人教版勾股定理单元 易错题难题测试题

1、一、选择题1如图，在等边ABC中，AB15，BD6，BE3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）A8B10C43D1262棱长分别为8cm，cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱EF的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最11短距离是()A(3510)cmB513cmC277cmD(2583)cm3已知等边三角形的边长为a，则它边上的高、面积分别是（）aa2A,243aa2B,243a3a2C,243a3a2D,444如图,A、B两点在直

2、线l的两侧,点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且CD=6,P为直线CD上的动点,则PAPB的最大值是（）A62B22C210D65如图，在ABC中，ACB90，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC4，AC8，则SPBC为（）A3B3.3C4D4.56以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是()A2、3、6C3、4、7B3、4、5D2、3、47已知M、N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，eqoac(,BC)，则ABC一定是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三

3、角形8如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD是BAC的平分线若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A245B5C6D89在直角三角形ABC中，C90，两直角边长及斜边上的高分别为a,b,h，则下列关系式成立的是（）A2a2b2h2B1a2b2h2Ch2abDh2a2b2211110已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是()A5B4C34D4或34二、填空题11如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5，若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为_12如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿

4、长方体表面爬行到C处，若长方体的长AB4cm，宽BC2cm，高BB1cm，则蚂蚁爬行的最短路径长是_13如图，在四边形ABCD中，AD22，CD3，ABCACBADC45，则BD的长为_14如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CECD，ABC的顶点A在ECD的斜边上若AE3，AD7，则AC的长为_15在RtABC中，C90,A30,BC2，以ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为_.16如图,在四边形ABCD中,A=60,B=D=90,AD=4,AB=3,则CD=_17如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，且AB=3，BC

5、=5线段OA的取值范围是_；若BD-AC=1，则ACBD=_18如图，E为等腰直角ABC的边AB上的一点，要使AE3，BE1，P为AC上的动点，则PBPE的最小值为_19如图的实线部分是由RtABC经过两次折叠得到的.首先将RtABC沿高CH折叠，使点B落在斜边上的点B处，再沿CM折叠，使点A落在CB的延长线上的点A处.若图中ACB90，BC15cm，AC20cm，则MB的长为_.20在RtABC中，A90，其中一个锐角为60，BC23，点P在直线AC上（不与A，C两点重合），当ABP30时，CP的长为_三、解答题21如图，在两个等腰直角ABC和CDE中，ACB=DCE=90（1）观察猜想：如

6、图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）拓展延伸：把CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=10，DE=12，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长22如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k.（1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC为优三角形，ABc，ACb，BCa，如图1，若ACB90，ba，b6，求a的值.如图2

7、，若cba，求优比k的取值范围.（3）已知ABC是优三角形，且ABC120，BC4，求ABC的面积.23（1）如图1，在RtABC中，ACB90，A60，CD平分ACB.求证：CAADBC.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC关于直线CD的对称图形ADC，CD平分ACB，A点落在CB上，且CACA，ADAD.因此，要证的问题转化为只要证出ADAB即可.请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD中，AC平分BAD，BCCD10，AC17，AD9，求AB的长.24在ABC中，ABAC，CD是AB边上的高，若AB10,B

8、C45.（1）求CD的长.（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上从点A出发向点C运动，速度为v个单位秒v1，设运动的时间为tt0，当点Q到点C时，两个点都停止运动.若当v2时，CPBQ，求t的值.若在运动过程中存在某一时刻，使CPBQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围.25如图，点A是射线OE：yx（x0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交AOB的平分线于点C（1）若OA52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CGAB于点G，CHOE于点H，求证：CGCH（3）若点A的坐标为（2，2），射线OC与A

9、B交于点D，在射线BC上是否存在一点P使得ACP与BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由在（3）的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，22），请你判断也满足ACP与BDC全等的点是（写出你认为正确的点）26在ABC中，ACB90，ACBC6，点D是AC的中点，点E是射线DC上一点，DFDE于点D，且DEDF，连接CF，作FHCF于点F，交直线AB于点H（1）如图（1），当点E在线段DC上时，判断CF和FH的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），当点E在线段DC的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC和CFH

10、面积相等时，点E与点C之间的距离；如果不成立，请说明理由27阅读下列一段文字，然后回答下列问题已知在平面内有两点Px,y、Px,y111222，其两点间的距离PPx121x22y1y22，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为x1x2或|y1y2|.（1）已知A2,4、B3,8，试求A、B两点间的距离_.已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1，试求M、N两点的距离为_；（2）已知一个三角形各顶点坐标为D1,6、E3,3、F4,2，你能判定此三角形的形状吗?说明理由（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点

11、P，使PDPF的长度最短，求出点P的坐标及PDPF的最短长度28如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图1，过点E作EFBE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BEEF;设AEx，CGy，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE为边的菱形.29如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系（2）把图1中的正方形DEFG绕点

12、D顺时针旋转45，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，连接CE，如图3，其他条件不变，若DG2，AB6，直接写出CM的长度30如图，在ABC中，ACB90，ACBC，AB2，CD是边AB的高线，动点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC运动；同时，动点F从点C出发，以相同的速度沿射线CB运动设E的运动时间为t（s）（t0）（1）AE（用含t的代数式表示），BCD的大小是度；（2）点E在边AC上运动时，求证：ADECDF；（3）点E在边AC上运动时，

13、求EDF的度数；（4）连结BE，当CEAD时，直接写出t的值和此时BE对应的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】首先利用等边三角形的性质和含eqoac(,30)直角三角形的运用，判定DPEFDH，eqoac(,DF)2eqoac(,Q)ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.【详解】ABC为等边三角形，B=60，过D点作DEAB，过点F作FHBC于H，如图所示：则BE=12BD=3，在DPE和FDH中，EDPDFH，DPFD点E与点E重合，BDE=30，DE=3BE=33，DPF为等边三角形，PDF=60，DP=DF，EDP+HDF=90HDF

14、+DFH=90，EDP=DFH，PEDDHF90DPEFDH（AAS），FH=DE=33，点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为33，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，BDF1=30+60=90，则DF1BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2QBC于Q，则四边形DF1F2Q是矩形，BDE=30，ADF2=60，ADE+F2DQ=1803060=90，ADE+DAE=90，F2DQ=DAE，DFADFQDDEA902在eqoac(,DF)2Q和ADE中，F2DQDAE2，eqoac(,DF)2eqoac(,Q)ADE（AAS），DQ=AE=ABBE

15、=153=12，F1F2=DQ=12，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为12，故选：D【点睛】.此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线2C解析：C【分析】当E1F1在直线EE1上时，得到AE=14，PE=9，由勾股定理求得AP的长；当E1F1在直线B2E1上时，两直角边分别为17和6，再利用勾股定理求AP的长,两者进行比较即可确定答案【详解】当展开方法如图1时，AE=8+6=14cm，PE=6+3=9cm，由勾股定理得APAE2PE214292277cm当展开方法如图2时，AP1=8+6+3=17cm，PP1=6cm，由勾股定理得APAP2PP2

16、17262325cm11277325蚂蚁爬行的最短距离是277cm,BD1【点睛】此题考察正方体的展开图及最短路径，注意将正方体沿着不同棱线剪开时得到不同的平面图形，路径结果是不同的3C解析：C【分析】作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD，利用勾股定理即可求出AD，再利用三角形面积公式即可解决问题【详解】解：如图作ADBC于点DABC为等边三角形，B60，BAD301ABa22AB2BD2a2(a)2由勾股定理得，AD213a22边长为a的等边三角形的面积为故选：C133aaa2，224【点睛】本题考点涉及等边三角形的性质、含30角的直角三角形

17、、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.4C解析：C【解析】试题解析：作点B关于直线l的对称点B,连接AB并延长,与直线l的交点即为使得PAPB取最大值时对应的点P.此时PAPBPAPBAB.过点B作BEAC于点E,如图,BCD的面积1四边形BDCE为矩形，BECD6,ECBDBD2.AE2.ABAE2BE2210.PAPB的最大值为：210.故答案为：210.5A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案【详解】解：点D在线段AB的垂直平分线上，DADB，在eqoac(,Rt)BCD中，

18、BC2+CD2BD2，即42+（8BD）2BD2，解得，BD5，CD853，1CDBC346，22P是BD的中点，SPBC1S2BCD3，故选：A【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键6C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，【详解】选项A，(2)2(3)2(6)2，不能构成直角三角形；选项B，(3)2(4)2(5)2，不能构成直角三角形；选项C，(3)2(4)2(7)2，能构成直角三角形；选项D，(2)2

19、(3)2(4)2，不能构成直角三角形故选C【点睛】.只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可7B解析：B【分析】依据作图即可得到ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，进而得到AC2+BC2AB2，即可得出ABC是直角三角形【详解】如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，故选B【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形8A解析：A【分析】过C作CMAB于M，交AD于P，过P作PQAC于Q，由角平分线的性质得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，为CM的长，

20、然后利用勾股定理和等面积法求得CM的长即可解答【详解】过C作CMAB于M，交AD于P，过P作PQAC于Q，AD是BAC的平分线，PQ=PM，则PC+PQ=PC+PM=CM，即PC+PQ有最小值，为CM的长，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，eqoac(,S)ABC又11ABCMACBC，22CM6824，105PC+PQ的最小值为故选：A245，1【点睛】本题考查了角平分线的性质、最短路径问题、勾股定理、三角形等面积法求高，解答的关键是掌握线段和最短类问题的解决方法：一般是运用轴对称变换将直线同侧的点转化为异侧的点，从而把两条线段的位置

21、关系转换，再根据两点之间线段最短或垂线段最短，使两条线段之和转化为一条直线来解决9B解析：B【分析】设斜边为c，根据勾股定理得出c=a2b2，再由三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：设斜边为c，根据勾股定理得出c=a2b2，1ab=ch，22ab=a2b2h，即a2b2=a2h2+b2h2，即a2b2a2h2b2h2=+a2b2h2a2b2h2a2b2h2111+a2b2h2，故选：B【点睛】本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键10D解析：D【详解】解：一个直角三角形的两边长分别为3和5，当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边

22、为x，则由勾股定理得到：x=5232=4；当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则由勾股定理得到：x=5232=34故选：D二、填空题118【解析】如图作点B关于AC的对称点B，连接BA交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值作交于，则为所求；设,由，h+5=8，即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键125cm【分析】连接AC，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AC长，再比较大小即可得出结果【详解】解：如图展开成平面图，连接AC，分

23、三种情况讨论：如图1，AB=4，BC=1+2=3，在eqoac(,Rt)ABC中，由勾股定理得AC=4232=5（cm），如图2，AC=4+2=6，CC=1在eqoac(,Rt)ACC中，由勾股定理得AC=6212=37（cm），如图3，AD=2，DC=1+4=5，在eqoac(,Rt)ADC中，由勾股定理得AC=2252=29（cm）52937，蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，故答案为：5cm【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论135【分析】作ADAD，AD=AD构建等腰直角三角形，根据SASeqoac(,求证)BADCAD，证得B

24、D=CD，DAD=90，然后在RtADD和eqoac(,Rt)CDD应用勾股定理即可求解【详解】作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，如图：BAC+CAD=DAD+CAD，BAD=CAD，eqoac(,在)BADeqoac(,与)CAD中，BACABADCAD，ADADBADCAD（SAS），BD=CD，DAD=90，由勾股定理得DD=AD2(AD)24，DDA+ADC=90，由勾股定理得CD=DC2(DD)25，BD=CD=5故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键145【分析】由题意可知，ACBC，DCEC

25、，DCEACB90，DE45，求出ACEBCDeqoac(,可证)ACEBCD，可得AEBD3，ADB90，由勾股定理求出AB即可得到AC的长【详解】解：如图所示，连接BD，ACE=BCDCE=CDACBeqoac(,和)ECD都是等腰直角三角形，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，且ACEBCD90-ACD，在ACE和BCD中，AC=BCACEBCD（SAS），AEBD3，EBDC45，ADBADC+BDC45+4590，ABAD2+BD2=7+3=10，AB=2BC，BC2AB=5，2故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，

26、添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键1523或2【分析】先求出AC的长，再分两种情况：当AC为腰时及AC为底时，分别求出腰长即可.【详解】在RtABC中，C90,A30,BC2，AB=2BC=4，ACAB2BC2422223,当AC为腰时，则该三角形的腰长为23；当AC为底时，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点eqoac(,E)，如图，此时ACD是等腰三角形，则AE=3,设DE=x，则AD=2x，AE2DE2AD2,x2(3)2(2x)2x=1（负值舍去），腰长AD=2x=2，故答案为：23或2【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注

27、意：“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.16【解析】【分析】延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图，延长AD、BC相交于E，A=60,B=ADC=90,E=30AE=2AB，CE=2CDAB=3，AD=4,AE=6,DE=2设CD=x,则CE=2x，DE=x即x=2x=即CD=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的运用，含30角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直eqoac(,角)ABE和直角CDE，是解题的关键171OA467

28、2【解析】(1)由三角形边的性质5-32OA5+3,1OA4.(2)过A作AFBC于F,过D作DEBC于E,可知，ABF全等DCE,由题意知，BD2DE2+BCCE2=DE2+4CE2，AC2DE2BCCE2DE25CE2，AC2BD2=DE2+4CE2DE25CE22(DE2CE2)5018+50=68，BD-AC=1，两边平方AC2BD2-2ACBD=1，ACBD=672.185【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明ADFCDB，可以解决这个问题，从而得出EF=

29、5，则PB+PE的最小值为5解：如图，过B作BDAC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，ABC是等腰直角三角形，AB=CB,ABC=90，AD=DC，BAC=C=45，ADF=CDB，ADFCDB，AF=BC,FAD=C=45，AE=3，BE=1，AB=BC=4，AF=4，BAF=BAC+FAD=45+45=90,由勾股定理得：EF=AF2AE2=4232=5，AC是BF的垂直平分线，BP=PF，PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.193

30、【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知ACMACM,BCHBCH,BC15cm，AC20cm，BCBC15cm,ACAC20cm,AB20155cm，ACB90，AMAB(等量替换)，CHAB（三线合一），AB25cm,利用勾股定理假设MB的长为m，AMAM257m，则有m2(257m)252，解得m3，所以MB的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.2023或2或4【分析】根据题意画出图形，分4种情况进行讨论，利用含30角直角三角形与勾股定理解答【

31、详解】解：如图1：当C=60时，ABC=30，与ABP=30矛盾；如图2：当C=60时，ABC=30，ABP=30，CBP=60，PBC是等边三角形，CPBC23；如图3：当ABC=60时，C=30，ABP=30，PBC=60-30=30，PC=PB，BC23，AB12BC3,ACBC2AB2(23)2(3)23，在eqoac(,Rt)APB中，根据勾股定理AP2AB2BP2,即(ACPC)2AB2PC2,即(3PC)2(3)2PC2，解得PC2，如图4：当ABC=60时，C=30，ABP=30，PBC=60+30=90，BP12PC在eqoac(,Rt)BCP中，根据勾股定理BP2BC2PC

32、2,1即(PC)2(23)2PC2,解得PC=4（已舍去负值）2综上所述，CP的长为23或2或4故答案为：23或2或4【点睛】本题考查含30角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理理解直角三角形30角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键三、解答题21（1）AEBD，AEBD；（2）成立，理由见解析；（3）14或2【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得ACBC，CECD，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AEBD，EACDBC，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得AHD90，由此即可得；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AEBD，EAC

33、DBC，再根据直角三角形两锐角互余可得EACAOC90，然后根据对顶角相等、等量代换可得DBCBOH90，从而可得OHB90，由此即可得；（3）先利用勾股定理求出AB102，再分点A,E,D在直线上，且点E位于中间，点A,E,D在直线上，且点D位于中间两种情况，结合（1）（2）的结论，利用勾股定理求解即可得【详解】（1）AEBD，AEBD，理由如下：如图1，延长AE交BD于H，由题意得：ACBC，ACEBCD90，CECD，ACEBCD(SAS)，AEBD，EACDBC，DBCBDC90，EACBDC90，AHD180(EACBDC)90，即AEBD，故答案为：AEBD，AEBD；在eqoac

34、(,)ACE和BCD中，ACEBCD，CECD（2）成立，理由如下：如图2，延长AE交BD于H，交BC于O，ACBECD90，ACBBCEECDBCE，即ACEBCD，ACBCACEBCD(SAS)，AEBD，EACDBC，ACB90，EACAOC90，AOCBOH，DBCBOH90，即OBHBOH90，OHB180(OBHBOH)90，即AEBD；（3）设ADx，ACBC10,ACB90，AB2AC102，由题意，分以下两种情况：如图3-1，点A,E,D在直线上，且点E位于中间，同理可证：AEBD，AEBD，DE12，BDAEADDEx12，在eqoac(,Rt)ABD中，AD2BD2AB2

35、，即x2(x12)2(102)2，解得x14或x2（不符题意，舍去），即AD14，如图3-2，点A,E,D在直线上，且点D位于中间，同理可证：AEBD，AEBD，DE12，BDAEADDEx12，在eqoac(,Rt)ABD中，AD2BD2AB2，即x2(x12)2(102)2，解得x2或x14（不符题意，舍去），即AD2，综上，AD的长为14或2【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论，并画出图形是解题关键22（1）该命题是真命题，理由见解析；（2）a的值为92；k的取值范围为1k3；（3）ABC的面积为203123或35当ac2b时，

36、aa23612，解得a9【分析】（1）根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断；（2）先利用勾股定理求出c的值，再根据优三角形的定义列出a,b,c的等式，然后求解即可；类似分三种情况分析，再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下a,b,c之间的关系，然后根据优比的定义求解即可；（3）如图（见解析），设BDx，先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC、AB的长及ABC面积的表达式，再类似（2），根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式，然后解出x的值，即可得出ABC的面积【详解】（1）该命题是真命题，理由如下：设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a，恰好是第三边a的2倍，满足

37、优三角形的定义，即等边三角形为优三角形又因该两条边相等，则这两条边的比为1，即其优比为1故该命题是真命题；（2）ACB90,b6ca2b2a236根据优三角形的定义，分以下三种情况：当ab2c时，a62a236，整理得a24a360，此方程没有实数根2当bc2a时，6a2362a，解得a86，不符题意，舍去综上，a的值为92；则baab由题意得：a,b,c均为正数根据优三角形的定义，分以下三种情况：（cba）当ab2c时，则kb1a由三角形的三边关系定理得bacabbab，解得b3a，即k32a则caac故此时k的取值范围为1k3当ac2b时，则kc1a由三角形的三边关系定理得cabaccac

38、，解得c3a，即k32a故此时k的取值范围为1k3当bc2a时，则kcb1则cbbc由三角形的三边关系定理得cbabccbc，解得c3b，即k32b故此时k的取值范围为1k3综上，k的取值范围为1k3；（3）如图，过点A作ADBC，则ABD180ABC18012060设BDxAB2BD2x,ADAB2BD23xACAD2CD2(3x)2(4x)22x22x4ABC1S1BCAD43x23x22ABC是优三角形，分以下三种情况：当ACBC2AB时，即2x22x444x，解得x103则SABC23x231020333当ACAB2BC时，即2x22x42x8，解得x65则SABC23x2361235

39、5综上，ABC的面积为203当BCAB2AC时，即42x4x22x4，整理得3x24x120，此方程没有实数根123或35【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点，理解题中的新定义，正确分多种情况讨论是解题关键23（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明ADBB30，再根据等角对等边即可证明ADAB,再结合小明的分析即可证明；（2eqoac(,）作)ADC关于AC的对称图形ADC,过点C作CEAB于点E，则DE=BE设DE=BE=x在eqoac(,Rt)CEB和eqoac(,Rt)CEA中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详

40、解】解：（1）证明：如下图，作ADC关于CD的对称图形ADC，AD=AD，CA=CA，CAD=A=60，CD平分ACB，A点落在CB上ACB=90，B=90-A=30，ADB=CAD-B=30，即ADB=B，AD=AB，CA+AD=CA+AD=CA+AB=CB.（2）如图，作ADC关于AC的对称图形ADCDA=DA=9，DC=DC=10，AC平分BAD，D点落在AB上，BC=10，DC=BC，过点C作CEAB于点E，则DE=BE，设DE=BE=x，在eqoac(,Rt)CEB中，CE2=CB2-BE2=102-x2，在eqoac(,Rt)CEA中，CE2=AC2-AE2=172-（9+x）21

41、02-x2=172-（9+x）2，解得：x=6，AB=AD+DE+EB=9+6+6=21【点睛】.本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质（1）中证明ADB=B不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.24（1）CD=8；（2）t=4；（3）v【分析】12tt(2t6)（1）作AEBC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；（2）过B作BFAC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据BQFCPD，得到PD=Q

42、F，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AEBC于E，AB=AC，BE=12BC=25在eqoac(,Rt)ABE中，AE=AB2BE2=102252=45ABC的面积=11BCAE=ABCD22CD=BCAE4545=8AB10（2）过B作BQAC，当Q在AF之间时，如图所示，ABC的面积=11ACBF=ABCD，AB=AC22BF=CD在eqoac(,Rt)CPD和eqoac(,Rt)BQF中CP=BQ，CD=BF，eqoac(,Rt)CPDeqoac(,Rt)BQF（HL）PD=QF在eqoa

43、c(,Rt)ACD中，CD=8，AC=AB=10AD=AC2CD2=6同理可得AF=6PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，t0，此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t的值为4.（3）同（2）可知v1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F点时，显然CPBQ，运动时间为t，则AP=t，AQ=vt，PD=6-t，QF=vt-6，由PD=QF得6-t=vt-6，整理得v12tt，Q在FC之间，即AFAQAC6vt

44、10，代入v12tt612t10，解得2t6得所以答案为v12tt(2t6)【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.25（1）（5，0）；（2）见解析；（3）P（4，2），满足ACP与BDC全等的点是P1、P2，P3理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A（a，a）（a0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；（3）如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP只要证明ACPCDB（SASeqoac(,），)ABP是等腰直角三

45、角形即可解决问题；根据SAS即可判断满足ACPeqoac(,与)BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）点A在射线yx（x0）上，故可以假设A（a，a）（a0），ABx轴，ABOBeqoac(,a)，即ABO是等腰直角三角形，AB2+OB2OA2，a2+a2（52）2，解得a5，点B坐标为（5，0）（2）如图2中，作CFx轴于FOC平分AOB，CHOE，CHCF，AOB是等腰直角三角形，AOB45，BCOE，CBGAOB45，得到BC平分ABF，CGBA，CFBF，CGCF，CGCH（3）如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CPDB，连接APDAC1由（2）可知AC平分DAE，1

46、DAE（18045）67.5，22由OC平分AOB得到DOB12AOB22.5，ADCODB9022.567.5，ADCDAC67.5，ACDC，BDCOBD+DOB90+22.5112.5，ACD180CADADC18067.567.545，OCB4522.522.5，ACP180ACDOCB1804522.5112.5，在ACP和CDB中，ACPDB，CPDBACADACPCDB（SAS），CAPDCB22.5，BAPCAP+DAC22.5+67.590，ABP是等腰直角三角形，APABOB2，P（4，2）满足ACP与BDC全等的点是P1、P2，P3理由：如图4中，由题意：AP1BD，AC

47、CD，CAP1CDB，根据SAS可得CAPeqoac(,1)CDB；AP2BD，ACCD，CAP2CDB，根据SAS可得CAP2CDB；ACCD，ACP3BDC，BDCP3根据SAS可得CAPeqoac(,3)DCB；故答案为P1、P2，P3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题26（1）CFFH，证明见解析；（2）依然成立，点E与点C之间的距离为333理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG与DEF是等腰直角三角形证出CEFFGH，利用全等

48、的性质即可得到CFFH.（2）设AH，DF交于点G，可根据ASAeqoac(,证明)FCEHFG，从而得到CFFH，当ABC和CFH均为等腰直角三角形当他们面积相等时，CFAC6利用勾股定理可以求DE、CE的长，即可求出CE的长，即可求得点E与点C之间的距离【详解】（1）CFFH证明：延长DF交AB于点G在ABC中，ACB90，ACBC6，AB45DFDE于点D，且DEDF，EDF90，ADG与DEF是等腰直角三角形AGDDEF45，ADDG，DCFCFD90，CEFFGH135，点D是AC的中点，CDAD12AC3，CDDGCEFGFHCF于点F，CFG90，GFHCFD90DCFGFHCE

49、FFGHCFFH；（2）依然成立理由：设AH，DF交于点G，由题意可得出：DF=DE，DFE=DEF=45，AC=BC，A=CBA=45，DFBC，CBA=FGB=45，FGH=CEF=45，点D为AC的中点,DFBC，DG=11BC,DC=AC，22DG=DC，EC=GF，DFC=FCB，ECGFGFH=FCE，eqoac(,在)FCEeqoac(,和)HFG中CEFFGH，ECFGFHFCEHFG(ASA)，HF=FC.由（1）可知ABC和CFH均为等腰直角三角形当他们面积相等时，CFAC6DEDFCF2CD233CEDEDC333点E与点C之间的距离为333【点睛】本题考查了全等三角形的

50、判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.27（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P的坐标为（1340，）时，PD+PF的长度最短，最短长度为73.【解析】【分析】（1）根据阅读材料中A和B的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M、N在平行于y轴的直线上，根据M和N的纵坐标利用公式|y1y2|即可求出MN的距离;（2）由三个顶点的坐标分别求出DE，DF，EF的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F关于x轴的对称点F，连接DF，与x轴交于点P，此时PDPF最短，最短距离为DF，P的坐标即为直线DF与x轴的交点

51、.【详解】解：（1）A2,4、B3,8AB23248213故A、B两点间的距离为：13.M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4，点N的纵坐标为-1MN415故M、N两点的距离为5.（2）D1,6、E3,3、F4,2DE1326325DF1426225EF34232252DE=DF，DE2DF2EF2DEF为等腰直角三角形（3）4kb23b26作F关于x轴的对称点F，连接DF，与x轴交于点P，此时DP+PF最短设直线DF的解析式为y=kx+b将D（1,6），F（4，-2）代入得：kb68k解得3直线DF的解析式为：y826x33，即P的坐标为（，）令y=0，解得xPF=PF1313440P

52、D+PF=PD+PF=DF=14262273故当P的坐标为（【点睛】1340，）时，PD+PF的长度最短，最短长度为73.本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.28(1)见解析；y22x0 x1；（2）见解析2x【解析】【分析】（1）连接DE，如图1，先用SAS证明CBECDE，得EB=ED，CBE=1，再用四边形的内角和可证明EBC=2，从而可得1=2，进一步即可证得结论；将BAE绕点B顺时针旋转90，点E落在点P处，如图2，用SAS可证PBGEBG，所以PG=EG=2xy，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N