专题8.1 锐角三角函数-解析版

1、2021年中考安徽精选考点专项突破题集专题8.1锐角三角函数一、单选题(共40分)1(本题4分)（2021西安市陕西师大附中九年级期末）如图，已知网格中小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则sinAOB的值是（）2B5CA151010D105过点B作BDAO于D，过点O作OCAB于C由SABO=1【答案】C【分析】1AOBD=ABCO，求出BD，然后在22RtBDO中，利用正弦函数的定义即可求出sinAOB的值【详解】解：过点B作BDAO于D，过点O作OCAB于C1/41AB2，BC2ACABBC224,又OC2BOSABO=BC2OC2222222，AOAC2OC242222511

2、AOBD=ABCO，22AOBD=ABCO，BDABCOAO2225255，sinAOB510在RtBDO中，BDO=90，BD25BDBO2210255，BO22，故选：C【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键2/41eqoac(,，)2(本题4分)（2021广西贺州市九年级期末）在RtABC中，C=90sin的长度为（）A3cmB4cmC5cmD6cm35，AC=8cm，则BC解：sinA=BC【答案】D【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解【详解】3，AB

3、5设BC=3x，AB=5x，又AC2+BC2=AB2，82+（3x）2=（5x）2，解得：x=2或x=2（舍），则BC=3x=6cm，故选：D【点睛】本题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是关键3(本题4分)（2021昭通市昭阳区第一中学九年级二模）如图，ABC中，ABAC4，AEeqoac(,AC)，DE垂直平分AB于点D，则EC的长为（）3/41B83A233C22D32【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AEBE，由等腰三角形的性质得到BBAE，根据三角形的外角的性质得到AECBBAE2B，求得C30，根据三角函数的定义即可得到结论【详解】解：DE垂直平分

4、AB于点D，AEBE，BBAE，AECBBAE2B，ABAC，AEC2C，AEAC，EAC90，C30，CEACcos3043=8233故选：B【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及含30角的直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用4/414(本题4分)（2021重庆梁平区九年级期末）在RtABC中，C90，若cosABC12cm，则AC的长度为（）A3cmB4cmC5cmD6cm【答案】C【分析】5AC根据cosA=设AC=5k，AB=13k，利用勾股定理求得k值即可解答13AB【详解】解：C90，cosA5，13513，cosA5AC=，13AB设AC

5、=5k，AB=13k，由勾股定理得：（5k）2+122=(13k)2，解得：k=1，即AC=5cm，故选：C【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义，巧妙设参求解是解答的关键5(本题4分)（2021四川达州市达州中学九年级月考）如图，在矩形ABCD中，点F是CD上一点，连结BF，然后沿着BF将矩形对折，使点C恰好落在AD边上的E处若AE：ED=4：1，则tanEFB的值为（）5/41B3C1A43D3【答案】B【分析】由四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，AB=DC，由AE：ED=4：1，可得AD：AE：ED=5:4:1，设ED=x,AD=CB=5x,AE=4x，由沿

6、着BF将矩形对折，可得BE=BC=5x，EF=CF，在RtABE中，由勾股定理ABBE2AE23x，可得CD=AB=3x，设FE=m，DF=3xm，在RtDEF中，由勾股定理DE2DF2EF2，即x23xm2m2，解得m【详解】解：四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，AE：ED=4：1，AD：AE：ED=5:4:1，设ED=x,AD=CB=5x,AE=4x，沿着BF将矩形对折，BE=BC=5x，EF=CF，5BEx，可求tanEFB=33EF在RtABE中，由勾股定理ABBE2AE25x24x23x，CD=AB=3x，设FE=m，DF=3xm，在RtDEF中，由勾股定理DE2DF2E

7、F2，即x23xm2m2，解得m53x，6/41tanEFB=EF5，BE5x3x3故选择：B【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握矩形性质，轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键6(本题4分)（2021西安市铁一中学九年级三模）如图，点D是ABC外接圆上一点，eqoac(,DE)AB，垂足为E已知ACB120，AB5，则DE的最大值为（）2C4A23B53D8【答案】B【分析】根据点D是ABC外接圆上一点，ACB120，可得ADB60，则当DE的值最大时，DE经过ABC外接圆的圆心，并ABD是等边三角形，据此求解即可【详解】解：点D是ABC外接圆上一点，AC

8、B120，ADB60，DEAB7/41当DE的值最大时，DE经过ABC外接圆的圆心，如图示，AE5DEAEtan3032，则DE垂直平分AB，并ABD是等边三角形，ADE30，AB5，2，52533故选：B【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，利用正切求边长，熟悉相关性质是解题的关键7(本题4分)（2021全国九年级课时练习）如果2sin2A7sinA30，那么A（A30B45C60D90【答案】A【分析】）8/41利用因式分解法求出sinA的值，再根据0sinA1可得最终结果【详解】解：原方程可化为：sinA32sinA10，解得：sinA3或sinA0sinA1，12，sinA12，则

9、A30，故选：A【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程以及锐角三角函数的定义，熟记正弦的取值范围是解此题的关键8(本题4分)（2020河南洛阳市九年级期末）在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1000m的C地去，先沿北偏东70方向到达B地，然后再沿北偏西20方向走了500m到达目的地C，此时小霞在营地A的（）A北偏东20方向上C北偏东40方向上B北偏东30方向上D北偏西30方向上【答案】C【分析】.利用方位角的定义及已知转向的角度结合三角函数的知识进行解答即可9/41【详解】解：如图：由题意得：BAD=70，EBC=20，又BAF=90DAB=9070=20，1=9020

10、=70，ABC=1801CBE=1807020=90.AC=1000m，BC=500m，sinCAB=5001000=12，CAB=30，DAC=BADCAB=40.故小霞在营地A的北偏东40方向上.故答案为C.【点睛】.本题考查了方位角的计算，解答本题的关键是从运动的角度、再结合三角函数的知识求解eqoac(,，)9(本题4分)（2019浙江宁波市九年级一模）如图，在RtABC中，ACB=90DE是ABC的中位线，连结CD下列各组线段的比值一定与cosA相等的是（）10/41ADBDEAECCEBDDCEcosAcosDCECEADEBC【答案】C【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角

11、三角形斜边上的中线性质即可求出答案【详解】ED是ABC的中位线点D、E分别是AB、AC的中点ACB90CDBDADADCECECDBD故选：C【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型11/4110(本题4分)（2020重庆市万州第二高级中学九年级期中）如图，ABC中，BAC90,AB3,AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得AED，连接CE，则点E到BC的距离为（）5C54D2A168125B7【答案】A【分析】连接BE交AD于O，作AHBC于H，过E作EFBC，垂足为F,先运用勾股定理求得BC的长，再证

12、明AD垂直平分线段BE、BCE是直角三角形，进而求出BC、BE，然后再RtBCE中，利用勾股定理求得EC，然后再运用三角函数列方程求解即可【详解】解：如图：连接BE交AD于O，作AHBC于H，过E作EFBC，垂足为FABC中，BAC90,AB3,AC4BCAC2BC24232512/41点D是BC的中点CD=BD=15BC=22AD=DC=DB=5211BCAH=ABAC22AH=125AE=AB,DE=DB=DCAD垂直平分线段BE,BCE是直角三角形ECBCBE511ADBO=BDAH2212OB=5BE=2OB=245222242575sinECB=EF5，解得EF=75125BEECB

13、C24EF1685故选：A【点睛】本题考查了直角三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角函数的应用，考查知识点较多，提升了试题的难度，灵活运用所学知识成为解答本题的关键13/41二、填空题(共20分)11(本题5分)（2021全国九年级单元测试）如图，已知半eqoac(,O)的直径AB为3，弦AC与弦BD交于点E，ODeqoac(,AC)，垂足为点F，ACBD，则弦AC的长为_【答案】332【分析】由ACBD知ADCDCDBC，得ADBC，根据ODAC知ADCD，从而得ADCDBC，即可知AODDOCBOC60，利用AFAOsinAOF可得答案【详解】解：ODAC，ADCD，AFO90，又ACB

14、DACBD，即ADCDCDBC，ADBC，ADCDBC，AODDOCBOC60，14/41AB3，AOBO=3，2AFAOsinAOF=3333224，则AC2AF332；故答案为：332【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型12(本题5分)（2021湖北十堰市九年级一模）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度为_（结果保留小数点后两位，31.732）【答案】1.29m【分析】在RtCEA中，利用等腰直角三角形的性质可计算出AE的长度，并由已知得到FA的长度；在RtBDF中利用30度的正切可计算出B

15、F的长度，然后利用AB=BFFA可得解15/41【详解】解：如图，在RtCEA中，ECA=45，EAC=45=ECA，EA=CE=5m，FA=EAEF=53.4=1.6m，在RtBDF中，tanBDF=BF，DFBF=DFtan30535333m，1.6AB=BFFA=5351.7321.61.2861.29m，33故答案为：1.29m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为16/41解直角三角形问题）13(本题5分)（2021浙江九年级其他模拟）如图，已知AD是BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交BAC和角平分线于C，D两点过D

16、向AC作垂线DE垂足为点E若DE2CE4，则直径AB_【答案】10【分析】连接CD、OD、OC、BD，运用勾股定理求得CD的长,再证明DE是圆O的切线，运用全等三角形的判定与性质以及余角的性质得出CDE=BAD,易得BD=CD，然后再根据正切函数求得AD，最后根据勾股定理解答即可【详解】解：如图：连接CD、OD、OC、BDAEDE,DE2CE4CD=224225OA=ODOAD=ODABOD=OAD+ODA=2OAD17/41AD=tanCDE=CEtanBAD=BDODA=OADEAD=ODAOD/AEODDE，即DE是圆O的切线CDE+ODC=90AB是直径BAD+B=90在BOD和DOC

17、中OC=OB,DO=DO,BD=CDBODDOCODC=OBDCDE=BADBAD=DACCOD=BODBD=CD=25DEAD=45AB=AD2BD210故填1012,18/41【点睛】本题主要考查了三角形的性质、圆的切线的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键14(本题5分)（2021邢台市第六中学九年级二模）如图1，在ABC中，ABAC，BC24，tanC5，点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为_如图2，连接AP，作12APQ，使得APQB，PQ交AC于Q，则当BP11时，AQ的长为_【答案】52【分析】根据等腰三角形的三线合一性作BC边上的高

18、AM，再根据三角函数值求出AM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长；，根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求eqoac(,，)出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证APQ相似于ACP即可得到AQ长；19/41【详解】2BC=12，AM=BMtanB=125解如图1，过点A作AMBCeqoac(,，)垂足为M，AB=ACeqoac(,，)AMBC，BM=MC=1又tanC=512tanB=51212=5，根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5；AB=AC=AM2BM2=13，如图2，过点A作

19、ANBCeqoac(,，)在RtAPN中，PN=PCCN=1，又AN=5，AP2=PN2+AN2=26，在APQeqoac(,与)ACP中，eqoac(,，)eqoac(,，)eqoac(,)APQ=CPAQ=CAPeqoac(,，)eqoac(,)APQACP20/41APACAQAPAP2=AQAC，AQ=2故答案为：5；2【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键三、解答题(共90分)1532sin3015(本题8分)（2021南通市启秀中学九年级月考）（1

20、）计算：03822a2a21（a1）（2）先化简，然后a在1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求a1a22a1值【答案】（1）2；（2）a3a1，5153=1，sin30=1，8=2，2=2，据此解题；【分析】（1）根据零指数幂、30角的正弦值、立方根、负数的绝对值等性质，得到032（2）利用分式的乘除法性质，结合提公因式法、平方差公式、完全平方公式等进行化简，再利用分式有意义的条件，选值代入即可解题【详解】21/411532sin30解：（1）03821=1+22222；2a2a21（2）(a1)a1a22a12(a1)1(a1)(a1)a1a1(a1)22a1a1a12a1a1a3a1a

21、1且a1a2当a2时，原式a3a123215【点睛】本题考查实数的混合运算、分式的化简求值、分式有意义的条件、正弦、零指数幂、绝对值、立方根、因22/41式分解等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键16(本题8分)（2021上海闵行区九年级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，联结AC，3AB5,BC7,cosB5（1）求ACB的度数（2）求sinACD的值【答案】（1）45；（2）7210【分析】（1）过点A作AEBC，由余弦的定义解得BE3，CE4，再由勾股定理解得AE4，最后根据正切定义解题即可；BE（2）过点A作AFCD，由等积法解得AF由正弦定义解题即可【详解】解：（

22、1）过点A作AEBC，AB5,cosB353AB5285，RtAEC中，利用勾股定理解得AC42，最后23/41BE3AEAB2BE252324BC7CE734RtACE中CEtanACEAE441ACBACE45；（2）过点A作AFCD，如图，四边形ABCD是平行四边形，BCAECDAFCD745AFBCAERtAEC中，28524/41sinACD5ACAE2EC242424228AF72AC4210【点睛】本题考查平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键17(本题8分)（2020安徽淮北市九年级期末）如图，已知AB是O的直

23、径，弦CDAB于点E，AC42，BC2（1）求sinABC；（2）求CD的长【答案】（1）sinABC2282；（2）33【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90解得ACB90，再由勾股定理解得AB的长，继而根据正弦定义解题即可；（2）由垂径定理得到CEDE，再结合三角形面积公式解题【详解】25/41解：（1）AB是O的直径，AC42，BC2，ACB90，AB2AC2BC236，AB6，sinABC223；由三角形的面积公式得:1（2）CDAB，CEDE，1ACBCABCE,22CE423，CD2CE823【点睛】本题考查勾股定理、垂径定理、三角形面积公式、正弦等知识，是重要考点，难度较易，掌

24、握相关知识是解题关键18(本题8分)（2020安徽六安市九年级期末）如图，在RtABC中，C90，D是BC边上一点，AC2，CD1，设CAD（1）求cos的值；（2）若BCAD，求BD的长26/41【答案】（1）cos255；（2）3【分析】（1）在直角ACD中根据勾股定理求得斜边AD=5，然后由余弦三角函数的定义进行解题；（2）由B的正切三角函数值可以求得BC的长度，然后根据BD=BCCD即可求解【详解】解：在eqoac(,Rt)ACD中，AC2，DC1，ADAC2CD25（1）cosAC225AD55；（2）在RtABC中，tanBAC21，即tan，BCBC2BC4，BDBCCD413【

25、点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理此题需要熟记锐角三角函数的定义19(本题10分)（2020广州市华师附中番禺学校九年级月考）如图，半圆的直径AB10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），过点C、D分别作eqoac(,CE)CD，DFeqoac(,CD)，交AB于点E、F（1）尺规作图：找出半圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接OC，若EOC45，求线段EF的长27/417【答案】（1）见解析；（2）302【分析】（1）作线段CD的垂直平分线MN，MN交AB于点O，点O即为所求；（2）如图，设MN交CD于K，连接OC，过点E作EHOC于H

26、，证明OHEH，EHCH3m，CH4m，则OHEH3m，构建方程求解即可【详解】解：（1）如图，点O即为所求34，设EH（2）如图，设MN交CD于K，连接OC，过点E作EHOC于H，28/41ECCD，FDCD，OKCD，CE/OK/DF，CKDK，OEOF，EOH45，EHO90，EOHOEH45，OHHE，在RtOCK中，OKC90，OC5，CK3，OKOC2CK24，tanCOKCKOK34，tanECOtanCOK3EHm5HEOH15EC/OK，ECOCOK，4，3CH4，设EH3m，CH4m，则OHEH3m，3m+4m5，7，7，29/41OE2OH1527，EF2OE3027【点

27、睛】本题考查尺规作图线段的垂直平分线、等边对等角、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键20(本题10分)（2020四川成都市成都七中九年级月考）如图，某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1:3（即AB:BC1:3），且B、C、E三点在同一条直线上（1）求斜坡AC的长；（2）请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）【答案】（1）AC6米；（2）树高为9米【分析】（1）过点A作AFDE于F，构造矩

28、形ABEF，设DEx，在RtCDE中，利用正切定义解得CE3x，在RtABC中，由正切定义解得BC33，利用勾股定理解得AC6；330/41（2）在RtAFD中，设DEx，DFDEEFx3，由正切定义解得AF3(x3)，结合线段和差AFBEBCCE解题即可【详解】解：（1）如图，过点A作AFDE于F，则四边形ABEF为矩形，AFBE,EFAB3米，设DEx，tan603x，在RtCDE中，CEDE3在RtABC中，tanACBABBC，tan30=ABBCABBC13，AB3，BC33，ACAB2BC232(33)26（米）；（2）在RtAFD中，DFDEEFx3，31/41AFx33(x3)

29、，tan30AFBEBCCE，3(x3)333x，3解得x9，答：树高为9米【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键21(本题12分)（2021全国九年级）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=3，以点A为圆心，AB为半径的弧交CD于点E（1eqoac(,）求)AED的度数（2）求扇形ABE的面积【答案】（1）30；（2）3【分析】（1）根据矩形的性质可得D90，ADBC3，由AEAB6，可利用特殊角的三角函数求解AED的度数；（2）由AED的度数可得EAB的度数，则可利用扇形面积公式求解结果32/41【详解】解：（1）四边形A

30、BCD是矩形，BC=3，D90，ADBC3，AB6，AEAB6，sinAED12AED30（2）四边形ABCD是矩形，ABeqoac(,DE)EABAED30扇形ABE3S3062360【点睛】本题考查了矩形性质的应用，掌握矩形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键22(本题12分)（2020广东九年级一模）如图，在三角形ABC中，ABAC10,BC103（1）用尺规作图作BC边上的高AD（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）求BAC的度数33/41【答案】（1）见解析；（2）120【分析】（1）作BC的垂直平分线即可；（2）根据等腰三角形的知识点得到BD，在根据三角函数进行判断即可；【详解】

31、解：1如图所示：2BC53，AB2ABAC,AD是BC边上的高，BDCD1BAC2BAD,在直角三角形ABD中cosBBDB30,BAD60,BAC2BAD120531032,34/41【点睛】本题主要考查了垂线的尺规作图，利用三角函数值求解是关键23(本题14分)（2020苏州市金阊实验中学校九年级期中）如图，已知抛物线yax2bxca0与y轴相交于点A0,1，与x轴分别交于点B3,0和点C，且ACB45（1）求抛物线解析式；（2）设D是抛物线上的一点，若eqoac(,S)4ABD3eqoac(,S)ABC，求点D的横坐标；【答案】（1）y1x2x1；（2）点D的横坐标为或；（3）当BCE2

32、ABC时，点E的坐标为,321或,（3）抛物线上是否存在一点E，使得BCE2ABC，若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由232132133222175416416【分析】（1）由题意易得OC=OA=1，则点C1,0，然后可设抛物线解析式为yax1x3，进而把点A的坐标代入求解即可；35/41（2）如图，过点D作DHy轴，交AB于点H，由（1）及题意可得CB=4，OA=1，则有ABCCBOA2，可得eqoac(,S)ABDeqoac(,S)ABC，代入A、B坐标求解直线AB的解析式为S133242yx1，然后设点Da,a2a1，则点Ha,a1，进而可得DHa2a，最1213331133后根据铅垂法可求解；（3）如图，过点E作EDx轴于点D，作CG平分BCE交ED于点G，过点G作GHCE于点H，由，设点Em,m2m1，（1）及题意可得OB=3，OA=OC=1，则有tanGCDtanABC123313则DCm1，EDm2m1，GHDGCDtanGCDm1，然后由121333GHECDE可得HE112m2m1，进而分当点E在x轴上方时和当点E在x轴下方时，然333后求解即可【详解】解：（1）点A0,1，OA1，ACB45，OC=OA=1，点C1,