中考数学总复习之第四至六单元精品系列

1、第17讲几何初步及平行线、相交线 第18讲三角形第19讲全等三角形第20讲等腰三角形第21讲直角三角形与勾股定理 第22讲相似三角形及其应用第23讲锐角三角函数第24讲解直角三角线及其应用第四单元 三角形中考数学总复习第四单元 三角形第17讲几何初步及平行线、相交线 第17课时几何初步及平行线、相交线第17讲 考点聚焦考点聚焦考点1 三种基本图形直线、射线、线段 直线公理经过两点有且只有_条直线线段公理两点之间，_最短两点间的距离连接两点间的线段的_，叫做这两点间的距离一 线段 长度 第17讲 考点聚焦考点2 角角的概念定义1有公共端点的两条_组成的图形叫做角这个公共端点叫做角的_，这两条射线

2、叫做角的_定义2一条射线绕着它的_从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角角的分类角按照大小可以分为平角、周角、_、_、钝角角的大小比较(1)叠合法(2)度量法角平分线定义从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等射线 顶点 两边 端点 直角 锐角 考点3 几何计数 第17讲 考点聚焦1数直线的条数过任意三个不在同一直线上的n个点中的两个点可以画_条2数线段的条数线段上共有n个点(包括两个端点)时，共有线段_条3数角的个数从一点出发的n条直线可组成_个角4数交点的个数n条直线最多有_个交点5数直线分平面的份数平面

3、内有n条直线，最多可以把平面分成_个部分考点4 互为余角、互为补角 第17讲 考点聚焦互为余角定义如果两个角的和等于90，则这两个角互余性质同角(或等角)的余角_互为补角定义如果两个角的和等于180，则这两个角互补性质同角(或等角)的补角_拓展一个角的补角比这个角的余角大90相等 相等 考点5 邻补角、对顶角 第17讲 考点聚焦邻补角定义若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角对顶角定义若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角性质对顶角相等考点6 “三线八角“的概念 第17讲 考点聚焦同位角如果两个角在截线l

4、的同侧，且在被截直线a、b的同一方向叫做同位角(位置相同)1和5，4和8，2和6，3和7是同位角内错角如果两个角在截线l的两旁(交错)，在被截线a、b之间(内)叫做内错角(位置在内且交错)2和8，3和5是内错角同旁内角如果两个角在截线l的同侧，在被截直线a、b之间(内)叫做同旁内角5和2，3和8是同旁内角考点7 平行 第17讲 考点聚焦平行线的定义在同一平面内，_的两条直线叫做平行线平行公理经过直线外一点，有且只有_条直线与这条直线_平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相_不相交 一平行 平行第17讲 考点聚焦平行线的判定同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行

5、同旁内角互补，两直线平行平行线的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补考点8 垂直 第17讲 考点聚焦垂直定义如果两条直线相交成_，那么这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线的交点叫做_特别说明(1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角；(3)线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在直线垂直垂直的性质在同一平面内，过一点有且只有_条直线与已知直线垂直直角 垂足 一 第17讲 考点聚焦垂线段定义从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做_性质直线外各点与直线上各点所连的线段中，_最短

6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的_的长度，叫做点到直线的距离垂线段 垂线段 垂线段 第17讲 归类示例归类示例类型之一线与角的概念和基本性质 命题角度：1. 线段、射线和直线的性质及计算；2. 角的有关性质及计算例1 2012北京 如图171，直线AB，CD交于点O，射线OM平分AOC，若BOD76，则BOM等于()A38 B104C142 D144 C 图171第17讲 归类示例类型之二直线的位置关系 命题角度：1. 直线平行与垂直的判定及简单应用；2. 角度的有关计算. 第17讲 归类示例图172 例2 2012义乌 如图172，已知ab，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上若140，则

7、2的度数为_ 50 第17讲 归类示例解析 如图，140，3180190180409050.ab，2350.故答案为：50. 计算角度问题时，要注意挖掘图形中的隐含条件(三角形内角和、互为余角或补角、平行性质、垂直)及角平分线知识的应用第17讲 归类示例 类型之三 度、分、秒的计算 例3 2011芜湖 一个角的补角是3635，这个角是_. 第17讲 归类示例命题角度：1度、分、秒的换算；2度、分、秒的计算14325 解析 这个角为180363514325 第17讲 归类示例 注意角的度数之间的进率是60而不是10，这是容易出错的地方 类型之四 平行线的性质和判定的应用 命题角度：1. 平行线的

8、性质；2. 平行线的判定；3. 平行线的性质和判定的综合应用第17讲 归类示例例4 如图173，ABCD，分别探讨下面四个图形中APC与PAB、PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明 图173第17讲 归类示例解：APC PAB PCD；APC360(PAB PCD)；APCPAB PCD；APCPCDPAB.如证明 APC PAB PCD.证明：过P点作PEAB，所以AAPE.又因为ABCD，所以PECD，所以CCPE，所以ACAPECPE，APC PAB PCD.同理可证明其他的结论 平行线的性质与判定的综合运用，是解决与平行线有关的问题的常用方法先由“形”得到“数”，即应用特

9、征得到角相等(或互补)，再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系然后再由“数”到“形”得到一组新的平行第17讲 归类示例第18讲三角形第18课时三角形第18讲 考点聚焦考点聚焦考点1 三角形的分类 1按角分：第18讲 考点聚焦2按边分：第18讲 考点聚焦考点2 三角形中的重要线段 重要线段交点位置中线三角形的三条中线的交点在三角形的_部角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的_部高_三角形的三条高的交点在三角形的内部；_三角形的三条高的交点是直角顶点；_三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部内 内 锐角 直角 钝角 考点3 三角形的中位线 第18讲 考点聚焦定义连接三角形两边的_的线段

10、叫三角形的中位线定理三角形的中位线_于第三边，并且等于它的_总结(1)一个三角形有三条中位线(2)三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为13中点 平行 一半 考点4 三角形的三边关系 第18讲 考点聚焦定理三角形的两边之和_第三边推理三角形的两边之差_第三边三角形的稳定性三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现大于 小于 考点5 三角形的内角和定理及推理 第18讲 考点聚焦定理三角形的内角和等于_推论1.三角形的一个外角等于和它_的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它_的内角3.直角三角形的两个锐角_4.三角形的外角和为_拓展 在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最

11、多有一个钝角，最多有一个直角180 不相邻的两个内角 不相邻 互余 360 第18讲 归类示例归类示例类型之一三角形三边的关系命题角度：1. 判断三条线段能否组成三角形；2. 求字母的取值范围；3. 三角形的稳定性例1 2012长沙现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是() A1 B2 C3 D4 B 第18讲 归类示例 解析 四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；只有3，7，9和4，7，9能组成三角形故选B. 类型之二三角形的重要线段的应用 命题角度：1. 三角形的中线、角平分线、高线；2

12、. 三角形的中位线第18讲 归类示例图181 例2 2012盐城如图181，在ABC中， D，E分别是边AB、AC的中点，B50.现将ABC沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点A1，则BDA1的度数为_ 80 第18讲 归类示例 解析 由折叠的性质可知ADA1D，根据中位线的性质得DEBC；然后由两直线平行，同位角相等推知ADEB50；最后由折叠的性质知ADEA1DE，所以BDA11802B80. 类型之三 三角形内角与外角的应用 例3 2012乐山如图182，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An1BC的平分线与

13、An1CD的平分线交于点An. 设A.则(1)A1_； (2)An_.第18讲 归类示例命题角度：1. 三角形内角和定理；2. 三角形内角和定理的推论图182第18讲 归类示例解析 (1)根据角平分线的定义可得A1BCABC，A1CDACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ACDAABC，A1CDA1BCA1，整理即可得解；(2)与(1)同理求出A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律再结合脚码即可得解 第18讲 归类示例第18讲 归类示例 综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系得到结

14、论第19讲全等三角形 第19课时全等三角形第19讲 考点聚焦考点聚焦考点1 全等图形及全等三角形 全等图形能够完全重合的两个图形就是_全等图形的形状和_完全相同全等三角形能够完全重合的两个三角形就是全等三角形说明完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等全等图形 大小第19讲 考点聚焦考点2 全等三角形的性质 性质1全等三角形的对应边_性质2全等三角形的对应角_性质3全等三角形的对应边上的高_性质4全等三角形的对应边上的中线_性质5 全等三角形的对应角平分线_相等 相等 相等 相等 相等 考点3 全等三角形的判定 第19讲 考点聚焦基本判定方法1.三条边对应相等的两个三角形

15、全等(简记为SSS)2.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为_ )3.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为_ )4.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为_ )5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为_ )ASA AAS SAS HL 第19讲 考点聚焦拓展延伸满足下列条件的三角形是全等三角形：(1)有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；(2)有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；(3)有两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等；(4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；(5)有两边和其中一

16、边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等；(6)有两边和第三边上的高对应相等的锐角(或钝角)三角形全等总结判定三角形全等，无论哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中最少要有一组对应边相等考点4 利用“尺规”作三角形的类型 第19讲 考点聚焦1已知三角形的三边，求作三角形2已知三角形的两边及其夹角，求作三角形3已知三角形的两角及其夹边，求作三角形4已知三角形的两角及其其中一角的对边，求作三角形5已知直角三角形一条直角边和斜边，求作三角形考点5 角平分线的性质与判定 第19讲 考点聚焦性质角平分线上的点到角两边的_相等判定角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的_上距离 平分线 第19讲 归类

17、示例归类示例类型之一全等三角形性质与判定的综合应用命题角度：1. 利用SSS、ASA、AAS、SAS、HL判定三角形全等；2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题例1 2012重庆 已知：如图191，ABAE，12，B E，求证：BCED.图191第19讲 归类示例第19讲 归类示例 1解决全等三角形问题的一般思路：先用全等三角形的性质及其他知识，寻求判定一对三角形全等的条件；再用已判定的全等三角形的性质去解决其他问题即由已知条件(包含全等三角形)判定新三角形全等、相应的线段或角的关系； 2轴对称、平移、旋转前后的两个图形全等； 3利用全等三角形性质求角的度数时注意挖掘条件，

18、例如对顶角相等、互余、互补等类型之二全等三角形开放性问题 命题角度：1. 三角形全等的条件开放性问题；2. 三角形全等的结论开放性问题第19讲 归类示例图192 例2 2012义乌 如图192，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF.添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是_(不添加辅助线)DEDF 第19讲 归类示例第19讲 归类示例由于判定全等三角形的方法很多，所以题目中常给出(有些是推出)两个条件，让同学们再添加一个条件，得出全等，再去解决其他问题这种题型可充分考查学生对全等三角形的掌握的牢固与灵活程度 类型之三 利

19、用全等三角形设计测量方案 例3 2012柳州如图193，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果PQONMO，则只需测出其长度的线段是()APO BPQ CMO DMQ第19讲 归类示例命题角度：全等三角形的判定 图193B 第19讲 归类示例解析 要想利用PQONMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，故选B. 类型之四角平分线 例4 (1)班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角(如图194所示)设计了如下方案：()AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PMPN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线()AO

20、B是一个任意角，在边OA、OB上分别取OMON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PMPN，过角尺顶点P的射线OP就是AOB的平分线 第19讲 归类示例命题角度：(1)角平分线的性质；(2)角平分线的判定第19讲 归类示例(1)方案()、方案()是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；(2)在方案()PMPN的情况下，继续移动角尺，同时使PMOA，PNOB.此方案是否可行？请说明理由图194第19讲 归类示例第19讲 归类示例(2)当AOB是直角时，方案()可行四边形内角和为360，又若PMOA，PNOB，则OMPONP90，MPN9

21、0，AOB90.若PMOA，PNOB，且PMPN，OP为AOB的平分线当AOB不为直角时，此方案不可行因四边形内角和为360，若AOB不为直角，则PM、PN不可能垂直OA、OB.第20讲等腰三角形 第20课时等腰三角形第20讲 考点聚焦考点聚焦考点1 等腰三角形的概念与性质 定义有_相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，有_条对称轴定理1等腰三角形的两个底角相等(简称为：_)定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上的_和底边上的高互相重合，简称“三线合一”两边 一 等边对等角 中线第20讲 考点聚焦拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两

22、腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高第20讲 考点聚焦考点2 等腰三角形的判定 定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：_)拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形等角对等边考点3 等边三角形 第2

23、0讲 考点聚焦定义三边相等的三角形是等边三角形性质等边三角形的各角都_，并且每一个角都等于_等边三角形是轴对称图形，有_条对称轴判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形相等 60 3 考点4 线段的垂直平分线 第20讲 考点聚焦定义经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的_上实质构成线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点_的所有点的集合相等 垂直平分线 距离相等 第20讲 归类示例归类示例类型之一等腰三角形的性质的运用 命题角度：1

24、. 等腰三角形的性质；2. 等腰三角形“三线合一”的性质；3. 等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质. 例1 如图201，在等腰三角形ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG，交AD于点E，EFAB，垂足为F.求证：EFED.图201第20讲 归类示例解析 根据等腰三角形三线合一，确定ADBC，又因为EFAB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证出结论证明：ABAC，AD是BC边上的中线，ADBC.BG平分ABC，EFAB，EFED.第20讲 归类示例 (1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换 (2)在同一个三角形中，等角对等边与等边

25、对等角进行互相转换类型之二等腰三角形判定 命题角度：等腰三角形的判定第20讲 归类示例图202 例2 2011扬州 已知：如图202，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OBOC.(1)求证：ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在BAC的平分线上，并说明理由 第20讲 归类示例解析 (1)利用BDCCEB 证明DCBEBC；(2)连接AO，通过HL证明ADOAEO，从而得到DAOEAO，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论解：(1)证明：OBOC，OBCOCB.BD、CE是两条高，BDCCEB90.又BCCB，BDCCEB (AAS)DBCECB, ABAC.ABC是等腰三角形

26、第20讲 归类示例(2)点O是在BAC的平分线上连接AO.BDCCEB，DCEB.OBOC， ODOE.又BDCCEB90，AOAO，ADOAEO(HL)DAOEAO. 点O是在BAC的平分线上第20讲 归类示例要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有(1)通过等角对等边得两边相等；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得两边相等 类型之三 等腰三角形的多解问题 例3 2012广安已知等腰ABC中，ADBC于点D，且AD0.5 BC，则ABC底角的度数为()A45 B75C45或75 D60第20讲 归类示例命题角度：1. 遇到等腰三角形的

27、问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况C 第20讲 归类示例第20讲 归类示例 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要分类讨论进行解题，才能避免漏解情况 类型之四等边三角形的判定与性质 例4 2011绍兴 数学课上，李老师出示了如下框中的题目在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且EDEC，如图203.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由第20讲 归类示例命题角度：等边三角形的判定与性质的综合图203第20讲 归类示例小敏与同

28、桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图204，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE_DB(填“”“”“3)拓展n边形的内角中最多有_个是锐角首尾顺次 (n2)180 3 第25讲 考点聚焦正多边形定义各个角_，各条边_的多边形叫正多边形对称性正多边形都是_对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形相等 相等 轴 第25讲 考点聚焦考点2 平面图形的镶嵌定义用_、_完全相同的一种或几种_进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的_平面镶嵌的条件在同一顶点的几个角的和等于360形状 大小 平面图形 镶嵌 第25讲 考点聚

29、焦常见形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：_个正三角形或_个正四边形或_个正六边形(2)用两种正多边形镶嵌用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和_个正四边形；用正三角形和正六边形镶嵌：用_个正三角形和_个正六边形或者用_个正三角形和_个正六边形；用正四边形和正八边形镶嵌：用_个正四边形和_个正八边形可以镶嵌六 四 三 二 四 一 二 二一二 第25讲 考点聚焦常见形式(3)用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m90n120k360，整理得_，因为m、n、k为整数，所以m_，n_，k_，即用_块正方形

30、，_块正三角形和_块正六边形可以镶嵌防错提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于3602m3n4k12 1 2 两 一一1 考点3 平行四边形的定义与性质 第25讲 考点聚焦定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质(1)平行四边形的两组对边分别_；(2)平行四边形的两组对边分别_；(3)平行四边形的两组对角分别_；(4)平行四边形的对角线互相_ ；(5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点总结若一条直线过平行四边形的对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为对称中心，且这条直线等分平行四边形的面积平行 相等 相等 平分 考点4

31、平行四边形的判定 第25讲 考点聚焦序号方法1定义法2两组对角分别_的四边形是平行四边形3两组对边分别_的四边形是平行四边形4一组对边平行且_的四边形是平行四边形5对角线_的四边形是平行四边形相等 相等 相等 互相平分 考点5 平行四边形的面积 第25讲 考点聚焦平行四边形的面积平行四边形的面积底 高拓展同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等两条平行线间距离在两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线上的距离叫做两条平行线间的距离推论夹在两条平行线间的平行线段_相等 第25讲 归类示例归类示例类型之一多边形的内角和与外角和 命题角度：1n边形的内角和定理的应用；2n边形的外角和定理的应用

32、5 解析 设该多边形的边数为n，则(n2)1801/3360.解得n5.例1 2012德阳 已知一个多边形的内角和是外角和的 1/3 ，则这个多边形的边数是_ 第25讲 归类示例 如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果类型之二平行四边形的性质 命题角度：1. 平行四边形对边的特点； 2. 平行四边形对角的特点；3. 平行四边形对角线的特点第25讲 归类示例 例2 如图251, 四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分DAB和CBA.

33、(1)求APB的度数；(2)如果AD5 cm，AP8 cm，求APB的周长图251第25讲 归类示例 平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算 第25讲 归类示例 类型之三 平行四边形的判定 例3 2012泰州 如，四边形ABCD中，ADBC，AEAD交BD于点E，CFBC交BD于点F，且AE CF.求证：四边形ABCD是平行四边形解析 由垂直得到EADBCF90，根据AAS可证明RtAEDRtCFB，得到ADBC，根据平行四边形的判定即可证明第25讲 归类示例命题角度：1. 从对边判定四边形是平行四边形；2. 从对角判定四边形是平行四边

34、形；3. 从对角线判定四边形是平行四边形图252第25讲 归类示例证明：ADBC，ADBCBD，AEAD，CFBC，EADFCB90.AE CF，EADFCB(AAS)，ADCB.ADBC，四边形ABCD是平行四边形第25讲 归类示例判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题第26讲矩形、菱形、正方形 第26讲 矩形、菱形、正方形第26讲 考点聚焦考点聚焦考点1 矩形 矩形定义有一个角是_的平行四边形叫做矩形矩形的性质对称性矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是中心

35、对称图形，它的对称中心就是对角线的交点定理(1)矩形的四个角都是_角；(2)矩形的对角线互相平分并且_推论在直角三角形中，斜边上的中线等于_的一半直角 直相等 斜边 第26讲 考点聚焦矩形的判定(1)定义法(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线_的平行四边形是矩形拓展(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的的等腰三角形；(2)矩形的面积等于两邻边的积相等 第26讲 考点聚焦考点2 菱形 菱形定义有一组_相等的平行四边形是菱形菱形的性质对称性菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点定理(1)菱形的四条边_；(2)菱形的两条

36、对角线互相_平分，并且每条对角线平分_邻边 相等 垂直 一组对角 第26讲 考点聚焦菱形的判定(1)定义法(2)四条边_的四边形是菱形(3)对角线互相_的平行四边形是菱形菱形面积(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积底高(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的_.相等 垂直一半 考点3 正方形 第26讲 考点聚焦正方形的定义有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的性质(1)正方形对边_(2)正方形四边_(3)正方形四个角都是_(4)正方形对角线相等，互相_，每条对角线平分一组对角(5)正方形既是轴对称图形

37、也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点正方形的判定(1)有一组邻边相等的矩形是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形平行 相等 直角 垂直平分 第26讲 考点聚焦判定正方形的思路图：考点4 中点四边形 第26讲 考点聚焦定义顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形常见结论顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是_顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是_顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是_顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是_顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是_顺次连接对角线互相垂直的四边形所得到的

38、四边形是_菱形 矩形 正方形 菱形 菱形矩形 第26讲 归类示例归类示例类型之一矩形的性质及判定的应用 命题角度：1. 矩形的性质；2. 矩形的判定例1 2012六盘水如图261，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证：ABEFCE；(2)连接AC、BF，若AEC2ABC，求证：四边形ABFC为矩形图261第26讲 归类示例解析 (1)利用AAS可得出三角形ABE与三角形FCE全等；(2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFC为矩形 第26讲 归类示例第26讲 归类示例类型之二菱形的性质及判定的应用 命题角度：1. 菱形的性质；2. 菱

39、形的判定第26讲 归类示例 例2 2012重庆 已知：如图262，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，12.(1)若CE1，求BC的长；(2)求证：AMDFME.图262第26讲 归类示例解析 (1)根据菱形的对边平行可得ABCD，可得1ACD，所以ACD2，得CMDM，根据等腰三角形三线合一的性质可得CEDE；(2)证明CEM和CFM全等，得MEMF，延长AB、DF交于点N，然后证明1N，得AMNM，再利用“角角边”证明CDF和BNF全等，得NFDF，最后结合图形NMNFMF即可得证第26讲 归类示例第26讲 归类示例 在证明一个四边形是菱形时

40、，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明第26讲 归类示例 类型之三 正方形的性质及判定的应用 例3 2012黄冈如图263，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DECF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AMDF.解析 根据DECF，可得出OEOF，继而证明AOEDOF，得出OAEODF，然后利用等角代换可得出DME90，即可得出结论第26讲 归类示例命题角度：1. 正方形的性质的应用；2. 正方形的判定图263第26讲 归类示例第26讲 归

41、类示例 正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质；正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形 类型之四特殊平行四边形的综合应用 例4 2012娄底如图264，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点(1)求证：MBANDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由第26讲 归类示例命题角度：1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2. 矩形、菱形、正方形的关系转化图264第26讲 归类示例 类型之五中点四边形 例5 20

42、11邵阳在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE.(1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；(2)试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形(写出你所添加的条件，不要求证明)第26讲 归类示例命题角度：1. 对角线相等的四边形的中点四边形；2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形图265第26讲 归类示例第26讲 归类示例 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关第26讲 回归教材探索正方形中的三角形全等 回归教材教材母题人教版八下P104习题T15如图266，四边形ABCD是正

43、方形点G是BC上的任意一点，DEAG于点E，BFDE，且交AG于点F.求证：AFBFEF.图266第26讲 回归教材证明：四边形ABCD是正方形，ADAB，BAD90.DEAG，DEGAED90，ADEDAE90.又BAFDAEBAD90，ADEBAF.BFDE，AFBDEGAED，ABFDAE，BFAE，故AFBFAFAEEF. 点析 正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具第26讲 回归教材中考变式12010红河 如图267，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重合)，E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合)，若AFBFEF，12，请判断线段DE与

44、BF有怎样的位置关系，并证明你的结论图267第26讲 回归教材解：根据题目条件可判断DEBF.证明如下：四边形ABCD是正方形，ABAD，BAF290.AFAEEF，又AFBFEF，AEBF.12，ABFDAE(SAS)AFBDEA，BAFADE.ADE2BAF290，AEDBFADEG90.DEBF. 第26讲 回归教材2如图268，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，12，34.(1)证明：ABEDAF；(2)若AGB30，求EF的长图268第26讲 回归教材第26讲 回归教材第27讲梯形 第27讲 梯形第27讲 考点聚

45、焦考点聚焦考点1 梯形的有关概念梯形定义一组对边_，另一组对边_的四边形叫梯形等腰梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形直角梯形有一个角是直角的梯形叫直角梯形平行 不平行 第27讲 考点聚焦考点2 等腰梯形 等腰梯形的性质轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴性质定理1等腰梯形同一底上的两_相等性质定理2等腰梯形的对角线_底角 相等 第27讲 考点聚焦等腰梯形的判定判定方法(1)定义法；(2)同一底上的两个角_的梯形是等腰梯形判定步骤(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形相等 考点3 梯形中常用的辅助

46、线 第27讲 考点聚焦辅助线添加方法及目的图形平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形第27讲 考点聚焦平移对角线移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形来研究梯形延长两腰延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形连接中点并延长连接梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线相交，可得一三角形，将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到同一直线上第27讲 归类示例归类示例类型之一梯形的基本概念及

47、性质命题角度：1. 梯形的定义及分类；2. 梯形的中位线及有关计算例1 2012滨州 我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图271，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论图271第27讲 归类示例解析 连接AF并延长交BC的延长线于点G，则ADFGCF，可以证得EF是ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得解：结论为：EFADBC，

48、EF0.5(ADBC) 第27讲 归类示例 梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决常用添加辅助线的方法有：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个顶点作高；(3)平移对角线；(4)延长两腰第27讲 归类示例类型之二等腰梯形的性质 命题角度：1. 等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；2. 等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；3. 等腰梯形的对角线相等的关系第27讲 归类示例 例2 2012内江如图272，四边形ABCD是梯形，BDAC且BDAC，若AB2，CD4，则S梯形ABCD_. 图2729 第27讲 归类示例 利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行，而且可证明两边

49、相等或两个角相等第27讲 归类示例 类型之三 等腰梯形的判定 例3 2011茂名如图274，在等腰ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，12.(1)求证：ODOE；(2)求证：四边形ABED是等腰梯形；(3)若AB3DE，DCE的面积为2，求四边形ABED的面积第27讲 归类示例命题角度：1. 定义法；2. 从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；3. 从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形图274第27讲 归类示例解析 (1)证明ABDBAE(ASA)(2)由(1)得ADBE，再证DEAB即可(3)DCEACB，利用相似三角形面积比等于相似比的

50、平方求得解：(1)证明：ABC是等腰三角形，ACBC， BADABE，又ABBA，21，ABDBAE(ASA)，BDAE.又12，OAOB，BDOBAEOA，即ODOE. 第27讲 归类示例第27讲 归类示例 证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可 类型之四梯形的综合应用 例4 2012苏州 如图275，在梯形ABCD中，ADBC，A60，动点P从A点出发，以1 cm/s的速度沿着ABCD的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止已知PAD的面积S (单位：cm2)与点P移动的时间t(单位：s)的函数关系如图所示，则点P从开始移动到停止移动一共用

51、了_s(结果保留根号)第27讲 归类示例命题角度：1. 常用辅助线；2. 动态几何问题；3. 梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用第27讲 归类示例图275解析 根据图判断出AB、BC的长度，过点B作BEAD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t2时PAD的面积求出AD的长度，过点C作CFAD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再求时间第27讲 归类示例第27讲 归类示例第27讲 归类示例第27讲 归类示例 动 态几何开放性数学问题是近几年兴起的一种新颖题型，一般是某一个点在某一个图形上的运动，难度相对较大，对考生综合分析问题

52、的能力要求较高主要形式有开放前提、开放结论两大类解答此类问题要注意全面、整体地把握题目的意思，尤其不能漏掉某些情况. 第28讲圆的有关性 第29讲直线与圆的位置关系第30讲 圆与圆的位置关系第31讲 正多边形、扇形的面积、圆锥的计算问题 第六单元 圆中考数学总复习第六单元 圆第28讲圆的有关性 第28课时圆的有关性质第28讲 考点聚焦考点聚焦考点1 圆的有关概念 圆的定义定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合第28讲 考点聚焦弦连接圆上任意两点的_叫做弦直径经过圆

53、心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧线段 第28讲 考点聚焦考点2 点和圆的位置关系 如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外_点在圆上_点在圆内_dr d=r dr 考点3 确定圆的条件及相关概念 第28讲 考点聚焦确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边_的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部垂直平分线 考点4 圆的对称性第28讲 考点聚焦 圆既是一个轴对称图形又是一个_对称图形，圆还具有旋转不变性 中心考

54、点5 垂径定理及其推论 第28讲 考点聚焦垂径定理垂直于弦的直径_，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于过圆心；垂直弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立平分弦考点6 圆心角、弧、弦之间的关系第28讲 考点聚焦定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_相等，所对的_相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量

55、也分别相等弧弦考点7 圆周角 第28讲 考点聚焦圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于该弧所对的圆心角的_推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_推论2半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是_三角形相等一半相等直角直径直角考点8 圆内接多边形 第28讲 考点聚焦圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的_对角互补考点9 反证法 第28讲 考点聚焦

56、定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设(2)从假设的结论出发，推出矛盾(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确第28讲 归类示例归类示例类型之一确定圆的条件 命题角度：1. 确定圆的圆心、半径；2. 三角形的外接圆圆心的性质 10或8 例1 2012资阳 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_第28讲 归类示例第28讲 归类示例(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分

57、线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线事实上，三条垂直平分线交于同一点(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆类型之二垂径定理及其推论 命题角度：1. 垂径定理的应用；2. 垂径定理的推论的应用第28讲 归类示例例2 2012台州 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图281所示，已知EFCD16厘米，则球的半径为_厘米图28110 第28讲 归类示例解析 首先找到EF的中点M，作MNAD于点M，分别交圆于G、N两点，取GN的中点O，连接OF，设OFx，则OM16x，MF8.在直角三角形OMF中，OM2MF2OF2，即(16x)282x2，解得x10. 垂径定理及其

58、推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形第28讲 归类示例 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系 例3 2011济宁 如图282，AD为ABC外接圆的直径，ADBC，垂足为点F，ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BDCD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由第28讲 归类示例命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系图282第28讲 归类示例解析 (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证

59、明DBDEDC.解：(1)证明：AD为直径，ADBC，BDCD.BDCD. (2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BDCD，BADCBD.DBECBDCBE，DEBBADABE，CBEABE，DBEDEB.DBDE.由(1)知：BDCD，DBDEDC.B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 类型之四 圆周角定理及推论 D命题角度：1. 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2. 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算第28讲 归类示例 例4 2012湘潭 如图283，在O中，弦ABCD，若ABC40，则BOD()A. 20 B. 4

60、0C. 50 D. 80图283解析 先根据弦ABCD得出ABCBCD40，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出BOD2BCD24080.第28讲 归类示例 圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化第28讲 归类示例 类型之五 与圆有关的开放性问题命题角度：1. 给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2. 给定一个圆，添加条件并说明理由第28讲 归类示例 例5 2012湘潭 如图284，在O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC0.5AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D