高中数学《空间中的距离》讲议及答题解析

1、第 =page 12 12页，共 =sectionpages 12 12页第 =page 11 11页，共 =sectionpages 12 12页空间中的距离课前练习1. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离是（ ）A B C D2.正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）ABCD3.已知A(0,0，2)，B(1,0，2)，C(0,2，0)，则点A到直线BC的距离为( )A. 223B. 1C. 2D. 224.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱长AB=3，则点B到平面ACD1的距离为()A. 3B. 33C. 322D. 325. 在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直且

2、侧棱长为1，则点P到平面ABC的距离为( )A. 3B. 2C. 33D. 236. 已知n=(2,0，1)为平面的法向量，点A(-1,2，1)在内，则点P(1,2，-2)到的距离为( )A. 55.B. 5.C. 25.D. 5107.已知球面上的三个点A、B、C，且AB=2，BC=2，AC=6，球的半径为2，则球心到平面ABC的距离等于()A. 3B. 2C. 1D. 328.空间两点，间的距离为_.9.AB是异面直线a，b的公垂线段，AB=2cm，a，b所成的角为90，A、Ca，B、 Db，AC=4cm，BD=4cm，那么C、D间的距离是_10.空间四点、两两间的距离均为1，点、分别在线

3、段、上运动.则点与间的最小距离为_.二典型例题例1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， BAD=CDA=90， PA平面ABCD，PA=AD=DC=1，AB=2(1)证明：平面PAC平面PBC；(2)求点D到平面PBC的距离例2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90.点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA=AC=4，AB=2 ()求证：MN/平面BDE； ()求直线MN到平面BDE的距离； 例3如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD,ABAD，且AB=AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，

4、然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使ADEF平面与平面ABCD垂直，M为DE的中点，如图2 (1)求证：AM/平面BEC；(2)求证：BC平面BDE； (3)求点D到平面BEC的距离。 例4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=BC=a，ABC=90，M、N分别是AB和A1C中点，求证：(1)ABMN；(2)求异面直线AB与A1C之间的距离；(3)求二面角B-A1C-A的大小空间中的距离课后练习若构成教室墙角的三个面记为，墙角记为Q，教室内一点P到，三个墙面的距离分别是3，4，5，则PQ=()A. 52B. 42C. 6D. 10已知三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径

5、为23的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直且相等，则球心到截面ABC的距离为()A. 233B. 33C. 23D. 3正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=2，则异面直线PC与BD的距离为()A. 1010B. 105C. 510D. 554.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足AP=35AB+13AD+14AA1，则点P到直线AB的距离为()A. 25144B. 512C. 1320D. 105155. 已知一条直线上有两个点，到平面的距离分别为和，则中点到平面的距离_6. 半径为10 cm的球被两个平行平面

6、所截，两个截面圆的面积分别为cm2，cm2，这两个平行平面的距离为 7. 在四棱锥P-ABCD中，设向量AB=(4,-2,3)，AD=(-4,1,0)，AP=(-6,2,-8)，则顶点P到底面ABCD的距离为_8. 在如图直三棱柱中，则异面直线与的距离为 。 9. 在单位正方体中，是的中点，如图建立空间直角坐标系.（1）求证平面.（2）求异面直线与夹角的余弦值. （3）求直线到平面的距离. 10. 在直三棱柱中，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离. 11.如图，在三棱柱中，已知，在底 面的投影是线段的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值（3）若

7、、分别为直线，上动点，求的最小值.12.如图，等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置(P平面ABCE)()证明：AEPB；()当四棱锥P-ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=CDA=90，PA平面ABCD，PA=AD=DC=1，AB=2(1)证明：平面PAC平面PBC；(2)求点D到平面PBC的距离【答案】解：(1)证明：由已知得AC=AD2+CD2=2，BC=AD2+(AB-CD)2=2，AB=2，AC2+BC2=AB2，BCAC，

8、PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，PAAC=A，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PAC平面PBC(2)解：由(1)得BC平面PAC，BCAC，BC=2，PC=12+(2)2=3，设点D到平面PBC的距离为d，VP-BCD=VD-PBC，1312DCADPA=1312PCBCd，1312111=131232d，解得d=66，点D到平面PBC的距离为66例2.如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90.点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA=AC=4，AB=2 ()求证：MN/平面BDE；()求直线MN到平面BDE的距离；例2【

9、答案】证明：()在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，BAC=90.点D，E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，PA=AC=4，AB=2以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，M(0,0，1)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，N(1,2，0)，D(0,0，2)，P(0,0，4)，E(0,2，2)，MN=(1,2，-1)，BD=(-2,0，2)，BE=(-2,2，2)，设平面BDE的法向量n=(x,y，z)，则nBD=-2x+2z=0nBE=-2x+2y+2z=0，取x=1，得n=(1,0，1)，nMN=0，MN平面BDE，MN/平面

10、BDE()BM=(-2，0，1)，直线MN到平面BDE的距离：d=|BMn|n|=12=22例3.如图1，在直角梯形ABCD中，AB/CD,ABAD，且AB=AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使ADEF平面与平面ABCD垂直，M为DE的中点，如图2 例3【答案】解：(1)证明：取EC中点N，连接MN，BN在EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN/CD，且MN=12CD由已知AB/CD，AB=12CD，所以MN/AB，且MN=AB所以四边形ABNM为平行四边形所以BN/AM又因为BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM/平面

11、BEC(2)在正方形ADEF中，EDAD又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，所以ED平面ABCD所以EDBC在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=2在BCD中，BD=BC=2,CD=2，所以BD2+BC2=CD2所以BCBD所以BC平面BDE.(3)由(2)知，BC平面BDE 又因为BC平面BCE，所以平面BDE平面BEC.过点D作EB的垂线交EB于点G，则DG平面BEC 所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度在直角三角形BDE中，SBDE=12BDDE=12BEDG 所以DG=BDDEBE=23=63 所以点D到平面BEC的距离等于63

12、例4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=BC=a，ABC=90，M、N分别是AB和A1C中点，求证：(1)ABMN；(2)求异面直线AB与A1C之间的距离；(3)求二面角B-A1C-A的大小AB平面MDN，ABMN；(2)连接MA1，MC，求得MA1=MC=5a2，MNA1C，MN为异面直线AB与A1C的公垂线段，在MDN中，求得MN=2a2，故异面直线AB与A1C的距离为2a2；(3)由(1)(2)可知，A1C平面ABN，ANB即为二面角B-A1C-A的平面角，求得AN=BN=3a2，在ABN中，由余弦定理求得cosANB=13，【答案】解：(1)证明：取AC中点D，连

13、接DM，DN，则DM/BC，DN/AA1，AA1底面ABC，DN平面ABC，DNAB，BCAB，DMAB，AB平面MDN，ABMN；(2)连接MA1，MC，求得MA1=MC=5a2，MNA1C，MN为异面直线AB与A1C的公垂线段，在MDN中，求得MN=2a2，故异面直线AB与A1C的距离为2a2；(3)由(1)(2)可知，A1C平面ABN，ANB即为二面角B-A1C-A的平面角，求得AN=BN=3a2，在ABN中，由余弦定理求得cosANB=13，12.如图，等腰梯形ABCD中，AB/CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把ADE折起，使点D到达点P的位置(P平面A

14、BCE)()证明：AEPB；()当四棱锥P-ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离【答案】()证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，AB/CE，AB=CE，四边形ABCE为平行四边形，AE=BC=AD=DE，ADE为等边三角形，在等腰梯形ABCD中，C=ADE=3，DAB=ABC=23，在等腰ADB中，ADB=ABD=6，DBC=23-6=2，即BDBC，BDAE，翻折后可得：OPAE，OBAE，又OP平面POB，OB平面POB，OPOB=O，AE平面POB，PB平面POB，AEPB()设点C到平面PAB的距离为d，由题意得，OP平面ABCE时，四棱锥P-ABCE体积最大，

15、OP=OB=32，PB=62，AP=AB=1，SPAB=126212-(64)2=158，SABC=1211sin23=34，VP-ABC=133432=18，又VP-ABC=VC-PAB=13158d=18，d=1551.若构成教室墙角的三个面记为，墙角记为Q，教室内一点P到，三个墙面的距离分别是3，4，5，则PQ=()A. 52B. 42C. 6D. 10【答案】A【解析】解：构造棱长分别为3、4、5的长方体，使QP为长方体的对角线，故QP=32+42+52=52故选：A构造棱长分别为3、4、5的长方体，OP为长方体的对角线，求出OP即可2. 已知三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径

16、为23的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直且相等，则球心到截面ABC的距离为()A. 233B. 33C. 23D. 3【答案】A【解析】解：正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，球O的半径为23，正方体的边长为4，即PA=PB=PC=4，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P-ABC的体积V=13SABCh=13SPABPC=1312444=323，ABC为边长为42的正三角形，SABC=34(42)2=83，h=433，球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离

17、：23-433=233故选：A3. 正四棱锥S-ABCD中，O为顶点S在底面ABCD内的正投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=2，则异面直线PC与BD的距离为()A. 1010B. 105C. 510D. 55【答案】B【解析】【分析】以OC、OD、OS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量，利用空间向量的距离公式求解即可本题考查空间向量的数量积的应用，距离公式的求法，考查转化思想以及计算能力【解答】解：S-ABCD为正四棱锥且O是S在底面ABCD内的正投影，SO面ABCD，连接AC、BD，则ACBD且交于O，OC、BD面ABCD，SOOC、SOOD，以OC、OD、OS为x、

18、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，SO=OD=2，S(0,0,2)、D(0,2,0)、C(2,0,0)、B(0,-2,0)、P(0,22,22)，BD=(0,22,0),PC=(2,-22,-22)，设异面直线BD与PC的公垂线向量为n=(x,y,z)，则有nBD=0nPC=0即(x,y,z)(0,22,0)=0(x,y,z)(2,-22,-22)=0，得y=02x-22z=0不妨令x=1，则n=(1,0,2)，又CD=(-2,2,0)，异面直线BD与PC的距离d=|CDnn|=|-21+4|=105，异面直线BD与PC的距离为105故选：B4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足AP=35AB+13AD+14AA1，则点P到直线AB的距离为()A. 25144B. 512C. 1320D. 10515【答案】B【解析】解：如图，过P作PM平面ABCD于点M，过M作NMAB于点N，连接PN，则PN即为所求，因为满足AP=35AB+13AD+14AA1，所以A