高中数学必修4配北师版-课后习题Word版习题课-平面向量数量积的综合应用

1、习题课平面向量数量积的综合应用课后篇巩固探究1.已知a=(3,-2),b=(1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为()A.-16B.16C.-17D.17解析向量a+b与a-2b垂直,则(a+b)(a-2b)=0,又因为a=(3,-2),b=(1,0),故(3+1,-2)(1,-2)=0,即3+1+4=0,解得=-17.答案C2.若ABC满足A=2,AB=2,则下列三个式子:ABAC,BABC,CACB中为定值的式子的个数为()A.0B.1C.2D.3解析因为ABAC=|AB|AC|cos 2=0,所以ABAC为定值;因为BABC=|BA|BC|cos B=|BA|2=4,所以BAB

2、C为定值.同理CACB=|AC|2,而|AC|不是定值,故不满足.故选C.答案C3.已知平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若AB=(2,4),AC=(1,3),则ADBD=()A.-8B.-6C.6D.8解析ADBD=BC(ADAB)=(ACAB)(AC-2AB)=(1,3)-(2,4)(1,3)-2(2,4)=(-1)(-3)+(-1)(-5)=8.答案D4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=23,a与b的夹角的余弦值为sin173,则b(2a-b)等于()A.2B.-1C.-6D.-18答案D5.已知|a|=2|b|0,且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根,则a与b夹角的

3、取值范围是()A.0,6B.3,C.3,23D.6,解析设a,b的夹角为,由题意得0,即|a|24ab,cos =ab|a|b|a|24|a|b|=12,3.又0,3,.答案B6.已知ABC中,|BC|=10,ABAC=-16,D为BC边的中点,则|AD|等于()A.6B.5C.4D.3解析D为BC边的中点,AD=12(AB+AC).|AD|=12|AB+AC|.又|BC|=10,且BC=ACAB,|ACAB|=10,即(ACAB)2=100,即|AC|2+|AB|2-2ACAB=100.ACAB=-16,|AC|2+|AB|2=68,故(AC+AB)2=68-32=36.|AB+AC|=6,

4、即|AD|=3.故选D.答案D7.已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a-(ab)b,则|c|=.解析由题意可得ab=21+4(-2)=-6,c=a-(ab)b=a+6b=(2,4)+6(1,-2)=(8,-8),|c|=82+(-8)2=82.答案828.已知向量a=(2,1),b=(-1,2),若a,b在向量c上的投影相等,且(c-a)(c-b)=-52,则向量c的坐标为.解析设c=(x,y),c与a的夹角为,c与b的夹角为.由已知有|a|cos =|b|cos ,即ac|c|=bc|c|,即(a-b)c=0,即3x-y=0,由已知(c-a)(c-b)=-52,即x2+y2

5、-x-3y+52=0,联立得x=12,x=32,即c=12,32.答案12,329.如图,A是半径为5的圆O上的一个定点,单位向量AB在A点处与圆O相切,点P是圆O上的一个动点,且点P与点A不重合,则APAB的取值范围是.解析如图所示,以AB所在直线为x轴,AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.设点P(x,y),B(1,0),A(0,0),则AB=(1,0),AP=(x,y),所以APAB=(x,y)(1,0)=x.因为点P在圆x2+(y-5)2=25上,所以-5x5,即-5APAB5.所以应填-5,5.答案-5,510.导学号93774081已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3)

6、,OC=(5-m,-(3+m).(1)若点A,B,C不能构成三角形,求实数m应满足的条件;(2)若ABC为直角三角形,求实数m的值.解(1)OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m),若点A,B,C不能构成三角形,则这三点共线.AB=(3,1),AC=(2-m,1-m),ABAC,即3(1-m)=2-m,m=12.(2)若ABC为直角三角形,且A为直角,则ABAC,3(2-m)+(1-m)=0,解得m=74.B为直角,BC=(-1-m,-m),则ABBC,3(-1-m)+(-m)=0,解得m=-34.C为直角,则BCAC,(2-m)(-1-m)+(1-m)(-m)=0

7、,解得m=152.综上所述,m=74或m=-34或m=152.11.导学号93774082已知AD,BE,CF是ABC的三条高,求证:ABC的三条高交于一点.证明如图所示,设BE,CF交于点H,AB=b,AC=c,AH=h,则BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.BHAC,CHAB,(-b)c=0,(-c)b=0,即c-bc=0,b-cb=0,由-,得h(c-b)=0,即AHBC=0,AHBC,AH的延长线过点D,从而AD,BE,CF相交于一点H.12.导学号93774083已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使CACB取到最小值时的OC;(2)对(1)中求出的点C,求cosACB.解(1)因为点C是直线OP上的一点,所以向量OC与OP共线.设OC=tOP,则OC=t(2,1)=(2t,t),CA=OAOC=(1-2t,7-t),CB=OBOC=(5-2t,1-t),CACB=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t+12=5(t-2)2-8