PB是OO的切线.设圆的半径为r,则OM=r+2,BM=4,OB=r,再根据勾股定理列方程便可求出r.【详解】证明：(1)TAC是OO的直径，PA切OO于点A，PA丄OA在RtAMAP中，ZM+ZP=90，而ZCOB=ZAPB，.ZM+ZCOB=90，.ZOBM=90，即OBBP，.PB是OO的切线；(2

26、)设OO的半径为r，OM=r+2,OB=r,BM=4Qaobm为直角三角形二OM2=OB2+BM2，即(r+2)2=r2+42解得：r=3,OO的半径为3.【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.如图1,是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始(即M点的读数为0),如图2,把这个量角器与一块30(ZCAB=30)角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2的速度旋转到与CB,在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E.连接BE.当射线CP经过AB的中点时

27、，点E处的读数，此时BCE的形状；设旋转x秒后，点E处的读数为y,求y与x的函数关系式；当CP旋转多少秒时，BCE是等腰三角形？【答案】(1)60，直角三角形；(2)y=4x(0 x45)；(3)7.5秒或30秒【解析】【分析】根据圆周角定理即可解决问题；如图2-2中，由题意ZACE=2x,ZAOE=y,根据圆周角定理可知ZAOE=2ZACE,可得y=2x(0 x45)；分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：(1)如图2-1中，:乙ACB=90,OA=OB,OA=OB=OC,ZOCA=AOAC=30,ZAOE=60,点E处的读数是60,TZE=ZBAC=30,OE=OB,ZOBE=ZE=30

28、,.ZEBC=ZOBE+ZABC=90EBC是直角三角形；故答案为60,直角三角形；(2)如图2-2中，TZACE=2x,ZAOE=y,TZAOE=2ZACE,y=4x(0X45).如图2-3中，当EB=EC时，EO垂直平分线段BC,TACBC,TEOIIAC,ZAOE=ABAC=30,1ZECA=ZAOE=15,2.x=7.5.若2-4中，当BE=BC时,易知ZBEC=ZBAC=ZBCE=30,.ZOBE=ZOBC=60,TOE=OB,.OBE是等边三角形,.ZBOE=60,.ZAOB=120,1ZACE=ZACB=60,2.x=30,综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，BCE是等腰三角

29、形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.如图，OO的直径AB=26,P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为O0上的两点，若/APD=ZBPC,则称/CPD为直径AB的回旋角”.若/BPC=ZDPC=60,则/CPD是直径AB的回旋角”吗？并说明理由；13若CD的长为才n求回旋角”/CPD的度数；若直径AB的回旋角”为120，且PCD的周长为24+1汽3，直接写出AP的长.【答案】（1）ZCPD是直径AB的回旋角”，理由见解析；（2）回旋角”/CPD的度数为45；满足条

30、件的AP的长为3或23.【解析】【分析】（1）由/CPD、ZBPC得到/APD,得到/BPC=ZAPD，所以ZCPD是直径AB的回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出ZCOD=45,作CE丄AB交OO于E,连接PE,利用ZCPD为直径AB的回旋角”，得到ZAPD=ZBPC,ZOPE=ZAPD,得到1ZOPE+ZCPD+ZBPC=180，即点D,P,E三点共线，ZCED=_ZCOD=22.5,2得到ZOPE=90-22.5=67.5,则ZAPD=ZBPC=67.5,所以ZCPD=45；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D,P,F在同一条直线上，得到PCF是

31、等边三角形，连接OC,OD,过点O作0G丄CD于G,利用sinZDOG,求得CD,利用周长求得DF,过O作0H丄DF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可【详解】ZCPD是直径AB的“回旋角”,理由：TZCPD=ZBPC=60,ZAPD=180-ZCPD-ZBPC=180-60-60=60,ZBPC=ZAPD,.ZCPD是直径AB的“回旋角”(2)如图1,TAB=26,.OC=OD=OA=13,设ZCOD=n,TCd的长为#nn兀n1313兀1804n=45,ZCOD=45,作CE丄AB交OO于E,连接PE,.ZBPC=ZOPE,TZCPD为直径AB的回旋角

32、”，.ZAPD=ZBPC,.ZOPE=ZAPD,TZAPD+ZCPD+ZBPC=180,.ZOPE+ZCPD+ZBPC=180,点D,P,E三点共线，1ZCED=_ZCOD=22.5,2ZOPE=90-22.5=67.5,.ZAPD=ZBPC=67.5,ZCPD=45,即：回旋角”ZCPD的度数为45,当点P在半径OA上时，如图2,过点C作CF丄AB交OO于F,连接PF,PF=PC,同(2)的方法得,点D,P,F在同一条直线上,T直径AB的回旋角”为120,ZAPD=ZBPC=30,ZCPF=60,PCF是等边三角形,ZCFD=60,连接OC,OD,ZCOD=120,过点O作OG丄CD于G,1

33、CD=2DG,ZDOG=_ZCOD=60,213V3DG=ODsinZDOG=13xsin60=2CD=13V3,PCD的周长为24+13V3,PD+PC=24,TPC=PF，PD+PF=DF=24，过O作OH丄DF于H,1DH=DF=12,2在RtAOHD中，OH=JOD2-DH2=5在RtAOHP中，ZOPH=30,OP=10,AP=OA-OP=3；当点P在半径OB上时，同的方法得，BP=3,AP=AB-BP=23,即：满足条件的AP的长为3或23.【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关

34、键在于P点的分类讨论12.如图，AB为OO的直径，BC为OO的弦，过O点作OD丄BC,交OO的切线CD于点D,交OO于点E,连接AC、AE，且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是OO的切线；(2)若AF：EF=2：1,求tanZCAF的值.答案】(1)证明见解析；2)【解析】【分析】根据全等三角形的性质得到ZOBD=ZOCD=90,根据切线的判定定理即可得到结论；根据已知条件得到ACIIDE，设OD与BC交于G,根据平行线分线段成比例定理得到11AC：EG=2：1,EG=AC,根据三角形的中位线的性质得到OG=AC于是得到AC=OE，求得/ABC=30，即可得到结论.【详解】证明：

35、(1)TOC=OB,0D丄BC,ZCOD=ZBOD,在厶COD与厶BOD中，OC=OBZCOD=ZBOD,OD=0D.COD竺BOD,.ZOBD=ZOCD=90，.BD是OO的切线;(2)解：TAB为OO的直径，AC丄BC,TOD丄CB,.ACIIDE,设OD与BC交于G,TOEIAC,AF：EF=2：1,1.AC：EG=2：1,即卩EG=_AC,2TOGIAC,OA=OB,OG=1AC,211OG+GE=2AC+2AC=AC.AC=OE,.AC=AB,2.ZABC=30.ZCAB=60T%CE=BE,1ZCAF=ZEAB=ZCAB=30,2tanZCAF=tan30=U3【点睛】本题考查了切

36、线的判定和性质,垂径定理,全等三角形的判定与性质,三角形的中位线的性质,三角函数的定义,正确的识别图形是解题的关键13.设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的OB与AB相交于F点，延长EB交OB于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD求证：(1)AD是OB的切线；(2)AD=AQ；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】连接BD,由DC丄AB，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，再根据正方形的性质，可得ZADB二90。；由BD=BG与CD/BE，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得1ZG

37、=ZCDG=ZBDG=ZBCD=22.5。，继而求得ZADQ=ZAQD=67.5。，由等2角对等边，可证得AD二AQ；易求得ZGDE=ZGDB+ZBDE二67.5。=ZDFE，ZDCF=ZE=90。，即可证得RtVDCF-RtVGED，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论.【详解】证明：(1)连接BD，/.ZDBA二45。，ZDCB二90。，即DC丄AB,QC为AB的中点，/CD是线段AB的垂直平分线，/.AD=BD，/ZDAB=ZDBA=45。，/ZADB=90o，即BD丄AD，QBD为半径，/AD是eB的切线；QBD=BG，/ZBDG=ZG，QCD/BE，/ZCDG=ZG，1/ZG=

38、ZCDG=ZBDG=-ZBCD=22.5。，2/ZADQ=90o-ZBDG=67.5。，ZAQB=ZBQG=90。ZG=67.5。,/ZADQ=ZAQD，/AD=AQ；连接DF，在VBDF中，BD=BF，/ZBFD=ZBDF，又QZDBF=45o，/ZBFD=ZBDF=67.5。，QZGDB=22.5。，在RtVDEF与RtVGCD中，QZGDE=ZGDB+ZBDE=67.5。=ZDFE，ZDCF=ZE=90。，/RtVDCFsRtVGED，.CF=CD，EDEG又QCD=DE=BC,BC2二CF-EG.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判

39、定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法14.如图，已知等边ABC,AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF丄AC,垂足为F,过点F作FG丄AB,垂足为G,连结GD.(1)求证：DF是OO的切线;2)求FG的长；(3)求tanZFGD的值.【答案】(1)证明见解析；(2)6-：；(3).【解析】试题分析：连接OD,根据等边三角形得出ZA=ZB=ZC=60,根据OD=OB得到ZODB=60,得到ODIIAC,根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据RtACDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据RtAAFG的三角函数求出FG的长度；过点D