专题47 整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心

1、1下列函数周期为，又在0,上单调递增的是（）专题47整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心一、多选题4Aysin2x6BysinxCycos|2x|4Dy|tanx|【答案】BD【分析】的单调区间，再判断；选项B.由ysinx在上单调递增，在选项A.求出函数ysin2x6k,k,kZ上单调递减，求出ysinx42的单调区间，再判断；选项C，由2k2x2k，kZ，求出单调区间再判断，选项D当x0,时，y|tanx|tanx在上单调4递增,可判断.【详解】选项A.由2k22x62k2,kZ则k3xk6,kZ，当k0时，3x6所以ysin2x6在0,上单调递增，在，上单调递减，故A不正确.6

2、64ysinx在k,k,kZ上单调递增，在k,k,kZ上单调递减.选项B.由222，kZ，得k4，kZ由kx4k4xk所以ysinx4在在0,上单调递增，故B正确.4选项C.ycos|2x|cos2x，由2k2x2k，kZ则kxk，kZ2ycos|2x|cos2x在0，上单调递减，所以在0,单调递减，故C不正确.所以24选项D.当x0,时，y|tanx|tanx在上单调递增,故D正确.4故选：BD2下列命题正确的是（）A若f(3x)4xlog32，则f(2)f(4)f(28)1802B函数f(x)tan2x的对称中心是(k,0)（kZ）2C“xR，x3x210”的否定是“xR，x3x210”D

3、设常数使方程sinx3cosx在闭区间0,2上恰有三个解x，x，x，则xxx12312373设常数使方程sinx3cosx化为2sin(x)，在闭区间0,2上恰有三个解【答案】CD【分析】求出函数的解析式，然后求出数列的和判断A，直接求函数对称中心判断B，通过存在量词命题的否定判断C，解出三个零点，求出和，判断D.【详解】若f(3x)4xlog2324log23x2，令3xt，可得f(t)4log2t2，f(2)f(4)f(28)4log228log2212log2222216log2220log2224log2228log2232log2222222160180所以A不正确函数f(x)tan

4、2x的对称中心是(k,0)（kZ），所以B不正确4“xR，x3x210”的否定是“xR，x3x210”；满足特称命题的否定形式，所以C正确33，x2，则xxxx0，x12312373所以D正确故选：CD(xR)有下列命题，其中正确的是（）3关于函数f(x)4sin2x3Ayf(x)的表达式可改写为f(x)4cos2x6Byf(x)是以2为最小正周期的周期函数；yfx的图像关于点,0对称；C6Dyfx的图像关于直线x6对称【答案】AC【分析】首先利用诱导公式化简可得A选项正确；可判断函数的最小正周期为，计算函数yfx的对称中心及对称轴，可判断C选项正确.【详解】4sin(2x)4cos(2x)，

5、故A正确；对B，yf(x)的最对A，f(x)4sin2x3626,0kZ，当k0时，对称中心为,0，故C正确；对D，yfx的对称轴为662小正周期为，故B错误；对C，yfx的对称中心为kx12+kkZ，故D错误.2故选：AC.4若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移128个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（）Ag(x)的最小正周期为Bg(x)在区间0，上单调递减2Cx=12是函数g(x)的对称轴Dg(x)在1，上的最小值为66212)的图象向左平移【答案】AD【分析】函数f(x)=cos(2x+8个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、12)

6、的图象向左平移g(x)cos2xcos2x，最812对称轴等.【详解】函数f(x)=cos(2x+小正周期为，A正确；个单位长度后得832k2x32k(kZ)k(kZ)为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为,k6x363，故B错；令2x3k，得xk,kZ，故C错；62x，2x0,cos(2x),1，故D对26633故选：AD，1325已知函数f(x)2sinx的图象可由函数g(x)Acos(x)A0,0,|2的图象先向左平移6个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到，则函数g(x)图象的对称A,06CD,0,03中心不可能是（）12【答案】ACD【分析】B,0根据三

7、角函数的图像变换得到g(x)2sin(2x【详解】3)，然后解出方程2x3k可得答案.将函数f(x)2sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到y2sin2x的图象12(纵坐标不变)再将所得图象向右平移个单位长度，得到g(x)2sin(2x)63令2x3k(kZ)，则xk(kZ)26故选：ACD6如图是函数f(x)Asin(x)(A0,0,|)的部分图象，则下列说法正确的是（）A2B,0是函数，fx的一个对称中心6D函数fx在区间,C2345上是减函数fx2sin2x3【答案】ACD【分析】根据函数图像得函数解析式为2，进而判断函数图像性质.由题知，A2，函数fx的最小正周期T2，所以2，故

8、A正确；【详解】11521212T因为f2sin22sin2，所以1261211111142，kZ，又|，所以，故C正确；2k33112k62，kZ，解得fx2sin2x32sin30，所以,0不f2sin2函数2，因为266336令2m是函数fx的一个对称中心，故B错误；2352x2m，mZ，得mxmx，mZ，当m1时，2321212fx在区间,，因为,13751212x,，所以函数121245上是减函数，故D正确故选：ACD【点睛】已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由2T即可求出；确定时，若能求出

9、离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.二、单选题7己知函数f(x)sin(x)(0，g(x)fx是偶函数.关于函数f(x)给出下列命题：122)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2，且函数函数f(x)的图象关于直线x512轴对称；,0中心对称；函数f(x)的图象关于点6函数f(x)在7312,上单调递减；把函数ysinx的图象上所有点的横坐标变为原来的即可得到函数yf(x)的图象.其中真

10、命题共有（）个1，然后再将所得的图象向左平移个单位长度，23A1【答案】B【分析】B2C0D4，则有T，根据求出2，结合函数g(x)fx是偶函数根据已知题意可知T2T2212xsin2x，再利用正弦函数的图象和性质就能判断各个还可得到的值；由上述分析可得函数f命题的真假，从而得解.【详解】3因为函数f(x)sin(x)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T，解得T，22因为，所以2，则fxsin2x，fxsin2xsin2x，是偶函数，12因为函数g(x)fx2T612122，kZ，所以6k因为2，所以3，fxsin2x3所以函数，3令2x所以x122k，kZ，k，kZ，故错误；，kZ，

11、当k0时，对称点为,0，故正确；k可知函数图象的对称点为因为2xk，kZ，30266令2x2k,2k，kZ，解得xk，k373221212，kZ，所以函数f(x)在,当k0时，x771212312上单调递减，故正确；把函数ysinx的图象上所有点的横坐标变为原来的1，解析式变为ysin2x，2ysin2xsin2x，得不到函数3然后再将图象向左平移个单位长度后，解析式变为233yf(x)的图象，故错误.综上，是真命题.故选：B.【点睛】.关键点睛：本题是一道有关三角函数的题目，掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键8设函数fx3cos2x2sinxcosx，给出下列结论：fx的最小正周期为fx在

12、,单调递减yfx的图像关于直线x12对称263把函数y2cos2x的图象上所有点向右平移其中所有正确结论的编号是（）.12个单位长度，可得到函数yfx的图象.ABCD根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得fx2sin(2x)，根据T2调减区间，从而可得在区间,上先减后增，即可判断；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公【答案】C【分析】3求出最小正周期即可判断；利用整体代入法求出yfx的对称轴，即可判断；利用整体代入法求出yfx的单63式化简，即可求出平移后函数，从而可判断.【详解】解：函数fx3cos2x2sinxcosx3cos2xsin2x2sin(2x3)，2所以fx的最小正周

13、期为T2即：fx2sin(2x)，32，故正确；3令2x2k,kZ，解得：x12k2,kZ，当k0时，则直线x12为yfx的对称轴，故正确；37令2k2x2k,kZ，解得：kx2321212k,kZ，fx的单调递减区间为：k,k,kZ，所以71212当k0时，fx的一个单调递减区间为,，,6126312127228则区间上单调递减，故在区间71212上先减后增，故错误；把函数y2cos2x的图象上所有点向右平移个单位长度，得到y2cos2x2cos2x2cos2x126323122sin(2x)即平移后得到函数yfx的图象，故正确.所以所有正确结论的编号是：.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题

14、考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.29已知函数f(x)Asin(x)A0,0,|的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）函数yf(x)的图象关于点,0对称6函数yf(x)的图象关于直线x512对称2函数yf(x)在63,单调递减该图象向右平移A【答案】A【分析】3个单位可得y2sin2x的图象BCD由函数的图象可得A2，周期T4根据f(x)的图象及三角函数图像和性质，解得函数f(x)的解析式，得到f(x)2sin(2x角函数的图像和性质逐一判

15、定即可.【详解】3123)，再结合三时函数取得最大值，即f2sin22，1212所以当x12222，T所以2122k(kZ)，则2k23，又|，得，23故函数f(x)2sin(2x)，3时，f(对于，当x6)2sin(2()0，正确；663555对于，当x时，f()2sin(2()2，正确；121212337对于，令2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，2321212所以函数的单调递减区间为k,k,k(kZ)，(kZ)，所以不正确；12,k72712361212对于，向右平移3个单位，f(x)2sin(2(x)2sin(2x)，所以不正确；3333故选：A.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法

16、:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.yAsin(x)bA0,0,|210已知函数的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,3，,0，则函数fx的单调增区间为（918）A2k,，kZ,，kZ2k2k23939B342k939C2k18318D2k,，kZ,，kZ32k7372k18318【答案】A【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出

17、f(x)的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间.【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,3，,0，A3，b0918且122T，可得T，4918323，Ty3sin(3x)将2,3代入可得y3sin(3x)3，9可得22k,kZ，且，322，6可得f(x)3sin(3x6)，2k3x令2622k,kZ，222可得kxk+，3939故选：A.【点睛】方法点睛：根据图像求函数f(x)Asin(x)k的解析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A和k，根据横坐标可求出周期T，进而求出.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法

18、求复合函数的单调区间.11已知函数f(x)2sinx的图像可由函数g(x)Acos(x)(A0，0，|2)的图像先向左平移6个单位长度，然后将每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到，则函数g(x)图像的对B(，C(，称中心可能是（）0)A(，120)60)4D(，0)3【答案】B【分析】根据三角函数的平移伸缩变换方式求出g(x)2sin(2x【详解】3)，再令2x3k(kZ)即可求解.将函数f(x)2sinx图像上所有点的横坐标缩短到原来的得到y2sin2x的图像，12(纵坐标不变)，再将所得图像向右平移个单位长度，得到g(x)2sin(2x)，63令2x3k(kZ)，则xk(kZ)

19、，2612对于函数fx2sin3x(xR)，有以下四种说法：故选：B.142函数的最小值是32图象的对称轴是直线xk(kZ)312,0(kZ)312k图象的对称中心为函数在区间712,3上单调递增其中正确的说法的个数是（）A1B2C3D4【答案】B【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误【详解】fx2sin3x(xR)，函数14212，函数fx取得最小值为21当3x4=2时，即x=13，故正确；22k时，即x=,kZ，函数fx的图象的对称轴是直线x=,kZ，故当3x4212kk31234k时，即x,kZ，函数fx的图象的对称中心为,kZ，故错误；当3x

20、错误；12kk13123222k3x2k，即x,kZ，函数fx的递增区间为当432k52k2123123,kZ，2k52k123123k1时，fx的递增区间为,，故正确.当7124fx2sin3x(xR)的递增区间转化为ysin3x424故选：B【点睛】关键点点睛：函数1的递减区间.13函数f(x)1sin3x3的单调递增区间为（）kk(kZ)AB2k2k(kZ)6323,6,323Ckk(kZ)2k2k(kZ)D6,3636363,f(x)tsin3x和y复合而成，因为y是单调递减函数，所以函数【答案】B【分析】1sin3x3是由1t1t33f(x)1sin3x3的单调递增区间也即是求tsi

21、n3x的单调递减区间，由22k3x322kkZ即可求解.令tsin3x，则y，因为y是单调递减函数，【详解】1t31t3所以函数f(x)1sin3x3的单调递增区间也即是求tsin3x的单调递减区间，令22k3x322kkZ，x解得：2k2kkZ，6323所以函数f(x)的单调递增区间为,(kZ)，1sin3x362k2k323是由tsin3x和y复合而成，因为y是单调关键点点睛：本题的关键点是f(x)故选：B【点睛】1sin3x1t1t333递减函数，所以函数f(x)性质即可求解.1sin3x3的单调递增区间也即是求tsin3x的单调递减区间，利用三角函数的14函数y3sin2x1图象的一条

22、对称轴方程是（）66CxAx12Bx3Dx2【答案】C【分析】由正弦函数的性质，应用整体代入法其对称轴为2x即可知正确选项.【详解】62k，可求对称轴方程，结合选项讨论k值由2x62k，kZ，3xk，当k0时，x，23故函数y3sin2x1图象的一条对称轴方程是x63故选：C.，15已知函数f(x)sin3x1，则f(x)的图像的一条对称轴方程是（）6Ax9Bx6Cx3Dx2【答案】A【分析】本题可根据正弦函数的对称轴的相关性质即可得出结果.【详解】6k令3xkZ，则x2kkZ，39当k0时，x9，故函数f(x)的图像的一条对称轴方程是x故选：A.9，16函数fxsinx6A,22在下列哪个区

23、间内是减函数（）B,03D2C,223,32【答案】D【分析】令22kx6322kkZ，求出函数fx的减区间，通过对k赋值可得出结果.22kx2kkZ，解得2kx2kkZ，【详解】令634233fx的单调递减区间为2k,2kkZ，所以，函数433k0时，函数fx的一个单调递减区间为,，当43324,而2333fx在区间,，所以，函数223内为减函数.故选：D.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsinx形式，再求yAsinx的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysinx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、解答

24、题17已知函数f(x)2sin(2x),x（1）当0,时，求f(x)的值域和单调减区间；623对称，且(0,)，求的值【答案】（1）f(x)的值域为1,2，单调减区间为，（2）若f(x)关于x【分析】62；（2）56，则sin2x，可得值域，由71（1）由条件可得2x66662122x2k62k32,kZ可得答案.3对称，则2（2）由f(x)关于x3k2,kZ可得答案.时，f(x)2sin(2x)【详解】（1）当66，则sin2xx0,时，2x，1当26667162所以f(x)1,222x由2k62k32,kZ2k32x2k43,kZ2所以kxk63,kZx0,，则k0时，x，即此时减区间为，

25、由226362,x0,时，f(x)的值域为1,2，单调减区间为，；所以当62623对称，则2（2）由f(x)关于x3k2,kZ即k6,kZ，又(0,)，所以56【点睛】7关键点睛：本题考查三角函数的值域、单调性和对称性等性质，解答本题的关键是由2x，666，根据f(x)关于x1得出sin2x1对称，得到2k62332,kZ，属于中档题.18已知函数fxcos2x23sin2x3，xR.6（1）求fx的最小正周期和单调递增区间；fx在区间,上的最大值和最小值.（2）求44【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为k5kZ；（2）最大值为，最小值为,k112122（1）先将函数恒等变换，化为f(x

26、)sin2x32得最小正周期为，再利用整体代换的1.【分析】方法，解不等式，求得单调递增区间；，由T2fx在区间,上单调递减，,（2）由（1）可知412124上单调递增，即可求得在该区间的最小值为f1，再求出两个端点值f和f，经过比较可知最大值为.1214211422解：fxcos2xcos1sin2x【详解】sin2xsin23sin2x366cos2x31sin2x31cos2x3223sin2xcos2x223（1）T2，所以fx的最小正周期为.2由2x2k,2k322，kZxk5，kZ可得,k1212fx的单调递增区间为k5,k1212kZ；fx在区间,（2）因为412上单调递减，在区

27、间124,上单调递增，又f，f1，f.14212142fx在区间,上的最大值为1，最小值为-1.所以442fxsin2x，再利用整体代换的思想【点睛】关键点点睛：本题的关键是对所给函数进行恒等变换，得到3（1）求sin()，tan的值：（2）若函数f(x)sin(x)(01)的图象关于直线x求得单调区间.19在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴垂合，它的终边13过点P,2223对称，求函数f(x)的单调增区间【答案】（1）33；23.（2）4k,kZ3,4k73【分析】（1）利用三角函数的定义求出sin，cos，再利用诱导公式即可求解.3)，由函数图象关于

28、直线x（2）由（1）可得f(x)sin(x3对称，可得33k2,kZ，01，求出，再根据正弦的单调递减区间2k2,2k3结合2，整体代入即可求解.【详解】（1）根据题意可得sin321，cos，2所以sin()sin32，sincos2cos3tan.2sin32（2）由（1）可得f(x)sin(x43)(01)，即f(x)sin(x4)sin(x)，33因为函数f(x)sin(x3)(01)的图象关于直线x3对称，所以33k2,kZ，11所以3k，又因为01，所以221所以f(x)sin(x)，23，13所以2kx2k2232,kZ，7解得4kx4k33,kZ，所以函数f(x)的单调增区间为

29、4k3,4k73,kZ20己知函数f(x)Asinx3Acosx(A0,0)，其部分图象如图所示【答案】（1）A1，2；（2）0,.1212和（1）求A和的值；（2）求函数yfx在0,的单调增区间7【分析】（1）根据辅助角公式和两角和的正弦公式化简得f(x)2Asinx，由函数图象可知fx的最大3值为2，可求出A，由图象可知T2，结合T，即可求出的值；43124，利用整体代入法并结合正弦函数的单调性，即可求出yfx在（2）由（1）得f(x)2sin2x30,的单调增区间.【详解】解：（1）由题可知，f(x)Asinx3Acosx(A0,0)f(x)2A2sinx2cosx2Asinx3即13，

30、由图象可知，T由图象可知，fx的最大值为2，则2A2，所以A1，2，则T，所以2；43124（2）由（1）得f(x)2sin2x3，2k2x2k,kZ，令232解得：5kxk,kZ，1212又因为x0,，yfx在0,的单调增区间为：0,.1212和所以函数7求出，从而可求出函数解析式，再利用整体代入法求正弦型函数的单调性，熟练掌握正弦函数的【点睛】思路点睛：本题考查由函数yAsinx的部分图象求解析式，由函数图象的最大值求出A，由周期T2图象和性质是解题的关键.21已知函数fx4cosxcosxa.3（）求函数fx的最小正周期；fx在x0,上的单调递增区间；（）求函数2fx的一个零点，求实数a

31、的值及函数fx在x0,上的值域.（）若2是函数32【答案】（）T；（）0,；（）1,4.利用三角恒等变换公式化简函数解析式，1）利用周期公式T26【分析】求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.【详解】解：（）fx4cosxcosx3a4cosxcosxcossinxsina332cos2x23sinxcosxacos2x13sin2xa2sin2xa1，2；6T2（）法一：令z2x6；x0,则z,7266.ysinz，z,的单调增区间为6,2.76662x2，解得0 x66.fx在x0,上的单调递增区间0,.函数法二：2622x2k6

32、2k2，kZ3xkx0,画数轴与所有区间取交集可知：0 xfx在x0,上的单调递增区间0,；k2函数6，kZ266.fx2sin2xa1的一个零点（）23是函数6f2sina10.36234fx2sin2x2.x0,，ysinz，当z,单调递减区间为2,6.2sin3a102解得：a1.67726622x67，解得x662fx在区间,上为减函数.函数fx在x0,上的单调递增区间0,，单调递减区间,62266223，f2sin24，f2sin21.f02sin662267函数fx在x0,上的值域为1,4.式，则最小正周期为T22【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y

33、Asin(x)或yAcos(x)的形，最大值为A，最小值为A；奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsinx或yAcosx的形式22已知函数f(x)3sin2x2cos2x1（I）求函数f(x)的最小正周期；（II）求函数f(x)的单调增区间；x0,时，求函数f(x)的最小值（III）当2k,k，kZ；（）-1.【答案】（）最小正周期为；（）36【分析】（I）先将解析式化为fx2sin2x6期；，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周（II）根据正弦函数的单调区间，利用整体法得出22k2x622k，kZ，即可求出该函数的单调增区间；x0,可计算出2x（III）由26的取值范围，再根据

34、正弦函数的性质，即可求出函数的最大值和最小值.【详解】解：（）因为f(x)3sin2x2cos2x1，fx3sin2xcos2x2sin2x，则6所以函数f(x)最小正周期为T22；（）因为22k2x622k，kZ，所以3kx6k，kZ，k,k，kZ；函数f(x)的单调增区间为63x0,，所以（）因为272x666，而f71，f2，所以12sin2x2，626所以f(x)的最小值为1【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的最小正周期，利用整体法求正弦型函数的单调增区间，以及正弦型函数在给定区间的最值，熟练掌握正弦函数的图像和性质是解题的关键，属于常考题型.1，xR23已知函数f(x)2sin2

35、x3（）求f(x)在区间0,上的最大值与最小值（）求函数f(x)的单调递增区间；6【答案】（）k51212【分析】，k,kZ（）f(x)的最大值为3，最小值为31（）由2k22x32k2,kZ可得答案.3，由x0,，则（）设t2x【详解】23t,则sint1，从而可得答案.3362（）由2k22x2k32,kZ所以函数f(x)的单调递增区间为：k5，k52k2x2k,kZ665kxk,kZ12121212,kZ（）设t2x3，由x0,，则62t33所以32sint1，则y2sint131,3x0,时，f(x)的最大值为3，最小值为31当6关键点睛：本题考查求三角函数的单调区间和最值，解答本题的

36、关键是设t2x3，由x0,，则【点睛】63t23所以sint1，属于中档题.3224已知函数f(x)sinx(cosx3sinx)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数f(x)在x0,2的值域kkZ，减区间：5k,kkZ；（3）【答案】（1）；（2）增区间：k,1212121233,12【分析】xsin2x（1）首先根据三角恒等变换得到f332，从而得到函数的周期；（2）根据22k2x322k，解不等式得到函数的增区间，根据22k2x3322k，解不等式即可得到函数的减区间.，从而得到sin2x1，即可得到函数的值域.（3）首先根据题意得到32x3433

37、23【详解】（1）fxsinxcosx3sinxsinxcosx3sin2xsin2x3sin2xcos2xsin2x11cos22.2.（2）因为22k2x322k，kZ，解得5kxk，kZ.1212fxsin2xk,kkZ.的增区间为函数33251212因为22k2x332k，2解得12kx712k，kZ.函数fxsin2xk,kkZ.3的减区间为3212122，所以32x（3）因为0 x343.fx3,12所以sin2x1，.6)(0)的最小正周期为.332325已知函数f(x)sin(x（1）求与f(x)的单调递增区间；A（2）在ABC中，若f()1，求sin

38、BsinC的取值范围.22，k,3,kZ；（2）【答案】（1）3,k362【分析】（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求f(x)的单调递增区间；A（2）由（1）结论，f()1求角A，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，2即可求sinBsinC的取值范围.【详解】（1）因为f(x)sinx(0)的最小正周期为，即T622,f(x)sin(2x)，令2k2,kZ622x62k解得k3xk6,kZf(x)的单调递增区间是k3,k,kZ（2）在ABC中，若fA1，26由（1）得，f(x)sin2x6，所以sinA16因为0A,所以A62，即A3sinBsinCsi

39、nBsinBsinBcosB3sinB322332636B，所以因为0B2656；sinB1,3sinB3所以123626所以sinBsinC的取值范围3,32【点睛】关键点点睛：（1）由最小正周期T2|求参数，利用整体代入法求f(x)的单调递增区间；（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.26已知函数f(x)sinxcosx3cos2x32，xR（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)的单调递增区间；（3）求f(x)图像的对称轴方程和对称中心的坐标kkZ；【答案】（1）T；（2）5k,12125k,0kZ.kZ，对称中

40、心为（3）对称轴为x【分析】k12262（1）首先可通过三角恒等变换将函数f(x)转化为f(x)sin2x3结果；（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.【详解】，然后根据周期计算公式即可得出（1）f(x)sinxcosx3cos2x32sin2xcos2xsin2x，13223最小正周期T22.22kkZ时，（2）当22k2x3即12kx512kkZ时，函数f(x)单调递增，kkZ.故函数f(x)的单调递增区间为5k,1212（3）2x32k，即x5kkZ，1223k，即x6kkZ，2x25kkZ，对称中心为,0kZ.则函数f(x)的对称轴方程为x1226

41、k227已知函数f(x)Asin(x)(xR)，其中(A0，0,02)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为M(23，2)（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x，时，求f(x)的单调减区间,.【答案】（1）；（2）12262【分析】（1）由题可得T，即得最小正周期；22fx2sin2x2k解出单调递减区间再与，取（2）可求出6，令22k2x632122交集.【详解】fx的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，（1）2T，T；222（2）T，2，一个最低点为M(23，2)，A2，f2sin22，则2k，kZ，62k，kZ，22433332即2，fx2si

42、n2x606，22k2x令6322k，kZ，解得kx263k，kZ，fx在k,k，kZ单调递减，fx的单调递减区间为,.则236x1226228函数f（x）sin（x+2（1）求函数f（x）的周期；），（2）判断在0，1上单调性.【答案】（1）2；（2）单调递减.【分析】（1）首先化简函数，并根据公式求周期；（2）求函数的单调递减区间，再赋值k后作出判断.【详解】fxsinxcosx，（1）2在函数的周期T22.（2）由2kx2k+，kZ，得2kx2k+1，当k0时，0 x1，即此时函数f（x）为减函数，即f（x）在0，1上单调递减.8)+1.29已知函数y2sin2(x（1）求函数的最小正周

43、期；（2）求函数的递增区间.【答案】（1）；（2）k8,k58,kZ.【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简函数，再函数的周期公式求得其最小正周期；（2）原问题等价为求ycos(2x4)的递减区间，由余弦函数的性质，整体代入可求得函数单调递增区间.【详解】解：（1）y2sin2(x)+11cos(2x)+12cos(2x)，844则函数最小正周期T22；（2）要求函数y2cos(2x)的递增区间，等价为求ycos(2x)的递减区间，445由2k2x2k+，kZ，得k+xk+，kZ，488所以函数单调递增区间为：k+8，k+58，kZ.30求函数y2cosx的对称轴，对称中心及单调区间.,0,k

44、Z；【答案】对称轴xk，kZ；对称中心k3535552518393增区间为kkZ；10105109k,339减区间为kZ.103,10kk520939【分析】.利用整体代换法，根据余弦函数的对称性，单调性依次求解即可【详解】解：函数y2cos335x，xk，kZ，令353对称轴xk，kZ，令xk，kZ，对称中心k,0,kZ，令2k3x2k，kZ，增区间为k,kkZ令2k355xk,3955393532525xk，318525183531010105kxk，933910101059339x2k,kZ，531051051020减区间为k,kkZ，20kxk，3939103939【点睛】本题考查余弦

45、性函数的性质，利用整体代换法求正弦型，余弦型，正切型三角函数的中心、对称轴、单调区间，利用整体代换法求解是常用的方法，在利用整体代换法求函数的单调区间时要注意x的系数的正负对函数单调增减性的不同影响.31设函数f(x)cos(x),0,0的最小正周期为，且f1.（1）求函数fx的解析式；（2）求函数fx的单调递增区间；26（3）将函数yfx的图象向左平移3个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，,上的值域.632纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，求g（x）在xcos(2x)；（2）k,k,kZ；（3）1,【答案】（1）f3363.21，求得的值，即可求得函数fx的（1）由函

46、数f(x)的最小正周期为，求得w2，再由f【分析】6解析式；（2）由（1）知f(x)cos(2x3)，根据余弦型函数的性质，即可求得函数的递增区间；（3）根据三角函数的图象变换，求得gxcos(x)，结合三角函数的性质，即可求解.3【详解】（1）由题意，函数f(x)cos(x)的最小正周期为，所以2，可得w2，所以f(x)cos(2x)，w又由f61，可得f()cos(2)cos()1，66332k,kZ，即2k因为20，所以，可得33,kZ，所以函数fx的解析式为f(x)cos(2x3).（2）由（1）知f(x)cos(2x3)，令2k2x32k,kZ，解得k3xk6,kZ，所以函数f(x)

47、cos(2x)的单调递增区间为k,k,kZ.336（3）将函数yfx的图象向左平移3个单位长度，得到函数ycos2(x)cos(2x333)，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数ygxcos(x3)，,，所以1gx，因为x26,3，可得x336232求函数y3sin2x的单调递减区间.【答案】k,k(kZ).y3sin2x3sin2x，然后解出不等式2k2x2k,kZ即可得到答所以函数gx的值域为1,3.2【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为yAsin(wx)的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的

48、思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.351212【分析】33232y3sin2x3sin2x案.【详解】3322x令2k32k2,kZ，解得k12xk512,kZ所以函数y3sin2x的单调递减区间是k,k(kZ)51231233求下列函数的单调递增区间：6（1）ycos2x；（2）y3sin.x32【答案】（1）k(kZ)；（2）4k7511121233【分析】,k,4k(kZ).（1）解出不等式2k2x62k,kZ可得答案；（2）y3sin3sin，然后解出不等式

49、2k2k,kZ即可.xxx332232232【详解】2k,kZ，解得kxk,kZ（1）令2k2x61212所以ycos2x7,kZ6的单调递增区间是k,k1212（2）y3sin3sinxx3223令2k2x35112k,kZ，解得4kx4k,kZ23233的单调递增区间是4k所以y3sin51133x32,4k(kZ)mcosx,sinx，ncosx,3cosx，设函数fxmn，x0,34已知向量123（1）讨论fx的单调性；（2）若方程fx23有两个不相等的实数根x1，x2，求cosx1x2，cosx1x2的值x0,时，fx单调递增；x,时，fx单调递减；（2）cosxx663【答案】（1

50、）1212,cosxx1223【分析】（1）根据平面向量的数量积和三角恒等变换，求出函数fx的解析式，再根据x的范围，即可得到fx的单调性；（2）由方程fx23有两个不相等的实数根x1、x2，根据对称性求出x1x2的值，再计算cosx1x2和cosxx12的值即可【详解】（1）因为向量mcosx,sinx，ncosx,3cosx，131所以函数fxmncos2x3sinxcosxsin2x22222cos2x，x0,，33x0,时，2x,，当3333令2x0，解得x，36,0时，fx单调递增，x0,时，即2x所以633x,时，即2x0,时，fx单调递减；6333x0,时，2x,；（2）当333

51、3cos2x,1，即fx,1；所以11322又方程fx2x0,上有两个不相等的实数根x、x，33在12所以2x2x200，解得xx3331212，所以cosxxcos121；32由x13x，22xcos2xfx所以cosx1x2cos3332【点睛】22235已知函数fx3sin2x2sinxcosx.解题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质、数量积公式、三角恒等变换公式，并灵活应用，fx.需结合余弦函数的对称性与值域进行求解，综合性较强，属中档题6（1）求fx的单调增区间.23x,，求fx的值域.（2）当44【答案】（1）k,kkZ；（2）1,.5121122【分析】2k2x2k解得fx的增

52、区间为fxsin2x，进而根据（1）由恒等变换得3232kkZ；125k,12x,得2x，进而得1sin2x，即fx的值域为1,.（2）由44151636322fx3sin2x22cos2xsin2x，【详解】解：（1）3211332k2x2k，kZ，kxk，kZ，23251212fx的增区间为kkZ.5k,1212（2）x，4452x，636，1sin2x132fx的值域为1,.fxsin2x，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间12【点睛】本题解题的关键是根据三角恒等变换得与值域，考查运算求解能力，是中档题.336已知fx23sinxxsin2xt0,t0的图象与直线y1相切，并sin4

53、4且切点横坐标依次成公差为的等差数列（1）求函数fx的单调递增区间；fx的图象向左平移个单位，得到函数gx的图象，若函数ygxm在0,上有零点，（2）将62（3）已知ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，其中a7，若锐角A满足f31，求实数m的取值范围A26且ABAC52，求ABC内切圆的面积k，kZ；（2）3,31；（3）5【答案】（1）k,121212【分析】fx的解析式为fx2sin2xt，根据已知（1）利用诱导公式、三角恒等变换思想化简函数3fx的解析式为fx2sin2x1，解不等式条件求出t、的值，即可得出函数322x32kkZ可得出函数fx的单调递增区间；2k2（2）利用

54、三角函数图象变换原则可得gx2sin2x1，求出函数gx在区间0,上的值域，223（3）由f31可求得A，利用平面向量数量积的定义以及余弦定理求出bc，利用三即可得出实数m的取值范围；A263角形的面积公式可求出ABC的内切圆半径r，即可求得ABC的内切圆的面积.【详解】fx23sinxsinxsin2xt44（1）23sinxsinxsin2xt23sinxcosxsin2xt3sinxsin2xt2sin2xt，max2t1，t1，4244423cos2xsin2xt3fx的图象与直线y1相切，且t0，fx又fx的图象与直线y1的切点横坐标依次成公差为的等差数列，fx2sin2x1，所以，函数fx的最小正周期为T，322，可得1，22k2x22kkZ，解得：kxkkZ，令351212fx的单调递增区间是k,k，kZ；函数12512（2）将f(x)的图象向左平移6个单位，gx2sin2x12sin2x631的图象，得到函数23ygxm在0,上有零点，即ygx和图象与ym的图象在0,22上有交点，x在区间0,上的值域，所以，实数m的取值范围即为函数g2x0,时，2x22533，所以，1sin2x3当23,232，131，即3gx31，所以，32sin2x23ygxm在0