专题九线性赋范空间与巴拿赫空间g

1、专题九线性赋范空间与巴拿赫空间g线性赋范空间与巴拿赫空间专题九 线性赋范空间与巴拿赫空间有限维线性赋范空间线性代数研究对象无限维线性赋范空间泛函分析研究对象代数构造最常用距离空间Rn, m, Ca,b, lp, Lpa,b完备性范数线性赋范空间线性空间距离线性距离空间巴拿赫空间线性运算按范数连续线性运算按距离连续几何构造线性运算距离空间线性运算按范数连续赋范空间线性运算| x | = d(x,0)线性运算按距离连续| x | = d(x,0)又都是线性空间d(x,y)=|x-y|DFB集合距离线性运算线性空间距离空间集合线性运算距离线性距离空间线性赋范空间代数构造几何构造线性运算按距离连续|

2、x | = d(x,0)d(x,y)=|x-y|完备性巴拿赫空间赋范空间范数线性运算按范数连续距离线性运算范数线性运算一、 线性空间1 线性空间及其举例定义1 设X是任一非空集合，假设K是一个数域R或C如果X对某种规定的加法和数乘两种运算封闭，且x,y,zX, ,K, 满足： 1) x+y=y+x 加法交换律2) (x+y)+z+x+(x+y) 加法结合律3) X, 使x+=x 零元素存在性4) xX,使x+x= 逆元存在性5) (x)=x=(x) 数乘结合律7) (+)x=x+x 元素对数的加法分配律8) (x+y)=x+y 数对元素的加法分配律6) 1x=x, 0 x=那么称x+y为x与y

3、的和，x为数与x的数乘 , 称X为线性空间或向量空间 (实或复)，X中的元素称为向量。 例1 欧氏空间Rn 是有限维线性空间且满足1)8)零元逆元例2 m是线性空间， lp 是线性空间证：零元逆元且满足1)8)证：例3都是无限维线性空间（或 ）按通常的函数加法与数乘运算有：（或 ）（或 ）零元故都是线性空间证：逆元且满足1)8)或（ ） （或 ）定义2 线性子空间设X是线性空间，MX，如果x,yM, ,K, 对于X中的加法和数乘运算，有x+yM, 那么称M是X的线性子空间。假设MX，那么称M为X的线性真子空间。定义3 由子集张成的线性子空间设X是线性空间，MX。定义集合L：称L为由子集MX张成

4、的线性子空间。 注：spanM是包含M的最小线性子空间。即假设L0也是包含M的线性子空间，必有2 线性子空间定义3 (有限维线性空间的基和维数) 1e1,e2,en线性无关; 2xX, x都能由e1,e2,en线性表示，即1, 2, nR, 使x=1x1+2x2+nxn那么称e1,e2,en为X的一个基底, x1,x2,xn为向量关于基底e1,e2,en的坐标。称n维线性空间X的维数，而称X为n维线性空间。并记dimX=n。注：1) 如果X=, 那么称X是零维线性空间, 这时X没有基。3 线性空间的基与维数设X是线性空间, e1,e2,enX, 如果2)xX, 它关于基底e1,e2,en的坐标

5、是唯一的。3) 任何有限维线性空间的基底都不唯一。n维线性空间中的任何n个线性无关的向量都可以作为X的基底。定义4 (无限维线性空间的基) 1e1,e2,en,线性无关; 2xX, x都能由e1,e2,en,线性表示，即1, 2, n,R, 使x=1e1+2e2+nen+那么称e1,e2,en,为X的一个基底, x1,x2,xn,为向量关于基底e1,e2,en,的坐标。也称X为无限维线性空间。设X是线性空间, e1,e2,en,X, 如果注：1任何线性空间X都有基。2对于无限维线性空间X，如果e1,e2,en,X线性无关，且X=spane1,e2,en, 那么称e1,e2,en,为X的Hame

6、l基。例4 n为欧氏空间Rn是n维线性空间。例5 Ca,b是一个无限维线性空间。1e1=1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)称为Rn的标准基或单位坐标基x=(x1,x2,xn)Rn在基e1,e2,en下的坐标位x1,x2,xn。是Rn的另一组基。函数系1,t,t2,tn,是Ca,b的一个基底。证：如果Ca,b是有限维线性空间，维数为n, 那么1,t,t2,tnCa,b线性相关 任何n+1个n维向量都线性相关。这与1,t,t2,tn对任何n都线性无关矛盾。例6 a,b区间上多项式函数的全体构成的集合Pa,b按照通常的加法和数乘是一个无限维线性空间。证：显然Pa,b是线性空间。

7、 对n, 1,t,t2,tnPa,b线性无关，故Pa,b是无限维空间。 x=x(t)Pa,b, 都能有1,t,t2,tn,线性表示，故1,t,t2,tn,是Pa,b的一个基底 。 函数系1,t,t2,tn,是Pa,b的一个基底 。 注：函数空间Pa,bCa,bLpa,b按照通常的函数运算都是无限维线性空间， 1,t,t2,tn,是他们的一个公共基底 。例7 序列空间S有限个分量不为零数列全体、有界数列空间m、p幂可和数列空间lp按照通常的数列加法和数乘运算都是无限维线性空间。他们的标准基底都是：e1=(1,0,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,0,), en=(0,0,0,1,0,.)

8、证：设 S=x=(1,2,n,)| i0,i为有限数S是一线性空间(按通常数列加法和数乘如果S是有限维线性空间，xi=(i1,i2,iN,0,0,) (i=1,2,m)使S的一个基底 那么x=(1,2,N,0,0,)S，有x=1x1+ 2x2+ mxm 即x可由x1,x2,xm线性表示。但eN+1=(0,0,0,1,0,)S种地N+1位分量0故eN+1不可能由x1x2,xm线性表示。 矛盾。故S是无限维线性空间Smlp,因此m,lp也都是无限维线性空间。4 线性同构定义4线性同构设X和Y是两个线性空间同为实的或复的。如果一个映射：XY，使得x1,x2X及 R(或C) ，成立注：1两个同构的线性

9、空间可以看作是同一的。(x1+x2)= (x1)+ (x2)， (x1)= (x1)那么称X与Y是线性同构的，也称是从X到Y的线性同构映射。2）线性无关的向量组线性无关的向量组线性同构3同构映射的逆映射仍是同构映射注：1线性空间的任意线性子空间都是凸集。5 凸集的概念定义6凸集设X为线性空间，AX。如果对x,yA, 01，有x+(1-)yA，那么称A为X中的凸集. 2任意个凸集的交仍是凸集。3如果BX，且BAi, Ai (iI)为X的一族凸集，那么定义5凸组合1 x+(1-)y 01 称为为x与y的凸组合。2 1x1+2x2+ nxn 0i1, 1+2+n=1 称为为x1,x2,xn的凸组合。

10、为包含B的最小凸集，成为B的凸包。1 范数与线性赋范空间二、线性赋范空间与巴拿赫空间定义7 2 由范数诱导的距离定义8 范数公理注：由线性度量空间构造范数使之成为赋范线性空间的方法例8 数列空间1定义1 (x,y)满足距离公理，是S上的距离函数故 S是距离空间2S按照通常数列的加法和数乘运算是线性空间3但距离函数1(x,y)不是由范数诱导的距离：事实上，当|1时，3 常见空间的范数与距离对照表(1) Rn(2) m(3) lp(4) Ca,b(5) Lpa,b例如：4 巴拿赫Banach)空间定义9 完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。因此Rn是Banach空间。定理1 设X是线性赋范空间，xn

11、、ynX, x,yX, nR, R如果n, xnx, yny, 那么有xnx, nx x, xn+ynx+y 证 n|n-|0 xnx|xn-x|0 yny|yn-y|0 |xn-x|=| |xn-x|0 xn x |nx-x|=|n-| |x|0 nxx|(xn+ yn)-(x+y) |=|(xn-x)+(yn-y)|xn-x|+|yn-y|0 xn+ynx+y5 线性赋范空间中的极限理论定义10 极限设X是线性赋范空间，xnX, xX。线性赋范空间中线性运算对范数的连续性定理2 设X是线性赋范空间，xnX, xX.1) 如果xnx, 那么|xn|有界 范数列的有界性；证 1) xnx|xn

12、-x|0|xn|xn-x|+ |x| |x| |xn|有界 如果xnx, 那么|xn|x| (范数的连续性，即|x| 是x的连续函数；2) 一方面，|xn|-|x| |xn-x| 另一方面， |xn|-|x|=|xn|-|x-xn+xn| |xn|-(|x-xn|+|xn|)=-|xn-x|因此 | |xn|-|x| |xn-x| xnx|xn-x|0| |xn|-|x| |0|xn|x| 定理3 设X是线性赋范空间，d是由范数诱导的距离，那么对x，y,z0X有.1) 平移不变性：d(x+z0, y+z0)= d(x, y)证 1) d(x+z0, y+z0)= |(x+z0 )-( y+z0

13、) |= |x- y|= d(x, y) 2) 绝对齐次性：d(x, y)=| | d(x, y)2) d(x, y)= | x-y|= | | | x-y|= | | d(x, y) 设xn 是线性赋范空间X中的点列，表达式5 线性赋范空间中的无穷级数称为X中的无穷级数称为级数的局部和。如果存在sX, 使得 |sn-s|0(n), 那么称级数收敛于s，s称 为级数的和，记为如果数项级数收敛，则称级数绝对收敛；当X是巴拿赫空间时，假设级数绝对收敛那么级数一定收敛。6 线性赋范空间中的完备化定义5线性等距同构设X1，1和X2，2是同一数域上的两个线性赋范空间。如果存在一一映射T：X1X2，满足：

14、T( x+ y)= T(x)+ T(y)， 那么称X1与X2是线性等距同构的，也称T是从X1到X2的线性等距同构映射。1线性：x,yX及，成立2等距：xX，成立 Tx2= x1 注：两个同构的线性空间可以看作是同一的。定理4完备化定理设X，是一线性赋范空间，那么必存在唯一的巴拿赫空间Y，使X与Y的一个稠密子空间Y1线性等距同构。例如，Ca,b按范数不完备，其完备化空间是L2a,b.6 线性赋范空间的根本性质定理3 线性赋范空间X中的球开或闭是凸集。证有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力工具。三、有限维线性赋范空间的特殊性质1 n维线性赋范空间的模型反映了与欧氏空间Rn的关系是Rn上的连续函

15、数。定理5 设X是n维实线性赋范空间，xX在基底e1,e2,en下的坐标 为(1,2,n), 令x =(1,2,n)，则 证 有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间的相似性)有限维线性赋范空间是研究无限维空间的有力工具。三、有限维线性赋范空间的特殊性质有限维线性赋范空间具有特殊性质(来自它与欧氏空间的相似性)1 n维线性赋范空间的模型反映了与欧氏空间Rn的关系定理1 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn在某种范数下是线性等距同构的。证 设e1,e2,en是X的一个基底， (1,2,n)Rn, xX ，也使得 X与Rn之间存在着一一对应关系T： xX ，(1,2,n)Rn, 使得1T

16、是线性同构映射：2T关于X与Rn的某种范数是等距同构映射：在Rn中定义实值函数：故 是Rn中的范数，记作 ： 则 注：任何n维线性赋范空间的模型都可以看作Rn，从而任何有限维线性赋范空间都是完备的。2 范数的等价性 定义2 等价范数 设| |1，| |2 是同一线性空间X中的两个不同的范数。如果当| |10时有| |2 0，那么称| |1比| |2更强；如果| |1比| |2更强，切| |2比| |1更强，那么称| |1与| |2等价。 定理2 范数等价的充要条件 线性空间X中的两个范数| |1与| |2等价的充要条件是：xX，存在两个正数a，b，使得3 有限维线性赋范空间的特殊性质定理3 设

17、X是n维实线性赋范空间，e1,e2,en是X的一个基底，那么 a, b0, 使对xX, 有 证 一方面另一方面是Rn中的范数，因而在Rn上非负连续在Rn中的有界闭集单位球面上有最小值a注：定理中， 定理4 范数等价性 设X是有限维线性赋范空间，那么X上的任何范数都等价。证 设| |1，| |2 是X上的任意两个范数，那么根据定理3，使| |1与| |2 等价 注：定理4说明，有限维线性赋范空间X上的任何范数的收敛性一样，因而在讨论极限时可以任意选取范数 。推论1 任意有限维线性赋范空间都是Banach空间，从而任意有限维线性赋范空间的子空间都是闭子空间。证 设X是n维线性赋范空间，xkX是柯西

18、序列，e1,e2,en是X的一个基底，映射 T : X Rn.是柯西列收敛于某X完备推论2 n维实线性赋范空间X与n维欧氏空间Rn是拓扑同胚的。证 设e1,e2,en是X的一个基底，作一一映射T：那么T是拓扑同胚映射。事实上，由定理3有T是连续映射T-1 是连续映射2T是拓扑同胚映射即T与T-1都是连续映射：X是n为线性赋范空间，M10, M20, 使T是连续映射T-1 是连续映射T是拓扑同胚映射注：在线性同构和拓扑同胚意义下，任意n维线性赋范空间都与Rn “等同。推论2 任意有限维线性赋范空间都是Banach空间，从而任意有限 维线性赋范空间的字空间都是闭子空间。证 设X是n维线性赋范空间，

19、xkX是柯西序列，e1,e2,en是 X的一个基底，映射T:XRn.是柯西列收敛于某X完备X是Banach空间X的任意子空间完备，是闭子空间。推论1证 闭集LX, LX. x1XL, 令Riesz引理是泛函分析中重要定理-在区别有限维与无限维线性赋范空间的某些特征方面起关键作用。定理4 黎斯FRiesz引理设X是线性赋范空间，LX是真闭子集 子空间，那么对 (01), x0X , 使|x0|=1, 且对xL, 有xL, 使下确界定义令X对线性运算封闭对xL, 有|x-x1 |x+xLLX对线性运算封闭xx1x0 xd定理5 X是有限维线性赋范空间X中的任意有界闭集 都是列紧集。 有限维空间的特

20、征性定理证 必要性 设X是n维线性赋范空间，T: XRn是线性 等距同构和拓扑同胚映射。T(A)=y|y=Tx,xARn是有界闭集xnATxnT(A)T(A)是列紧集TxnkTxnT(A), 使TxnkTx0T(A)Rn中有界闭集是列紧集A为列紧集A为紧集xnkx0AT拓扑同胚T与T-1均连续AX为有界闭集拓扑同胚映射性质充分性 设X中任意有界闭集是列紧集取单位球面B=x|x|=1, xXXB是列紧集假设X是无限维线性赋范空间，x1S, 令B1=spanx1B1X, B1X是一维闭子空间x2B, |x2|=1, 使Riesz引理B2X, B2X是二维闭子空间x3B, |x3|=1, 使Riesz引理 令B2=spanx1,x2xiB, |xi|=1, 使 xi无收敛子序列 。这与B是紧集矛盾。X是有限维线性赋范空间。推论3 有限维线性赋范空间中的单位球面是列紧集。推论4 在有限维线性赋范空间中，紧集有界闭集。推