新人教部编版九年级上册数学全册精品优质公开课教案

1、精品文档 精心整理精品文档 精心整理211一元二次方程1理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式2会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题3在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是()Ax2eq f(1,x2)1 B3x22xy5y20C

2、(x1)(x2)3 Dax2bxc0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数 关于x的方程(k1)x|k1|kx10是一元二次方程，则k的值为_解析：由题意得eq blc(avs4alco1(|k1|2

3、，,k10，)eq blc(avs4alco1(k3或k1，,k1.)k3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值探究点二：一元二次方程的一般形式 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项(1)3x225x；(2)9x216；(3)2x(3x1)17；(4)(3x5)(x1)7x2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称解：(1)方程化为一般形式为3x25x20，二次项系数是3，一次项系数是5，常数项是2.(2)方程化

4、为一般形式为9x2160，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是16.(3)方程化为一般形式为6x22x170，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是17.(4)方程化为一般形式为3x29x30，二次项系数是3，一次项系数是9，常数项是3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号探究点三：列一元二次方程 (2015深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2.已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度请根据题意列出方程解析：设花边的宽度为xm，则由图可知剩下部分的长为(22x)

5、m，剩下部分的宽为(1.42x)m.剩下部分面积为1.6m2，可列方程(22x)(1.42x)1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程探究点四：一元二次方程的解【类型一】判断一元二次方程的解 方程x22x0的解为()Ax11，x22 Bx10，x21Cx10，x22 Dx1eq f(1,2)，x22解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C中的x10，x22都能使方程x22x0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，

6、能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值 已知1是关于x的一元二次方程(m1)x2x10的一个根，则m的值是()A1 B1C0 D无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m1)110，解得m1，此时m120，m1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数

7、学建模的思想方法.教学时间课题21.1 一元二次方程课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根过程方法1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情教学重点一元二次方程的概念，一般形

8、式和一元二次方程的根的概念教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后

9、观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0； ；概念归纳：1.一元二次方程定义：分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式：分析： eq oac(,1).为什么规定0？ eq oac(,2).方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：；课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.一元二次方程的根的概念1.类比一元

10、一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，43.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳： eq oac(,1)一元二次方程的根的情况 eq oac(,2)一元二次方程的解要满足实际问题三、课堂训练1.课本练习2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-

11、2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1个 B2个 C3个 D4个2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围_3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.五、作业设计必做：P4：.7选做：.P29：3.5.7点题，板书课题.学生读题找等量关系列方程.学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二

12、次方程概念.学生尝试叙述，然后师生归纳师生分析概念和一般形式.学生根据相关概念作答，复习巩固.学生类比一元一次方程的解尝试叙述学生思考，讨论完成，学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容淡化列方程难度，重点突出方程特点 通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.全面理解和掌握识记、理解相关概念通过类比，迁移提高加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统教学反 思211 一元二次方程 教学目标1.理解一元二次方程及其相关概念，能

13、够熟练地把一元二次方程化为一般形式。2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。3.在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次的感性认识。 重难点关键 1重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题 2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程 问题（1）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm，那

14、么， 根据题意，可得方程为_问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点 如果假设AB=1，AC=x，那么BC=_，根据题意，得：_ 整理得：_ 问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理，得：_老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理 二、探索新知 学生活动1：请口答下面问题 （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有

15、式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项学生活动2 提问： （1）问题1中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？ 老师点评：（1

16、）问题1中x=6是x2-36=0的解，问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解（3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 例1将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx

17、+c=0（a0）因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等 解：去括号，得： 40-16x-10 x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22 例2已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2x10的一个根，则m的值是（ ）A1 B1C0 D无法确定分析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到时一元二次方程，所以还要其二次项系数要不能等于0由此得，(m-1)+1+1=0，解得m=-1，此时m-1=-20，m=-1故选B方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及

18、方程根的题目的时候，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题。例3 如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出33个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）A32 B126C135 D144 分析：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为x，则最大数为x+16，根据题意，得x（x+16）=192，解得x1=8，x2=24（不合题意舍去），故最小的三个数为8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15，16，17，第3行三个数，

19、比上一行三个数分别大7，即为22，23，24，这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144故选D方法总结：在日历表中，在同一列上相邻的两个数，下一列比上一列的一个数大7；在同一行上相邻的两个数，右边的比左边的一个数大1，是解决此类问题的依据 三、巩固练习 教材习题22.1练习1、2 四、应用拓展 例4求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+170即可 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 （m-4）20 （m-4）2+10，即（m-4）

20、2+10 不论m取何值，该方程都是一元二次方程 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 1教材习题221 1、2 2选用作业设计 作业设计 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ） 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 （x-2）（x+5）=x2-1 3x2-=0 A1个 B2个 C3个 D4个 2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，-6 B2，-3

21、，18 C2，-3，6 D2，3，6 3px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ） Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数 4已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b0），则=（ ） A1 B-1 C0 D2 二、填空题 5方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_ 6一元二次方程的一般形式是_7关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_ 8已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为_ 三、综合提高题9a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？关于x的方程（2m2+m）

22、xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 11如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值12如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）中的二次项系数与常数项之和等 于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根 13一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3 所以，_x_第二步： x3.13.23.33.4x2-3x-1-0.96-0.3

23、6 所以，_x0)的两个根分别是m1与2m4，则eq f(b,a)_.解析：ax2b，xeq r(f(b,a)，方程的两个根互为相反数，m12m40，解得m1，一元二次方程ax2b(ab0)的两个根分别是2与2，eq r(f(b,a)2，eq f(b,a)4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用 若一元二次方程(a2)x2axa240的一个根为0，则a_解析：一元二次方程(a2)x2axa240的一个根为0，a20且a240，a2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用 有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和

24、的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算解：设新正方形的边长为xcm，根据题意得x2112138，即x2225，解得x15.因为边长为正，所以x15不合题意，舍去，所以只取x15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.21.2.1 配方法第1课时 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，

25、即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程 重难点关键 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想 2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n0）的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题1填空 （1）x2-8x+_=（x-_）2；

26、（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2问题2如图，在ABC中，B=90，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后PBQ的面积等于8cm2？ 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 问题2：设x秒后PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 依题意，得：x2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得x=2 即x1=2，x2=-2 可以验证，2和-2都是方程x2x=8的两根，但是移动

27、时间不能是负值 所以2秒后PBQ的面积等于8cm2 二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=2 即2t+1=2，2t+1=-2 方程的两根为t1=-，t2=- 例1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x1=-1，x2=-

28、3 例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是10+10 x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为20% （学生小结）

29、老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想” 三、巩固练习 教材P36 练习 四、应用拓展 例3某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？ 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+）2=2.56，即（

30、x+）2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 方程的根为x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，达到降次转化之目的 六、布置作业 1教材P45 复习巩固1、2 2选用作业设计:一、选择题 1若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程3x2+9=0的根为（ ） A3 B-

31、3 C3 D无实数根 3用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是（ ） A（x-）2=，x= B（x-）2=-，原方程无解 C（x-）2=，x1=+，x2= D（x-）2=1，x1=，x2=- 二、填空题 1若8x2-16=0，则x的值是_ 2如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_ 三、综合提高题 1解关于x的方程（x+m）2=n 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m （1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？ （2）鸡场的面积能达到

32、210m2吗？ 3在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗？答案:一、1B 2D 3B二、1 29或-3 3-8三、1当n0时，x+m=，x1=-m，x2=-m当n0时，无解2（1）都能达到设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，得：x2-20 x+90=0，x1=10+，x2=10-；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20 （2）不能达到同理x（40-2x）=210，x2-20 x+105=0，b2-4ac=400-410=

33、-100，无解，即不能达到3因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形第2课时配方法1了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤2探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x26x50，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方 用配方法解一元二次方程x24x5时，此方程可变形为()A(x2)21 B(x2)21C(x2)29 D(x2)29解析：由于方程

34、左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可因为x24x5，所以x24x454，所以(x2)29.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方【类型二】利用配方法解一元二次方程 用配方法解方程：x24x10.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(xm)2n(n0)的形式再用直接开平方法求解解：移项，得x24

35、x1.配方，得x24x(2)21(2)2.即(x2)23.解这个方程，得x2eq r(3).x12eq r(3)，x22eq r(3).方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式【类型三】用配方解决求值问题 已知：x24xy26y130，求eq f(x2y,x2y2)的值解：原方程可化为(x2)2(y3)20，(x2)20且(y3)20，x2且y3，原式eq f(26,13)eq f(8,13).【类型四】用配方解决证明问题 (1)用配方法证明2x24x7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式证明：(1)2x24x

36、72(x22x)72(x22x11)72(x1)2272(x1)25.2(x1)20，2(x1)255，即2x24x75，故2x24x7的值恒大于零(2)x22x3；2x22x5；3x26x8等【类型五】配方法与不等式知识的综合应用 证明关于x的方程(m28m17)x22mx10不论m为何值时，都是一元二次方程解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m28m17的值不等于0.证明：二次项系数m28m17m28m161(m4)21，又(m4)20，(m4)210，即m28m170.不论m为何值时，原方程都是一元二次方程三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将

37、方程左边配成完全平方式的过程因此需熟练掌握完全平方式的形式.21.2.1 配方法内容：配方法解一元二次方程课型：新授 学习目标：1会用开平方法解形如(x十m)n(n0)的方程2理解一元二次方程的解法配方法教学重点： 利用配方法解一元二次方程教学难点： 把一元二次方程通过配方转化为(x十m)n(n0)的形式一学前准备1用直接开平方法解方程2-8=0 -9=02完全平方公式是什么？3填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+ = (x+6)2（2）x212x+= (x )2（3）x2+8x+ = (x+ )2（4）x2+x+ = （x+ ）2（5）x2+px+ = （x+ ）2观察并思考填

38、的数与一次项的系数有怎样的关系？二、探究活动问题：下列方程能否用直接开平方法解？x2+8x9=0 x一l0 x十257； 是否先把它变成(x+m)2=n （n0）的形式再用直接开平方法求解？问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米，根据题意得:（ ）整理得( )怎样解方程X2+6X16 = 0自学教材32页1什么叫配方法？例1: 用配方法解下列方程x2-8x+1=0 2x21=3x 总结用配方法解方程的一般步骤 (1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数 (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为

39、常数项 (3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方(注：一次项系数是带符号的) (4)方程变形为(x+m)2=n的形式(5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解三自我测试1配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+=(x+6)2（2）x212x+=(x )2（3）x2+8x+=(x+ )22解下列方程3x2+3x3=0 3x2 9x2=0 2x26=7x 3将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-3 4已知x2-8x+15=0，左边化成含有

40、x的完全平方形式，其中正确的是（ ） Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 5如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或9 6下列方程中，一定有实数解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0 C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a 7方程x2+4x-5=0的解是_ 8代数式的值为0，则x的值为_ 9已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+

41、y的值为_10已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长11如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值12新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？四 学习体会本节课你有什么收获?还有什么疑问？五 应用与拓展1已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值2如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方

42、向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半212.2公式法1知道一元二次方程根的判别式的概念2会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围3经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况(1)2x23x40；(2)x2xeq f(1,4)0；(3)x2x

43、10.解析：根据根的判别式我们可以知道当b24ac0时，方程才有实数根，而b24ac2 Ba2Ca2且a1 Da2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a1不为0.即44(a1)0且a10，解得a2且a1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b24ac0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况 已知：关于x的方程2x2kx10，求证：方程有两个不相等的实数根证明：k242(1)k28，无论k取何值，k20，所以k280，即0，方程2x2kx10有两

44、个不相等的实数根方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由解：假设能围成设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10 x)，由题可得，x2(10 x)248.化简得x210 x260.因为b24ac(10)2412640，所以此方程没有实数根所以小峰的说法是对的探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】

45、用公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程：(1)2x2x60；(2)x24x2；(3)5x24x120；(4)4x24x1018x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b24ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解解：(1)这里a2，b1，c6，b24ac1242(6)14849.xeq f(br(b24ac),2a)eq f(1r(49),22)eq f(17,4)，即原方程的解是x12，x2eq f(3,2).(2)将方程化为一般形式，得x24x20.b24ac24，xeq f(4r(24),

46、2)2eq r(6).原方程的解是x12eq r(6)，x22eq r(6).(3)b24ac2240，ax2+bx+c=0（a0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0、b2-4ac=0、b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac0，有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=-441=0（0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0

47、时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根 例1不解方程，判定方程根的情况 （1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0 （3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0 分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可 解：（1）化为16x2+8x

48、+3=0 这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4163=-1280 方程有两个不相等的实根 （4）a=1，b=-7，c=-18 b2-4ac=（-7）2-41（-18）=1210 方程有两个不相等的实根 三、巩固练习 不解方程判定下列方程根的情况: （1）x2+10 x+26=0 （2）x2-x-=0 （3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+=0 （5）x2-x-=0 （6）4x2-6x=0 （7）x（2x-4）=5-8x 四、应用拓展 例2若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示） 分析：要求ax+30的解集

49、，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范围 解：关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根 （-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80 a0即ax-3 x- 所求不等式的解集为x0一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实根；b2-4ac2 Ck2且k1 Dk为一切实数 二、填空题 1已知方程x2+px+q=0有两个相等的实

50、数，则p与q的关系是_ 2不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是_（填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”） 3已知b0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）=0的根的情况是_ 三、综合提高题 1不解方程，试判定下列方程根的情况 （1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+2）x+4=0 2当c0，有两个不等实根 （2）b2-4ac=1+4+12-4-16=-30，没有实根2c0，方程有两个不等的实根3b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）20，方程有两个不相等的实根或相等的实根4设平均增长率为x，（1+x）2=

51、720000000，即50（1+x）2=72 解得x=20%，年销售总额的平均增长率是20%21.2.2 公式法 教学内容 1一元二次方程求根公式的推导过程； 2公式法的概念； 3利用公式法解一元二次方程 教学目标 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程 重难点关键 1重点：求根公式的推导和公式法的应用 2难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导 教学过程 一、复习引入 （学生活动）用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1

52、=0 （2）4x2-3x=52 （老师点评） （1）移项，得：6x2-7x=-1 二次项系数化为1，得：x2-x=- 配方，得：x2-x+（）2=-+（）2 （x-）2=x-= x1=+=1 x2=-+= （2）略 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评） （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解 二、探索新知 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的

53、两根，请同学独立完成下面这个问题 问题：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根x1=，x2= 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得：ax2+bx=-c 二次项系数化为1，得x2+x=- 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 即（x+）2= b2-4ac0且4a20 0 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当

54、b-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例1用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可 解：（1）a=2，b=-4，c=-1 b2-4ac=（-4）2-42（-1）=240 x= x1=，x2= （2）将方程化为一般形式 3x2-5x-2=0 a=3，b=-5，c=-2 b2-4

55、ac=（-5）2-43（-2）=490 x= x1=2，x2=- （3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0 a=3，b=-11，c=9 b2-4ac=（-11）2-439=130 x= x1=，x2= （3）a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=（-3）2-441=-70 因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习 教材P42 练习1（1）、（3）、（5） 四、应用拓展 例2某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题 （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程 （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在

56、，请求出 你能解决这个问题吗？ 分析：能（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）0 （2）要使它为一元一次方程，必须满足:或或 解：（1）存在根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=1 当m=1时，m+1=1+1=20 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） 当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-42（-1）=1+8=9 x= x1=，x2=- 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在根据题意，得：m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m

57、-2）=2m-1=-10 所以m=0满足题意 当m2+1=0，m不存在 当m+1=0，即m=-1时，m-2=-30 所以m=-1也满足题意 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=- 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=- 五、归纳小结 本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况 六、布置作业 1教材P45 复习巩固4 2选用作业设计: 一、选

58、择题 1用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）Ax= Bx= Cx= Dx= 2方程x2+4x+6=0的根是（ ）Ax1=，x2= Bx1=6，x2=Cx1=2，x2= Dx1=x2=- 3（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4或-2 D-4或2 二、填空题 1一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式是_，条件是_ 2当x=_时，代数式x2-8x+12的值是-4 3若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_ 三、综合提高题 1用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0 2设x1，

59、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，（1）试推导x1+x2=-，x1x2=；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值 3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费 （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？答案

60、:一、1D 2D 3C二、1x=，b2-4ac0 24 3-3三、1x=ab2（1）x1、x2是ax2+bx+c=0（a0）的两根， x1=，x2= x1+x2=-， x1x2= （2）x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0 原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2 =x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c） =03（1）超过部分电费=（90-A）=-A2+A （2）依题意，得：（80-A）=15，A1=30（舍去），A2=50212.3因式分解法1认识用因式分解法解方程的依据2会用因式分解法解一些特殊