勾股定理练习题及答案

1、一、选择题1如图，已知ABC中，AB10,AC8,BC6,AB的垂直平分线分别交AC,AB于D,E,连接BD，则CD的长为（）4C74D25A1B542如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB230试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB（）A6B8C10D123已知一个直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长是（）A3B3C5D3或54如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=213eqoac(,，则)ABC的面积是（）A36B1013C60D12135如图，已知ABAC

2、，则数轴上C点所表示的数为()A3B5C13D156如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10，BE=24，则EF的长是（）A14B13C143D1427勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（）ABCD8如图，BD为ABCD的对角线，DBC45,DEBC于点E，BFDC于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：CE12BE；ABH

3、E；AB=BH;BHDBDG;BH2BG2AG2；其中正确的结论有（）ABCD9下列以线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）Aa9,b41,c40Ca:b:c3:4:5Ba5,b5,c52Da11,b12,c1310有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A1B2021C2020D2019二、填空题11如图，eqoac(,Rt)ABC中，ACB90o，

4、AC12，BC5，D是AB边上的动点，E是AC边上的动点，则BEED的最小值为12如图，ABC是一个边长为1的等边三角形，BB1是ABC的高，B1B2eqoac(,是)ABB1的高，B2B3eqoac(,是)AB1B2的高，Bn-1Bneqoac(,是)ABn-2Bn-1的高，则B4B5的长是_，猜想Bn-1Bn的长是_13如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，AB7.5cm，AC4.5cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当ABP为等腰三角形时，t的取值为_14已知，在ABC中，C=90，AC=BC=7，D是AB的中点，点E在AC上，点F在B

5、C上，DE=DF，若BF=4，则EF=_15如图，BAC90度，ABAC，AEAD，且AEAD，AF平分DAE交BC于F，若BD6，CF8，则线段AD的长为_16如图，在矩形ABCD中，ADAB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN2MN，连接CNeqoac(,若)CDN的面积与CMN的面积比为1：3，则的值为BM2_17如图，E为等腰直角ABC的边AB上的一点，要使AE3，BE1，P为AC上的动点，则PBPE的最小值为_18在ABC中，ABAC12，A30，点E是AB中点，点D在AC上，DE32，将ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点G，那么DGF的面积_

6、19如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角（090）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P的斜坐标在平面斜坐标系中，若45，点P的斜坐标为（1，22），点G的斜坐标为（7，22），连接PG，则线段PG的长度是_20如图的实线部分是由RtABC经过两次折叠得到的.首先将RtABC沿高CH折叠，使点B落在斜边上的点B处，再沿CM折叠，使点A落在CB的延长线上的点A处.若图中ACB90，BC1

7、5cm，AC20cm，则MB的长为_.三、解答题21如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22（1）计算：3122134823；（2）已知a、b、c满足|a23|32b(c30)20判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由23我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2BO2的值，可记为ABACOA2BO2

8、（1）在ABC中，若ACB90，ABAC81，求AC的值（2）如图2，在ABC中，ABAC12，BAC120，求ABAC，BABC的值（3）如图3，在ABC中，AO是BC边上的中线，SABC24，AC8，ABAC64，求BC和AB的长24已知ABC中，ABAC.（1）如图1，在ADE中，ADAE，连接BD、CE，若DAEBAC，求证：BDCE（2）如图2，在ADE中，ADAE，连接BE、CE，若DAEBAC60，CEAD于点F，AE4，EC5，求BE的长；（3）如图3，在BCD中，CBDCDB45，连接AD，若CAB45，求ADAB的值.25如图，ABC中，BAC90，AB=AC，P是线段BC

9、上一点,且0BAP45.作点B关于直线AP的对称点D,连结BD，CD，AD（1）补全图形.（2）设BAP的大小为.求ADC的大小(用含的代数式表示).（3）延长CD与AP交于点E,直接用等式表示线段BD与DE之间的数量关系.26如图，点A是射线OE：yx（x0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交AOB的平分线于点C（1）若OA52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CGAB于点G，CHOE于点H，求证：CGCH（3）若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P使得ACP与BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

10、在（3）的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，22），请你判断也满足ACP与BDC全等的点是（写出你认为正确的点）27定义：在ABC中，若BCa，ACb，ABc，若a，b，c满足ac+a2b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中ABBC，ACAB，请求A的度数；（3）如图eqoac(,2)，在ABC中，B2A，且CA当A32时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的

11、两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；请证明ABC为“类勾股三角形”28如图1,ABC和CDE均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE,ACCD,ACB=DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证:AD=BE.(2)如图2,若a=90，CMAE于E.若CM=7,BE=10,试求AB的长.(3)如图3,若a=120,CMAE于E,BNAE于N,BN=a,CM=b,直接写出AE的值(用a,b的代数式表示).29（1）如图1，在eqoac(,Rt)ABC和eqoac(,Rt)ADE中，ABAC，ADAE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，则线段BC，D

12、C，EC之间满足的等量关系式为；求证：BD2+CD22AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，ABCACBADC45若BD9，CD3，求AD的长30已知：四边形ABCD是菱形，AB4，ABC60，有一足够大的含60角的直角三角尺的60角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且EAP60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断AEF的形状是（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BECF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB15时，求点F到BC的距离【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析

13、：C【分析】先根据勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD.【详解】AB=10，AC=8，BC=6，AC2BC28262102AB2,ABC是直角三角形，且C=90，DE垂直平分AB，AD=BD，在eqoac(,Rt)BCD中，BD2BC2CD2,(8CD)262CD2,解得CD=74，故选：C.【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得ABC是直角三角形，且C=90是解题的关键，再利用勾股定理求解.2B解析：B【解析】【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可过A作直线a

14、的垂线，并在此垂线上取点A，使得AAMN，连接AB，则AB与直线b的交点即为N，过N作MNa于点M则AB为所求，利用勾股定理可求得其值【详解】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A，使得AA4，连接AB，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BEAA，交射线AA于点E，如图，AAa，MNa，AAMN又AAMN4，四边形AANM是平行四边形，AMAN由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为ABAE2+3+49，AB230，BEAB2AE239AEAEAA945，AB所以AM+NB的最小值为8故选B

15、AE2BE28【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短3D解析：D【解析】当一直角边、斜边为1和2时，第三边=；当两直角边长为1和2时，第三边=；故选：D4A解析：A【分析】作ADBC于点D，设BDx，得AB2BD2AD2，AC2CD2AD2，结合题意，经解方程计算得BD，再通过勾股定理计算得AD，即可完成求解【详解】如图，作ADBC于点D12x102x22132设BDx，则CDBCx12xAB2BD2AD2，AC2CD2AD2AB2BD2AC2CD2AB=10，AC=2132x8ADAB2BD2102826e

16、qoac(,)ABC的面积11BCAD1263622故选：A【点睛】本题考察了直角三角形、勾股定理、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解5D解析：D【分析】根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.【详解】由勾股定理得，AB12225ACAB5点A表示的数是1点C表示的数是15故选D.【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.6D解析：D【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF的长【详解】解：AE=10，BE=24，即24和10为两条直角边长时，小正方形的边长

17、=24-10=14，EF=142142142故选D【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键7B解析：B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理8B解析：B【分析】根据直角三角形的意义和性质可以得到解答【详解】解：由题意，BHEHBECHBE90，ACABHEC，正确；DB

18、C=45，DEBC，EDB=DBC=45，BE=DERtBEHRtDEC，BH=CD=AB，正确；ABCD，BFCD，ABCD，AB2BG2AG2即BH2BG2AG2，正确，没有依据支持成立，正确故选B【点睛】本题考查直角三角形的意义和性质，灵活应用有关知识求解是解题关键9D解析：D【分析】根据直角三角形的判定，符合a2+b2c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形【详解】解：A、因为92+402412，故能构成直角三角形；2B、因为52+52=52，故能构成直角三角形；C、因为3x24x2=5x2，故能构成直角三角形；D、因为112+122152，故不能构成直角三角形；故选：D【点睛】本题考

19、查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足a2b2c2关系时，则三角形为直角三角形10B解析：B【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分

20、别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2二、填空题11【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点B，过B点作BDAB于D，交AC于E，连接AB、BE，则BE+ED=BE+ED=BD的值最小点B关于AC的对称点是B，BC=5，BC=5，BB=10eqoac(,Rt)ABC中，ACB=90，AC=12，BC=5，AB=AC2BC2=13，eqoac(,S)ABB=11BBAC1012120120ABBD=BBAC，BD=,BE+ED=BD=.22AB131313考点：轴对称-最短路线问题.1233322n【分析】根据等边三角形性质得出AB1CB112，AB1BBB1C90，由勾股定理求出BB13

21、3，求出ABC的面积是；求出S24ABB1SBCB138，根据三角形的面积公式求出4ABB1S，由勾股定理求出BB2，根据S代入求出B2B33B1B23BB1B2SAB2B13823，B4B5B3B4333316243225，推出Bn1Bn32n由勾股定理得：BB112()2；【详解】解：ABC是等边三角形，BAAC，BB1是ABC的高，2AB1CB11，AB1BBB1C90，1322133ABC的面积是1224；SSABB1BCB1133248，1B1B2，3182B1B234，)2()2，由勾股定理得：BB2(333244SABB1SBB1B2SAB2B1，BB，8244223133112

22、3B2B3B3B4B4B538316332，Bn1Bn32n，故答案为：33，322n【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律1375或6或94【分析】当ABP为等腰三角形时，分三种情况：当ABBP时；当ABAP时；当BPAP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值【详解】在eqoac(,Rt)ABC中，BC2AB2AC27.524.5236，BC6（cm）；当ABBP7.5cm时，如图1，t7.523.75（秒）；当ABAP7.5cm时，如图2，BP2BC12cm，t6（秒）；当BPAP时，如图3，APBP2tcm，CP（4.52t

23、）cm，AC4.5cm，在eqoac(,Rt)ACP中，AP2AC2+CP2，所以4t24.52+（4.52t）2，解得：t9，4综上所述：当ABP为等腰三角形时，t3.75或t6或t故答案为：3.75或6或9494【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.1432或112或5或1095【分析】分别就E，F在AC,BC上和延长线上，分别画出图形，过D作DGAC，DHBC，垂足为G，H，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解：过D作DGAC，DHBC，垂足为G，HDGBC,CDG=CDH=45又D是AB的中点

24、，DG=1BC2同理：DH=12AC又BC=ACDG=DH在RtDGE和RtDHF中DG=DH,DE=DFRtDGERtDHF（HL）GE=HF又DG=DH,DC=DCGDCFHCCG=HCCE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3EF=323232过D作DGAC，DHBC，垂足为G，HDGBC,CDG=CDH=45又D是AB的中点，DG=1BC2同理：DH=12AC又BC=ACDG=DH在RtDGE和RtDHF中DG=DH,DE=DFRtDGERtDHF（HL）GE=HF又DG=DH,DC=DCGDCFHCCG=HCCE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11EF=1121121

25、12如图，以点D为圆心，以DF长为半径画圆交AC边分别为E、E，过点D作DHAC于点H，可知DFDEDE，可证EHDEHD，CEDCFD，DHC为等腰直角三角形，1+2=45EDF=2（1+2）=90EDF为等腰直角三角形可证AEDCFDAE=CF=3,CE=BF=4EFCE2CF242325有第知，EF=5eqoac(,，且)EDF为等腰直角三角形，ED=DF=522,eqoac(,可证)ECFEDE,y232x23522y522x综上可得：x4225EFDE2DF22DE2EF1095【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.1565【

26、分析】由“SAS”可证ABDACE，DAFEAF可得BDCE，4B，DFEF，由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长【详解】解：如图，连接EF，过点A作AGBC于点G，AEAD，DAEDAC290，又BACDAC190，12，ADAE12，在ABD和ACE中ABACABDACESASBDCE，4BBAC90，ABAC，B3454B45，ECF3490，CE2CF2EF2，BD2FC2EF2，AF平分DAE，DAFEAF，在DAF和EAF中DAFEAF，ADAEAFAFDAFEAFSASDFEFBD2FC2DF2DF2BD2FC26282100，DF10BCBDDFFC6

27、10824，ABAC，AGBC，1BGAGBC12，2DGBGBD1266，ADAG2DG265故答案为65【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题1612【解析】如图，过点N作NGBC于点G，连接CN，根据轴对称的性质有：MA=MC，NA=NC，AMN=CMN.因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC，所以ANM=CMN.所以AMN=ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.eqoac(,因为)CDN的面积与CMN的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x，则CG=x，AM=AN=CM=

28、CN=3x，由勾股定理可得NG=3x2x222x，3xx12x2，BM2=3x222xx.所以MN2=22x2222MN212x2所以BM2x2=12.枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.175【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明ADFCDB，可以

29、解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5解：如图，过B作BDAC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，ABC是等腰直角三角形，AB=CB,ABC=90，AD=DC，BAC=C=45，ADF=CDB，ADFCDB，AF=BC,FAD=C=45，AE=3，BE=1，AB=BC=4，AF=4，BAF=BAC+FAD=45+45=90,由勾股定理得：EF=AF2AE2=4232=5，AC是BF的垂直平分线，BP=PF，PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案为5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于要利用轴对称知识，结合两

30、点之间线段最短来求解.18639或639【分析】通过计算E到AC的距离即EH的长度为3，所以根据DE的长度有两种情况：当点D在H点上方时，当点D在H点下方时，两种情况都是过点E作EHAC交AC于点E，过点G作GQAB交AB于点Q，利用含30的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH的长度，进而可求AD的长度，然后利用角度之间的关系证明AGGE，再利用等腰三角形的性质求出GQ的长度，最后利用SDGF2SAEDSAEG即可求解【详解】当点D在H点上方时，过点E作EHAC交AC于点E，过点G作GQAB交AB于点Q，AB12，点E是AB中点，AE1AB62EHAC，AHE90A30,AE6，EH12A

31、E3，AHAE2EH2623233DE32，DHDE2EH2(32)2323，DHEH，ADAHDH333，EDH45，AEDEDHA15由折叠的性质可知，DEFAED15，AEG2AED30，AEGA，AGGE又GQAE，AQ1AE32A30，GQ12AGGQ2AQ2AG2，即GQ232(2GQ)2，GQ3SDGF2SAEDSAEG，2(333)3S1163639；DGF22当点D在H点下方时，过点E作EHAC交AC于点E，过点G作GQAB交AB于点Q，AB12，点E是AB中点，AE1AB62EHAC，AHE90A30,AE6，EH1AE3，2AHAE2EH2623233DE32，DHDE2

32、EH2(32)2323，DHEH，ADAHDH333，DEH45，AED90ADEH105由折叠的性质可知，DEFAED105，AEG2AED18030，AEGA，AGGE又GQAE，AQ1AE32A30，GQ12AGGQ2AQ2AG2，即GQ232(2GQ)2，GQ3SDGF2SAEDSAEG，22S112(333)363639，DGF综上所述，DGF的面积为639或639故答案为：639或639【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键1925【分析】如图，作PAy轴交X轴于A，PH

33、x轴于HGMy轴交x轴于M，连接PG交x轴于N，先证明ANPMNG（AAS），再根据勾股定理求出PN的值，即可得到线段PG的长度【详解】如图，作PAy轴交X轴于A，PHx轴于HGMy轴交x轴于M，连接PG交x轴于NP（1，22），G（722），OA1，PAGM22，OM7，AM6，PAGM，PANGMN，ANPMNG，ANPMNG（AAS），ANMN3，PNNG，PAH45，PHAH2，HN1，PNPH2NH222125，PG2PN25故答案为25【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键203【分析】根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替

34、换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解：由题意可知ACMACM,BCHBCH,BC15cm，AC20cm，BCBC15cm,ACAC20cm,AB20155cm，ACB90，AMAB(等量替换)，CHAB（三线合一），AB25cm,利用勾股定理假设MB的长为m，AMAM257m，则有m2(257m)252，解得m3，所以MB的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.三、解答题21（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离

35、；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=25272=24米答：此时梯子顶端离地面24米；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（244）=20米，BD+BE=DE=CD2CE2=252202=15，DE=157=8（米），即下端滑行了8米答：梯子底端将向左滑动了8米22（1）423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，36【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股

36、定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】1解：（1）312234823=(6323343)23=(2833)(23)24；3（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：a、b、c满足|a23|32b(c30)20，a230，32b0，c300，a23，b32，c30，23+3230，23+3032，23+3032，以a、b、c为边能组成三角形，a23，b32，c30，a2+b2c2，以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，1则此三角形的面积是233236.2【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，

37、绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.23(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在RtAOC中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)先利用含30的直角三角形的性质求出AO=2,OB=23,再用新定义即可得出结论;先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作BDCD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出

38、BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.【详解】(1)已知如图:AO为BC上的中线,在RtAOC中,AO2-OC2=AC2因为ABAC81所以AO2-OC2=81所以AC2=81所以AC=9.(2)如图2,取BC的中点D,连接AO,AB=AC,AOBC,在ABC中,AB=AC,BAC=120,ABC=30,在eqoac(,Rt)AOB中,AB=12,ABC=30,AO=6,OB=ABAC=AO2BO2=36108=72,AB2AO212262=63,取AC的中点D,连接BD,AD=CD=12AC=6,过点B作BEAC交CA的延长线于E,在eqoac(,Rt)ABE中,

39、BAE=180BAC=60,ABE=30,AB=12,AE=6,BE=DE=AD+AE=12,AB2AE21226263,6312在eqoac(,Rt)BED中,根据勾股定理得,BD=BE2DE22267BABC=BD2CD2=216;(3)作BDCD,因为SABC24,AC8,所以BD=2SABCAC6,因为ABAC64,AO是BC边上的中线,所以AO2-OC2=-64,所以OC2-AO2=64,由因为AC2=82=64,所以OC2-AO2=AC2所以OAC=90所以OA=2S24ABCAC28322所以OC=AC2OA2823273所以BC=2OC=273,在eqoac(,Rt)BCD中,

40、2736CD=BC2BD22216所以AD=CD-AC=16-8=8所以AB=AD2BD2826210【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含30直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.24（1）详见解析；（2）41；（3）3.【分析】（1）证EAC=DAB.利用SAS证ACEABD可得；（2）连接BD，证FEA1AED30，证ACEABD可得FEABDA30,CE=BD=5，利用勾2股定理求解；（3）作CE垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则ACE90,CAE45，利用勾股定理得AE2AB，BE=3AB，根据（1）思路得AD=BE=3AB.【详解

41、】(1)证明：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，即EAC=DAB.在ACE与ABD中，EACBAB，ACABADAEACEABD(SAS)，BDCE；(2)连接BD因为ADAE，DAEBAC60，所以ADE是等边三角形因为DAEDEAEDA60,ED=AD=AE=4因为CEAD所以FEA1AED302同(1)可知ACEABD(SAS)，所以FEABDA30,CE=BD=5所以BDEBDAADE90所以BE=BD2DE2524241(3)作CE垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则ACE90,CAE45所以AE=AB2AC22AC因为ABAC所以AE2AB又因为CAB45所以ABE

42、902ABAB所以BEAE2AB2223AB因为CBDCDB45所以BC=CD,BCD90因为同(1)可得ACDECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以AD3AB3ABAB【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.25（1）见解析；（2）ADC=45；（3）BD2DE【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（eqoac(,2)）的结论证明BED为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；（2）点B与点D关于直线AP对称，BAP=，PAD=，AB=AD，B

43、AC90，DAC902，又AB=AC，AD=AC，ADC=1180(902)=45；2（3）如图，连接BE，由（2）知：ADC=45，ADC=AED+EAD，且EAD=，AED=45，点B与点D关于直线AP对称，即AP垂直平分BD，AED=AEB=45，BE=DE，BED=90，BED是等腰直角三角形，BD2BE2DE22DE2，BD2DE.【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.26（1）（5，0）；（2）见解析；（3）P（4，2），满足ACP与BDC全等的点是P1、P2，P3理由见解析【分析】（1

44、）由题意可以假设A（a，a）（a0），根据AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF即可解决问题；（3）如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP=DB，连接AP只要证明ACPCDB（SASeqoac(,），)ABP是等腰直角三角形即可解决问题；根据SAS即可判断满足ACPeqoac(,与)BDC全等的点是P1、P2，P3；【详解】解：（1）点A在射线yx（x0）上，故可以假设A（a，a）（a0），ABx轴，ABOBeqoac(,a)，即ABO是等腰直角三角形，AB2+OB2OA2，a2+a2（52）2，解得a5，点B坐标为（5，0）（2

45、）如图2中，作CFx轴于FOC平分AOB，CHOE，CHCF，AOB是等腰直角三角形，AOB45，BCOE，CBGAOB45，得到BC平分ABF，CGBA，CFBF，CGCF，CGCH（3）如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CPDB，连接AP由（2）可知AC平分DAE，DAC11DAE（18045）67.5，221由OC平分AOB得到DOBAOB22.5，2ADCODB9022.567.5，ADCDAC67.5，ACDC，BDCOBD+DOB90+22.5112.5，ACD180CADADC18067.567.545，OCB4522.522.5，在ACP和CDB中，ACPDB，CPDBAC

46、P180ACDOCB1804522.5112.5，ACADACPCDB（SAS），CAPDCB22.5，BAPCAP+DAC22.5+67.590，ABP是等腰直角三角形，APABOB2，P（4，2）满足ACP与BDC全等的点是P1、P2，P3理由：如图4中，由题意：AP1BD，ACCD，CAP1CDB，根据SAS可得CAPeqoac(,1)CDB；AP2BD，ACCD，CAP2CDB，根据SAS可得CAP2CDB；ACCD，ACP3BDC，BDCP3根据SAS可得CAPeqoac(,3)DCB；故答案为P1、P2，P3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定

47、理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题27（1）假；（2）A45；（3）不能，理由见解析，见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论11（c-a），AG=（a+c），两个22【详解】解：（1）如

48、图1，假设eqoac(,Rt)ABC是类勾股三角形，ab+a2c2，在eqoac(,Rt)ABC中，C90，根据勾股定理得，a2+b2c2，ab+b2a2+b2，aba2，ab，ABC是等腰直角三角形，等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）ABBC，ACAB，ac，bc，ABC是类勾股三角形，ac+a2b2，c2+a2b2，ABC是等腰直角三角形，A45，（eqoac(,3)）在ABC中，ABC2BAC，BAC32，ABC64，根据三角形的内角和定理得，ACB180BACABC84，把这个三角形分成两个等腰三角形，（）、当BCDBDC时，ABC64，BCDBDC

49、58，ACDACBBCD845826，ADCABC+BCD122ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（）、当BCDABC64时，BDC52，ACD20，ADC128，ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（）、当BDCABC64时，BCD52，ACDACBBCD32BAC，ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，、分ABC，同（）的方法，判断此种情况不成立；、分BAC，同（）的方法，判断此种情况不成立；如图3，在AB边上取点D，连接CD，使ACDA图3作CGAB于G，CDBACD+A2A，B2A，CDBB，CDCBa，ACDA，ADCDa，DBABADca，CGAB，DGBG12（

50、ca），11AGAD+DGa+（ca）（a+c），221在eqoac(,Rt)ACG中，CG2AC2AG2b2（c+a）2，21在eqoac(,Rt)BCG中，CG2BC2BG2a2（ca）2，211b2（a+c）2a2（ca）2，22b2ac+a2，ABC是“类勾股三角形”【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义28（1）见解析；（2）26；（3）233a+23b【分析】（1）由ACB=DCE可得出ACD=BCE，再利用SAS判定ACDBCE，即可得到AD=BE；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM

51、=12DE，同（eqoac(,1)）可证ACDBCE，得到ACD=BCECD=CEAD=BE，然后可求AE的长，再判断AEB=90，即可用勾股定理求出AB的长；（3）由等腰三角形的性质易得CAB=CBA=CDE=CED=30，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出DE=23CM，然后利用三角形外角性质推出BEN=60，在eqoac(,Rt)BEN中即可求出BE，由于BE=AD，所以利用AE=AD+DE即可得出答案.【详解】证明：（1）ACB=DCEACB-BCD=DCE-BCD，即ACD=BCE在ACD和BCE中，AC=BCACDBCE（SAS）AD=BE（2）DCE=90，CD=CE，DC

52、E为等腰直角三角形，CMDE，CM平分DE，即M为DE的中点CM=12DE，ACD=BCECD=CEDE=2CM=14，ACB=DCEACB-BCD=DCE-BCD，即ACD=BCE在ACD和BCE中，AC=BCACDBCE（SAS）AD=BE=10，CAD=CBEAE=AD+DE=24如图，设AE，BC交于点H，在ACH和BEH中，CAH+ACH=EBH+BEH，而CAH=EBH，BEH=ACH=90，ABE为直角三角形由勾股定理得AB=AE2BE2=242102=26（3）由（1）（2）可得ACDBCE，DAC=EBC，ACB，DCE都是等腰三角形，ACB=DCE=120CAB=CBA=C

53、DE=CED=30，CMDE，CMD=90，DM=EM，CD=CE=2CM，DM=EM=3CMDE=23CM=23bBEN=BAE+ABE=BAE+EBC+CBA=BAE+DAC+CBA=30+30=60，NBE=30，BE=2EN，BN=3ENBN=aBE=2EN=23a=AD3AE=AD+DE=233a23b【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.29（1）BCDC+EC，理由见解析；证明见解析；（2）6.【解析】【分析】(1)证明BADCAE，根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BDCE，ACEB，得到