高中数学选修2-3配北师版-课后习题word版-第一章　计数原理§4　简单计数问题

1、4简单计数问题课后篇巩固提升A组1.设集合A=0,2,4,B=1,3,5,分别从A,B中任取2个元素组成无重复数字的四位数,其中能被5整除的数共有()A.24个B.48个C.64个D.116个解析:只含0不含5的有:C21C22A33=12;(2)只含5不含0的有:C22C21A33=12;(3)含有0和5的有:当0在个位时,有C21C21A33=24;当5在个位时,有C21C21A21A22=16.共有12+12+24+16=64个.答案:C2.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案:C3.将A,B,C,D,E排成一

2、列,要求A,B,C在排列中顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列数有()A.12种B.20种C.40种D.60种解析:(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为A55,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以这三个元素的全排列A33再乘以2,可得A55A332=40.答案:C4.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为()A.24B.28C.36D.48解析:穿红色衣服的人相邻的排法有A22A44=48(种),同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而红色、黄

3、色同时相邻的有A22A22A33=24(种).故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A55-248+24=48(种).答案:D5.某校准备参加2017年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有种.解析:原问题等价于把10个相同的小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球排成一排,从中间9个间隙中选出7个截成8段(有C97种截法),对应放到8个盒子里,有36种放法.因此,不同的分配方案共有36种.答案:366.某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完

4、),则不同买法的种数为.(用数字作答)解析:由已知分两类情况:(1)买5本2元的买法种数为C85.(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C84C32.故不同的买法种数为C85+C84C32=266.答案:2667.某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解:(1)从余下的34种商品

5、中,选取2种,有C342=561(种),故某一种不合格商品必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有C343种或者C353C342=C343=5 984(种).故某一种不合格商品不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种合格商品中选取1件,从15种不合格商品中选取2件有C201C152=2 100(种).故恰有2种不合格商品在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2件不合格商品有C201C152种,选取3件不合格商品有C153种,共有选取方式C201C152+C153=2 100+455=2 555(种).故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2 555种.

6、(5)任意选取3件的总数有C353种,因此共有选取方式C353C153=6 545-455=6 090(种).故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6 090种.B组1.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A43=24.故选D.答案:D2.任取三个互不相等的正整数,其和小于100,则由这三个数构成的不同的等差数列共有()A.528个B.1 056个C.1 584个D.4 851个解析:先确定等差数列的中间项,再确定第一、三项.设这三个成等差数列的数分

7、别为a,b,c.由题意得a+b+c100,即3b100,得b可以取2,3,33,共32个数.第一类,b=2时,a,c的取值共有2个(a=1,c=3和a=3,c=1,对应的是两个数列);第二类,b=3时,a,c的取值共有4个;第三十二类,b=33时,a,c的取值共有64个.根据分类加法计数原理,可得满足题意的数列共有2+4+64=1 056个.答案:B3.将6名报名参加运动会的同学分别安排到跳绳、接力、投篮三项比赛中(假设这些比赛都不设人数上限),每人只参加一项,则共有x种不同的方案,若每项比赛至少要安排一人时,则共有y种不同的方案,其中x+y的值为()A.1 269B.1 206C.1 719

8、D.756解析:依题意得x=36=729,当每项比赛至少要安排一人时,先分组,有C61C51C44A22+C61C52C33+C62C42C22A33=90(种),再排列,有A33=6(种),所以y=906=540,因此x+y=1 269,故选A.答案:A4.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答)解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C53种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C43种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条

9、棱的中点也共面,有4C21种取法.因此,满足题意的不同取法共有4C53+2C43+4C21=56(种).答案:565.对一个各边长不相等的凸五边形的各边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边染相同的颜色,则不同的染色方法共有种.解析:不妨假设AB边染黄色,BC边染红色,若CD边染黄色,则DE边染蓝色,AE边染红色,或DE边染红色,AE边染蓝色,共2种情况;若CD边染蓝色,则DE边染红色,AE边染蓝色,或DE边染黄色,AE边染红色或DE边染黄色,AE边染蓝色,共3种情况,根据对称性,不同的染色方案共有(2+3)32=30种.答案:306.一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上

10、由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,nN+),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.解析:从原点O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置,只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=Cm+nm.答案:Cm+nm7.把7个完全相同的小球放置在三个盒子中,允许有的盒子一个也不放.(1)如果三个盒子完全相同,有多少种放置方法?(2)如果三个盒子各不相同,有多少种放置方法?解:(1)因为小球完全相同,三个盒子也完全相同

11、,所以把7个小球分成三份,比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中,无论哪一份小球放入哪一个盒子,均是同一种放置方法,因此,只需将7个小球分成如下三份:(7,0,0),(6,1,0),(5,2,0),(5,1,1),(4,3,0),(4,2,1),(3,3,1),(3,2,2)即可.所以共有8种不同的放置方法.(2)设三个盒子中小球的个数分别为x1,x2,x3,显然有x1+x2+x3=7,于是,问题就转化为求这个不定方程的非负整数解的组数问题,令yi=xi+1(i=1,2,3),得y1+y2+y3=10,问题又成为求不定方程y1+y2+y3=10的正整数解的组数的问题,把10个小球排成一排,在10个小球中间的9个空中,任取两个空插入“隔板”,即可将10个球分成三组,故不定方程的解有C92=36(组).故有36种放置方法.8.已知平面,在内有4个点,在内有6个点.(1)过这10个点中的3点作一平面,最多可作多少个不同平面?(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?解:(1)所作出的平面有三类:内1点,内2点确定的平面,有C4