中考数学-以平行四边形为背景的计算与证明

1、以平行四边形为背景的计算与证明类型之一以平行四边形为背景的计算与证明【教材原型】已知：如图Z111，在ABCD中，AC是对角线，BEAC，DFAC，垂足分别为点E，F.求证：BEDF.(浙教版八下P83作业题第5题)证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BAEDCF.又BEAC，DFAC，AEBCFD，ABCD，图Z111RtAEBRtCFD，BEDF.【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边分别平行且相等；对角线

2、互相平分【中考变形】 扬州如图Z112，将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕l交CD边于点E，连结BE.(1)求证：四边形BCED是平行四边形；(2)若BE平分ABC，求证：AB2AE2BE2.【解析】(1)利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出DAEEADDEADEA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DADE是平行四边形，进而求出四边形BCED是平行四边形；(2)利用平行线的性质结合勾股定理得出答案图Z112证明：(1)将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，DAEDAE，DEADEA，DADE，DEAD，DEAEAD，DAEE

3、ADDEADEA，DADDED，四边形DADE是平行四边形，DEAD，四边形ABCD是平行四边形，四边形BCED是平行四边形；(2)BE平分ABC，CBEEBA，ADBC，DABCBA180，DAEBAE，EABEBA90，AEB90，AB2AE2BE2.【中考预测】如图Z113，四边形ABCD中，ADBC，AEAD交BD于点E，CFBC交BD于点F，且AECF.求证：四边形ABCD是平行四边形证明：ADBC，ADBCBD.AEAD，CFBC，EADFCB90.又AECF，EADFCB(AAS)，ADCB.又ADBC，四边形ABCD是平行四边形图Z113类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算

4、与证明【教材原型】如图Z114，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AEBC，AFCD.求菱形各个内角的度数(浙教版八下P120作业题第4题)解：连结AC.四边形ABCD是菱形，AEBC，AFCD且点E，F分别为BC，CD的中点，ACABADBCCD，三角形ABC，三角形ACD均为等边三角形，图Z114教材原型答图ABCACBBACACDADCCAD60，菱形ABCD的四个内角度数分别为ABCADC60，BADBCD120.【思想方法】要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；

5、判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质【中考变形】1如图Z115，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于H，连结OH，求证：DHODCO.证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，COD90.DHAB于H，DHB90，OHOBOD，OHBOBH，DHOHDO，ABCD，OBHODC，在RtCOD中，ODCOCD90，在RtDHB中，HDBHBO90，HDODCO，DHODCO.图Z1152如图Z116，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AFDC

6、；(2)若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论证明：(1)E是AD的中点，AEED.AFBC，AFEDBE，FAEBDE，AFEDBE，AFDB.图Z116AD是BC边上的中线，DBDC，AFDC；(2)四边形ADCF是菱形理由：由(1)知，AFDC.AFCD，四边形ADCF是平行四边形平行四边形ADCF是菱形3济宁如图Z117，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连结BF，DF.(1)求证：BFDF；(2)连结CF，请直接写出BECF的值(不必写出计算过程)解：(1)证明：四边形ABCD和AEFG都是正方形，ABAD，AEAGEFFG，BEFDGF90

7、，BEABAE，DGADAG，BEDG，BEFDGF.BFDF；图Z1174巴中如图Z118，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD，BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DEAC交BC的延长线于点E，当AB6，AC8时，求BDE的周长图Z118解：(1)OMON，理由如下：四边形ABCD为菱形，ADBC，AOCO.MAONCO.在AOM与CON中，AOMCON.OMON；(2)依题意，DEAC，ACBD，ADBC，四边形ACED为平行四边形，DEBD.CEADABBC6，DEAC8.在RtBDE中，由勾股定理，5江西

8、(1)如图Z119，纸片ABCD中，AD5，SABCD15.过点A作AEBC，垂足为E，沿AE剪下ABE，将它平移至DCE的位置，拼成四边形AEED，则四边形AEED的形状为( )A平行四边形B菱形C矩形D正方形(2)如图Z119，在(1)中的四边形纸片AEED中，在EE上取一点F，使EF4，剪下AEF，将它平移至DEF的位置，拼成四边形AFFD.求证：四边形AFFD是菱形；求四边形AFFD的两条对角线的长C图Z119AE3，EF4，E90，AF5，ADAF，四边形AFFD是菱形；如答图，连结AF，DF，中考变形5答图6泰州如图Z1110，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是A

9、B，BC，CD，DA上的动点，且AEBFCGDH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值图Z1110解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，AB90，ABDA，AEDHBF，BEAH，AEHBFE，EHFE，AHEBEF，同理，FEGFHG，EHFEGFHG，四边形EFGH是菱形，A90，AHEAEH90，中考变形6答图BEFAEH90，FEH90，菱形EFGH是正方形；(2)直线EG经过正方形ABCD的中心，理由如下：如答图，连结BD交EG于点O，四边形ABCD是正方形，ABDC，ABDCEBDGDB，AECG，B

10、EDG，EOBGOD，EOBGOD，BODO，即点O为BD的中点，直线EG经过定点正方形ABCD的中心；(3)设AEDHx，则AH8x，在RtAEH中，EH2AE2AH2x2(8x)22x216x642(x4)232，四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.【中考预测】如图Z1111，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于F，连结DF.(1)证明：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使EFDBCD，并说明理由图Z1111解：(1)证明：ABAD，CBCD，ACAC，ABCADC，BACDAC.ABAD，BAFDAF，AFAF，ABFADF，AFBAFD.又CFEAFB，AFDCFE；(2)A