电动力学课件 4

1、第三章 静磁场（6课时） 静磁场的典型解法：磁矢势法，磁标势法，泰勒展开法静磁场两条定理与毕奥萨伐尔定律的等效性 静磁场能量静磁场能量表达式的严格推导；2. 静磁场热力学节次节 名小节标题3.1基本方程和唯一性定理基本方程，磁矢势及其微分方程，无限均匀线性各向同性磁介质中的磁矢势解，边值关系，边界条件和唯一性定理 3.2二维二分量问题二维二分量静磁场的定解问题，二维二分量静磁场的定解问题求解举例3.3从磁矢势出发计算磁场圆环电流的磁场，任意小载流导体在远处的磁场，磁偶极子在外磁场中所受的力和力矩 3.4磁标势法磁标势的引入、相关方程和边值关系，磁标势法与静电场解法的对应关系，磁标势法应用举例3

2、.5磁能磁能基本公式，安培力做功与磁能变化，小载流导体在外磁场中的磁能和势能，静磁场热力学【提示】对比静电场的分析方法8/20/202213.1 基本方程和唯一性定理基本方程 (分区均匀线性各向同性介质)（3.1.1)（3.1.3)（3.1.2)二 磁矢势及其微分方程（3.1.6)（3.1.7)为减小 A 的任意性，对其散度加上条件（又称规范条件）：（3.1.5)（3.1.4)对比静电势的泊松方程：说明：(3.1.7)的解必须满足(3.1.5)，才是磁矢势解！8/20/202223.1 基本方程和唯一性定理 转换之后的定解问题变得更加复杂： 偏微分方程由一阶增至二阶 对 A 提边界条件缺乏物理

3、依据和实用价值 为何要引入磁矢势 A ？在无限均匀介质中，可类比静电场直接写出磁矢势解：（3.1.8)对于二维二分量问题，A 只有一个分量，且具有明确的物理意义，便于直接计算或求解（套用静电场各种解法）对时变场源情况，从A（和）出发计算辐射场比较方便，且便于实现经典电动力学向相对论电动力学和量子力学过渡结论：一般不直接求解 A8/20/202233.1 基本方程和唯一性定理 检验 A 的解是否满足规范条件 检验的必要性 检验过程： 作用于 rj0(r )= 0=8/20/202243.1 基本方程和唯一性定理（3.1.13)三 边值关系（3.1.12)n【备注】齐次边值关系用于直接求解；非齐次

4、关系事后用来计算界面电荷密度（题目给定非零 i0 的情况例外）21 导出毕奥沙伐尔定律：（3.1.9)【推论】静磁场两条定理与毕奥萨伐尔定律等效或CC：界面任一侧闭合回路推论：切向分量连续的矢量场，其旋度法向分量连续8/20/202253.1 基本方程和唯一性定理边界条件和唯一性定理同第一章1.1节的任意矢量场的唯一性定理：给定磁场的散度（等于零）和旋度，以及边界上的法向分量，解唯一。静磁场的定解问题：多数情况下给定满足自洽条件(无孤立磁荷)： 实际情况给定星体（如地球和太阳）表面的法向磁场强度超导体或磁场为零的理想导体：Bn 0（自洽边界条件）8/20/202263.2 二维二分量问题一 二

5、维二分量静磁场的定解问题猜：A = A e3，则正交曲线坐标系：u1, u2, u3; 拉梅系数：h1, h2, h3；二维：磁场和拉梅系数仅与坐标 u1, u2 有关(u3称为“可忽略坐标”)二分量：B3 0j0 = j0 e38/20/202273.2 二维二分量问题基本方程：限于直角坐标系(x, y, z)和圆柱坐标系(, , z)（3.2.1)（3.2.2)（3.2.3)边值关系：引入局地正交坐标系(en,e, ez) 局地坐标eneez直角坐标exeyez圆柱坐标eeez（3.2.4)（3.2.5)（3.2.6)磁介质界面：理想导体表面:8/20/202283.2 二维二分量问题边界

6、条件：设 C 为解域边界与 z = 0 平面的交线(闭合曲线) 它即为二维问题的边界（3.2.6)（3.2.11)物理意义：表示通过1和2之间、沿 z 轴方向单位长度边界面的磁通量对内部磁场为零的理想导体边界，AC 为常数 给定理想导体柱的电流强度：与静电场情况给定单位长度导体柱的电量相对应AC 常数给定 Bn|C:8/20/202293.2 二维二分量问题二 二维二分量静磁场问题求解举例例3.1 半径为 a、电流强度为 I0 的长圆柱超导体,置于均匀外磁场中,外场方向与柱轴垂直,求柱外空间(真空)的磁场. 图31xzB0Oa解 取圆柱坐标(, , z); B0沿 x 轴方向，取列出边界条件和

7、正则条件：周期边界条件（已体现在通解的选择之中）远处渐近条件: 均匀场长直线电流场（部分体现）导体电流强度和导体表面为等磁矢势面（尚未使用）利用电流强度为I0 的条件：利用超导体表面等势的条件：利用远处（ ）均匀场条件：8/20/2022103.2 二维二分量问题(续解例3.1)式中无关紧要的常数 0 可通过适当选择磁矢势零点确定.解毕由磁矢势A求得磁场分量如下：8/20/2022113.3 从磁矢势出发计算磁场 一般情况下，从 B 的表达式出发更为直接、简便 对于二维二分量问题，从 A (仅有一个分量)出发简单一 圆环电流的磁场图32yzOaxPrSrQRI取圆柱坐标(, , z); 圆环位

8、于 z 0 平面，半径为a，电流强度为I，z 轴与电流方向成右手螺旋关系场点P：r (, , z); 源点S：r (a, , 0);关键在于写出的表达式考察直角三角形PQS,成立, ,电流元：8/20/2022123.3 从磁矢势出发计算磁场下面要解决两个问题：磁矢势只有一个分量：A=Ae (基于对称性分析或解析证明）计算积分：一般使用泰勒展开法，求远处的磁场由eze = 0,可知Az = ezA = 0； 再由证毕；这与二维二分量问题的磁矢势只有第3分量的结论自洽8/20/2022133.3 从磁矢势出发计算磁场远场近似（泰勒展开）：圆环电流的磁矩磁偶极子场：（3.3.7)8/20/2022

9、143.3 从磁矢势出发计算磁场二 任意小载流导体在远处的磁场(对比电多级子场的分析过程)（3.3.8)（3.3.1)（3.3.9)由得由得第一项为零；8/20/2022153.3 从磁矢势出发计算磁场任意载流导体的磁矩注意：磁矩计算结果与参考点选择无关：将参考点由原点移至 r0，相应r r - r0：8/20/2022163.3 从磁矢势出发计算磁场磁偶极子在外磁场中所受的力和力矩 (对比电偶极子受力分析） rOr图33Or0dVB（3.3.15)（3.3.14)求导时视 m 为常矢量! 力：8/20/2022173.3 从磁矢势出发计算磁场由磁偶极子受力公式：(求导时视 m 不变) 力矩：

10、仅保留 Be 展开式的主项【说明】以上略去了对磁四极子的力和力矩的分析8/20/2022183.4 磁标势法一 磁标势的引入、相关方程和边值关系 在没有传导电流的空间,磁场满足与没有自由电荷的静电场方程和边值关系具有同样的数学形式m：磁标势磁标势单值条件：限于单连通空间，避免C 与电流相互环绕单连通空间示例IC多连通空间示例CI8/20/2022193.4 磁标势法分区均匀线性各向同性磁介质（3.4.8)（3.4.9) 边值关系： 基本方程：永磁体（3.4.15) 边值关系： 基本方程：8/20/2022203.4 磁标势法二 磁标势法与静电场解法的对应关系 限于分区均匀线性各向同性介质(可含

11、永磁体，但不含传导电流)表31 分区均匀各向同性介质和永电、磁体中的静电场和静磁场方程表32 电学量和磁学量的对应关系电学量ED0Pp磁学量HBmmm00M0m8/20/2022213.4 磁标势法三 磁标势法应用举例 例3.2 半径为a、磁导率为 的均匀介质球置于均匀磁场B0 之中,球外真空,求空间磁标势和磁场分布.解 本问题与2.2节例2.3的静电场问题对应,其电势和电场分布如下：.转换为磁场解：电学量EE00Pp磁学量HH0=B0/0m00M0m符号替换表：8/20/2022223.4 磁标势法 (3.4.20)例3.2（续）由磁场强度求磁感应强度： (3.4.21)磁化介质球（磁化强度

12、M）产生的磁感应强度：8/20/2022233.4 磁标势法例3.3 求半径为 a、磁化强度为M 的永久磁铁球产生的磁场.解 采用球坐标(r,）,原点位于球心，取尝试分离变量解：满足边值关系：确定待定系数：代回尝试解得： (3.4.24)(3.4.25)8/20/2022243.4 磁标势法例3.4 半径为 a 的长导体薄圆柱壳,沿轴线切成两半,彼此绝缘,电势分别为V，求该柱面内外的电势分布。解 本问题的两半圆柱壳均为等电势面.在两狭缝处置入长直线电流，强度相同，流向相反。可证明磁力线与圆柱面垂直，该面为等磁势面。因此，待求电场与该磁场具有同样的形式，即 ,xyOaII从上述两式积分得到同样结

13、果：理由： / x 和 / y 为同一个电势函数(x,y)的偏导数8/20/2022253.4 磁标势法例3.4（续）积分过程中用到如下不定积分公式：利用恒等式：上述两式导致相同结果：8/20/2022263.4 磁标势法例3.5 两无限长任意截面的平行传输线,其间填满均匀各向同性介质,介电常量为，磁导率为，单位长度电容和电感分别为L 和C，证明LC= .图34C1PC2CQIEBdlezdl解 本题技巧性强,证明步骤如下：取直角坐标（x, y, z），z 轴与传输线平行。设传输线电流强度为I，单位尺度电量为，则式中V 和 与PQ连线C的选取无关：传输线表面为等电势面和磁（力线）面（理想导体近

14、似）。运用静电场的高斯定理和静磁场的安培环路定理分别推得C1：传输线界面周线. ?8/20/2022273.4 磁标势法(续解例3.5)?思路：在E 和B 之间建立某种关系依据：静磁场解的唯一性定理； E 和B 同为势场，彼此垂直尝试：作矢量场比例系数 应与电流强度I 成正比，与电荷密度 成反比。（A）代入（A）式右边，证得该式成立，证毕。于是成立8/20/2022283.5 磁 能 从电磁场能量和能量守恒普遍结果出发，导出磁场的能量表达式及守恒定理 静磁场热力学基本知识及简单应用一 磁能基本公式(线性无损耗、无色散介质）静磁场近似：略去辐射项(S = 0)，设电能始终为零(E = 0)，则外

15、界对静磁场的功率：磁场的能量：能量守恒定理：1. 推导 (3.5.1) (3.5.4) (3.5.3) (3.5.2)； 重要说明：静磁场线性磁介质系统的磁能8/20/2022293.5 磁 能2. 磁能公式转换注意(1) 能量密度中包含介质极化能:(2) 因而介质必须是线性无色散、无损耗介质，但可非均匀(3) 在静电能表达式(3.5.7)中，A 为总磁矢势，j0 为传导电流！(4) 可放心在非均匀（一般分区均匀）介质中使用(3.5.7)及相关能量守恒定理(3.5.4)： (3.5.7) (3.5.4) (静电能密度）8/20/2022303.5 磁 能推导载流线圈的磁能公式 电磁学的结果（N

16、 个线圈的磁能）： 由一般磁能公式证明上述线圈磁能公式：证毕Ci ：第 i 个线圈回路i : 第 i 个线圈所围面积Vi ：第 i 个线圈导线体积8/20/2022313.5 磁 能安培力做功与磁能变化1. 洛伦兹力不做功，为何安培力做功？BIvuFF+FAvv+l安培力来自洛伦兹力的宏观平均：安培力对运动载流导线做功：8/20/2022323.5 磁 能安培力做功与磁能变化（续）rOr图35Or0dVB2. 安培力做功与系统磁能变化的关系不出现非电磁力时，安培力做功等于磁能减小外接电池维持系统传导电流不变时，安培力做功等于系统磁能增加；相应电池做两倍的正功证 系统磁能（相互作用能）：(3.5

17、.8)(3.5.9)维持电流不变，安培力移动线圈做功：r0：载流导体参考点O 的位置矢量；r0 由 移至原点O(r00),求功;r：载流导体体积元dV 相对O的位置矢量（载流导体运动过程中不变）；r：载流导体体积元dV 相对O位置矢量；8/20/2022333.5 磁 能代入(3.5.9)得对体积分贡献为零(3.5.9)证毕即当维持系统传导电流不变时，安培力做功等于系统磁能增加。仅需考虑上式右边第一项的贡献，将该项对r0积分：8/20/2022343.5 磁 能三 小载流导体在外磁场中的磁能和势能 前提：载流导体的传导电流和外磁场维持不变 1. 磁能（相互作用能）表达式为上式右边第一项为零，第

18、二项化为8/20/2022353.5 磁 能三 小载流导体在外磁场中的磁能和势能（续）第一项为F，第二项化为面积分后证其消失。2. 安培力与磁能的关系：3. 势能：定义为外界克服安培力所做的功：说明：分析具固有磁矩的基本粒子在外磁场中的运动时， 采用势能取代磁能证明：8/20/2022363.5 磁 能四 静磁场热力学在非线性介质中，无法针对外界对传导电流做功定义相对应的能量，怎么办？一旦碰到这种情况，采用热力学方法进行处理：承认能量守恒，一般伴随功热转换的不可逆过程 静磁场热力学方程对可逆过程： (3.5.17) (3.5.18) 第一章第4节的一般结果 电磁场热力学方程8/20/2022373.5 磁 能图36OHM例3.6 计算各向同性铁磁体的磁滞损耗, 证明磁滞回线只可能逆时针运行. 解 按图示磁滞回线运行方向，对绝热过程有在反复磁化过程中，功全部转化为热能.若磁滞回线运行方向改为顺时针，则上述积分变负，即系统损失热能（冷却），并全部转化为功；换言之，从单一热源取热，全部转换为功 违反热力学第二定律！结论：任何各向同性铁磁体的磁滞回线只可能逆时针运行证毕8/20/2022383.5 磁 能例2.13 证明线性各向异性磁介质的磁导率为对称张量。 证 引入热力学函数 d 为全微分： 证毕8/20/2022393.5 磁 能