2021年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测

1、专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1.如图，O的半径为5，点P在O外，PB交O于A、B两点，PC交O于D、C两点(1)求证：PAPBPDPC；4519(2)若PA4，AB4，PDDC2，求点O到PC的距离第1题图2.如图，ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC.(1)如图，若BPC60，求证：AC3AP；24(2)如图，若sinBPC25，求tanPAB的值(2)如图，若AB不为O的直径，BE4，F为BC上一点，BFBD，第2题图33.已知O中弦AB弦CD于E，tanACD2.(1)如图，若AB为O的直径，BE8，求AC的长；且CF7，求AC的长

2、第3题图4.如图，ABC中，ABAC，以AB为直径作O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE.(1)求证：D是BC的中点；(2)若DE3，BDAD2，求O的半径；(3)在(2)的条件下，求弦AE的长第4题图(3)当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最5.如图，O的半径为1，A，P，B，C是O上的四个点，APCCPB60.(1)判断ABC的形状：_；(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；大面积第5题图备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在ABC中，ABBC，D是AC中点，BE平分ABD交AC于点E，点

3、O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与O相切；3(2)当BD6，sinC5时，求O的半径第1题图P2.如图，AB为O的直径，是BA延长线上一点，PC切O于点C，CG是O的弦，CGAB，垂足为D.(1)求证：PCAABC；(2)过点A作AEPC，交O于点E，交CD于点F，连接BE.若3sinP5，CF5，求BE的长第2题图3.如图，在O中，直径ABCD于点E，点P在BA的延长线上，且满足PDAADC.(1)判断直线PD与O的位置关系，并说明理由；DE(2)延长DO交O于M(如图)，当M恰为BC的中点时，试求BE的值；1(3)若PA2，tanPDA2，求O的

4、半径第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，E是BC的中点，以AC为直径的O与AB边交于点D，连接DE.(1)求证：ABCCBD；(2)求证：直线DE是O的切线第1题图2.如图，O的圆心在eqoac(,Rt)ABC的直角边AC上，O经过C、D两点，与斜边AB交于点E，连接BO、ED，有BOED，作弦EFAC于G，连接DF.(1)求证：COCDDEBO；3(2)若O的半径为5，sinDFE5，求EF的长第2题图3.如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DEAC，垂足为点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：EF

5、是O的切线；4(2)若O的半径为5，sinADE5，求BF的长第3题图4.如图，在ABC中，C90，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若B30，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC6，AB10，连接AD，求O的半径和AD的长第4题图5.已知eqoac(,Rt)ABC中，AB是O的弦，斜边AC交O于点D，且ADDC，延长CB交O于点E.(1)图的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图，过点E作O的切线，交AC的延长线于点F.若CFCD时，求sinCAB的值；若CFa

6、CD(a0)时，试猜想sinCAB的值(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，OF延长线交O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODBAEC.(1)求证：BD是O的切线；(2)求证：CE2EHEA；3(3)若O的半径为5，sinA5，求BH的长第6题图7.如图，ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，交BC于点E(BEEC)，且BD23.过点D作DFBC，交AB的延长线于点F.(1)求证：DF为O的切线；(2)若BAC60，DE7，求图中阴影部分的面积；AB4(3)若AC3，DFBF8，如图，求BF的长第

7、7题图(2)如果MPC30，PE23，求劣弧BE的长三、与全等三角形结合1.如图，已知PC平分MPN，点O是PC上任意一点，PM与O相切于点E，交PC于A、B两点(1)求证：PN与O相切；第1题图2.如图，已知BC是O的弦，A是O外一点，ABC为正三角形，D为BC的中点，M是O上一点，并且BMC60.(1)求证：AB是O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且EDF120，O的半径为2.试问BECF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由第2题图3.已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODAC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求

8、证：AE与O相切；(2)连接BD，若EDDO31，OA9，求AE的长和tanB的值第3题图4.如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线PA为O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；1(3)若BC6，tanF2，求cosACB的值和线段PE的长第4题图5.如图，ABC内接于O，AB为O的直径，ACB的平分线CD交O于点D，过点D作O的切线PD，交CA的延长线于点P，过点A作AECD于点E，过点B作BFCD于点F.(1)求证：PDAB；(2)求证：DE

9、BF；4(3)若AC6，tanCAB3，求线段PC的长第5题图(3)在(2)的条件下，若点E是AB的中点，连接CE，求CE的长6.如图，点P是O外一点，PA切O于点A，AB是O的直径，连接OP，过点B作BCOP交O于点C，连接AC交OP于点D.(1)求证：PC是O的切线；16(2)若PD3，AC8，求图中阴影部分的面积；第6题图7.如图，AB是O的直径，OCAB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OGBD，过点A作O的切线，与OG相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GDGA；(2)求证：DEF是等腰三角形；(3)如图，连接BC，过点B作BHGE，垂足为

10、点H，若BH9，O的直径是25，求CBF的周长第7题图专题二圆的证明与计算（答案）类型一圆基本性质的证明与计算1.(1)证明：如解图，连接AD，BC，四边形ABCD内接于O，PADPCB，PDAPBC，PADPCB，PAPCPDPB，第1题解图PAPBPDPC；(2)解：如解图，连接OD，过O点作OEDC于点E，4519PA4，AB4，PDDC2，PBPAAB16，PCPDDC2DC2，PAPBPDPC，45416(DC2)(2DC2)，解得DC8或DC11(舍去)，1DE2DC4，OD5，在eqoac(,Rt)ODE中，OEOD2DE23，即点O到PC的距离为3.2.(1)证明：BAC与BP

11、C是同弧所对的圆周角，BACBPC60，又ABAC，点P是AB的中点，PAPB，点P是AB中点，ABC为等边三角形，ACB60，1ACPBCP2ACB30，而APCABC60，APC为直角三角形，ACtanAPCAP，ACAPtan603AP；(2)解：连接AO并延长交PC于点E，交BC于点F，过点E作EGAC于点G，连接OC，BO，如解图，ABAC，AFBC，BFCF，ACPPCB，第2题解图EGEF.1BPCBAC2BOCFOC，24sinFOCsinBPC25，设FC24a，则OCOA25a，OFOC2FC27a，AF25a7a32a，在RtAFC中，AC2AF2FC2，AC（32a）2

12、（24a）240a，EAGCAF，AEGACF，EGAECFAC，又EGEF，AEAFEF，EG32aEG24a40a，解得EG12a，EF12a1在RtCEF中，tanECFFC24a2，PABPCB，1tanPABtanPCBtanECF2.3.解：(1)如解图，连接BD，直径AB弦CD于点E，CEDE，ACD与ABD是同弧所对的圆周角，ACDABD，3tanABDtanACD2，EDAE3ED3EBCE2，即82，ED12，CEED12，3又AE2CE18，ACAE2CE2613；第3题解图BFBD，(2)连接CB，过B作BGCF于G，如解图，BCEBCG，在CEB和CGB中BCEBCG

13、BECBGC，BCBCACAE2CE213CEBCGB(AAS)，BEBG4，四边形ACFB内接于O，ACFB180，又CFBBFG180，BFGA，FGBAEC90，BFGCAE，FGAE3BGCE2，3FG2BG6，CECG13，339AE2CE2，213.4.(1)证明：AB是O的直径，ADB90，即ADBC，第3题解图ABAC，等腰ABC，AD为BC边上的垂线，BDDC，D是BC的中点；(2)解：ABAC，ABCC，ABC和AED是同弧所对的圆周角，ABCAED，AEDC，CDDE3，BDCD3，BDAD2，AD1，在RtABD中，由勾股定理得AB2BD2AD2321210，AB10，

14、110O的半径2AB2；(3)解：如解图，连接BE，AB10，AC10，ADCBEA90，CC，CDACEB，ACCDBCCE，由(2)知BC2BD6，CD3，1036CE，第4题解图9CE510，94AECEAC51010510.5.解：(1)等边三角形【解法提示】APCCPB60，又BAC和CPB是同弧所对的圆周角，ABC和APC是同弧所对的圆周角，BACCPB60，ABCAPC60，BACABC60，ACBC，又有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，ABC是等边三角形(2)PAPBPC.证明如下：如解图，在PC上截取PDPA，连接AD，APC60，PAD是等边三角形，PAADPD，PA

15、D60，又BAC60，PABDAC，在PAB和DAC中，APADPABDAC，ABACPABDAC(SAS)，PBDC，PDDCPC，第5题解图(3)当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大PAPBPC，理由如下：如解图，过点P作PEAB，垂足为E，第5题解图过点C作CFAB，垂足为F，SPAB112ABPE，SABC2ABCF，S四边形APBC12AB(PECF)当点P为AB的中点时，PECFPC，PC为O的直径，此时四边形APBC的面积最大，又O的半径为1，其内接正三角形的边长AB3，1四边形APBC的最大面积为2233.类型二与切线有关的证明与计算一、与三角函数结合针对演练1.(1

16、)证明：连接OE，如解图，ABBC且D是AC中点，BDAC，BE平分ABD，ABEDBE，OBOE，第1题解图OBEOEB，OEBDBE，OEBD，BDAC，OEAC，OE为O半径，AC与O相切；3(2)解：BD6，sinC5，BDAC，BDBCsinC10，ABBC10.设O的半径为r，则AO10r，ABBC，CA，3sinAsinC5，AC与O相切于点E，OEAC，OEr3sinAOA10r5，15r4，15即O的半径是4.2.(1)证明：连接OC，如解图，PC切O于点C，OCPC，ACAG，PCO90，PCAOCA90，AB为O的直径，ACB90，ABCOAC90，OCOA，OCAOAC

17、，PCAABC；(2)解：AEPC，PCACAF，ABCG，ACFABC，PCAABC，ACFCAF，CFAF，CF5，AF5，AEPC，FADP，3sinP5，3sinFAD5，3在RtAFD中，AF5，sinFAD5，FD3，AD4，CDCFFD8，在RtOCD中，设OCr，r2(r4)282，r10，AB2r20，AB为O的直径，AEB90，3在RtABE中，sinEAD5，BE3AB5，AB20，BE12.3.解：(1)直线PD与O相切，理由如下：如解图，连接DO，CO，PDAADC，PDC2ADC，AOC2ADC，PDCAOC，直径ABCD于点E，AODAOC，PDCAOD，AODO

18、DE90，PDCODE90，ODPD，OD是O的半径，第3题解图M恰为BC的中点，直线PD与O相切；(2)如解图，连接BD，CDMBDM，ODOB，BDMDBA，CDMDBA，直线PD与O相切，PDAADO90，第3题解图又AB是O的直径，ADB90，即ADOBDM90，PDABDM，PDADBACDM，又PDAADC，PDM3CDM90，CDM30，DBA30，DE3BEtan303；(3)如解图，1tanPDA2，PDAADC，AE1DE2，即DE2AE，在RtDEO中，设O的半径为r，DE2EO2DO2，第3题解图(2AE)2(rAE)2r2，5解得r2AE，在RtPDE中，DE2PE2

19、PD2，(2AE)2(2AE)2PD2，直线PD与O相切，连接BD，由(2)知PDADBA，PP，PADPDB，PDPAPBPD，PD2PAPB，即PD22(22r)，(2AE)2(2AE)22(22r)，化简得5AE24AE4r，5r2AE，解得r3.即O的半径为3.二、与相似三角形结合针对演练1.证明：(1)AC为O的直径，ADC90，CDB90，又ACB90，ACBCDB，又BB，ABCCBD；(2)连接DO，如解图，第1题解图BDC90，E为BC的中点，DECEBE，EDCECD，又ODOC，ODCOCD，而OCDDCEACB90，EDCODC90，即EDO90，DEOD，OD为O的半

20、径，DE与O相切2.(1)证明：连接CE，如解图，CD为O的直径，CED90，BCA90，CEDBCO，BODE，第2题解图BOCCDE，CBOECD，COBODECD，COCDDEBO；(2)解：DFEECO，CD2OC10，在eqoac(,Rt)CDE中，EDCDsinECOCDsinDFE31056，CECD2ED2102628，EG3在RtCEG中，CEsinECG5，324EG585，48根据垂径定理得：EF2EG5.3.(1)证明：如解图，连接OD，AB是O的直径，ADB90，ABAC，AD垂直平分BC，即DCDB，OD为BAC的中位线，第3题解图ODAC.而DEAC，ODDE，O

21、D是O的半径，EF是O的切线；(2)解：DACDAB，且AEDADB90，ADEABD，AD4在RtADB中，sinADEsinABDAB5，而AB10，AD8，AE4在RtADE中，sinADEAD5，32AE5，ODAE，FDOFEA，ODFO5BF5AEFA，即32BF10，590BF7.4.(1)证明：如解图，连接OD、OE、ED.BC与O相切于点D，ODBC，ODB90C，ODAC，B30，A60，OAOE，AOE是等边三角形，AEAOOD，四边形AODE是平行四边行，OAOD，平行四边形AODE是菱形；(2)解：设O的半径为r.ODAC，OBDABC，ODOBACAB，即10r6(

22、10r)15解得r4，15O的半径为4.如解图，连接OD、DF、AD.第4题解图ODAC，DACADO，OAOD，ADODAO，DACDAO，AF是O的直径，ADF90C，ADCAFD，ADAFACAD，AD2ACAF，1515AC6，AF422，15AD22645，AD4535.(9分)5.解：(1)存在，AECE.理由如下：如解图，连接AE，ED，AC是ABC的斜边，ABC90，AE为O的直径，ADE90，又D是AC的中点，ED为AC的中垂线，AECE；(2)如解图，EF是O的切线，第5题解图AEF90.由(1)可知ADE90，AEDEAD90，AEDDEF90，EADDEF.又ADEED

23、F90AEDEFD，ADEDEDFD，ED2ADFD.又ADDCCF，ED22ADAD2AD2，在RtAED中，AE2AD2ED23AD2，由(1)知AEDCED，又CEDCAB，AEDCAB，ADsinCABsinAEDAE第5题解图1333.sinCAB.a2a2【解法提示】由(2)中的知ED2ADFD，CFaCD(a0)，CFaCDaAD，ED2ADDFAD(CDCF)AD(ADaAD)(a1)AD2，在eqoac(,Rt)AED中，AE2AD2ED2(a2)AD2，.ADsinCABsinAEDAE1a2a2a2BECE，6.(1)证明：ODBAEC，AECABC，ODBABC，OFB

24、C，BFD90，ODBDBF90，ABCDBF90，即OBD90，BDOB，OB为O的半径，BD是O的切线；(2)证明：连接AC，如解图所示：OFBC，ECHCAE，HECCEA，CEHAEC，CEEAEHCE，CE2EHEA；(3)解：连接BE，如解图所示：AB是O的直径，AEB90，3O的半径为5，sinBAE5，第6题解图第6题解图BECE，3AB10，BEABsinBAE1056，在RtAEB中，EAAB2BE2102628，BECE6，CE2EHEA，CE2629EHEA82，BDCD，在RtBEH中，BHBE2EH27.(1)证明：连接OD，如解图，AD平分BAC交O于D，BADC

25、AD，ODBC，BCDF，ODDF，91562（2）22.第7题解图DF为O的切线；(2)解：连接OB，连接OD交BC于P，作BHDF于H，如解图，BAC60，AD平分BAC，BAD30，BOD2BAD60，又OBOD，OBD为等边三角形，ODB60，OBBD23，BDF30，BCDF，DBP30，1在RtDBP中，PD2BD3，PB3PD3，在RtDEP中，PD3，DE7，PE（7）2（3）22，OPBC，BPCP3，CECPPE321，易证得BDEACE，BEDE57AECE，即AE1，57AE7.BEDF，ABEAFD，57BEAE57DFAD，即DF127，解得DF12，71在RtBD

26、H中，BH2BD3，S阴影SBDFS弓形BDSBDF(S扇形BODSBOD)60（23）21321233604(23)2BDCD，932；(7分)(3)解：连接CD，如解图，AB4由AC3可设AB4x，AC3x，BFy，CDBD23，DFBC，FABCADC，FDBDBCDAC，y4x8yBFDCDA，BDBF23yACCD，即3x23，xy4，FDBDBCDACFAD，而DFBAFD，FDBFAD，DFBFAFDF，DFBF8，DF8BF8y，8yy，整理得：164yxy，164y4，解得y3，即BF的长为3.(10分)三、与全等三角形结合第7题解图针对演练1.(1)证明：连接OE，过点O作

27、OFPN，如解图所示，PM与O相切，OEPM，OEPOFP90，PC平分MPN，EPOFPO，在PEO和PFO中，EPOFPOOEPOFP，OPOP第1题解图1803.PEOPFO(AAS)，OFOE，OF为圆O的半径且OFPN,则PN与O相切；(2)解：在eqoac(,Rt)EPO中，MPC30，PE23，EOP60，OEPEtan302，EOB120，12024则劣弧BE的长为2.(1)证明：如解图，连接BO并延长交O于点N，连接CN，BMC60，BNC60，BNCNBC90，NBC30，又ABC为等边三角形，第2题解图BACABCACB60，ABN306090，ABBO，即AB为O的切线

28、(2)解：BECF3，是定值理由如下：如解图，连接D与AC的中点P，D为BC中点，ADBC，1PDPC2AC，又ACB60，1PDPCCDBD2AC，DPFPDC60，PDFFDC60，又EDF120，BDEFDC60，PDFBDE，在BDE和PDF中，EBDDPFBDPD，BDEPDFBDEPDF(ASA)，BEPF，BECFPFCFCPBD，OBAB，ABC60，第2题解图OBC30，又OB2，3BDOBcos30223，即BECF3.3.(1)证明：连接OC，如解图，ODAC，OCOA，AODCOD.在AOE和COE中，OAOCAOECOE，OEOE第3题解图AOECOE(SAS)，EA

29、OECO.又EC是O的切线，ECO90，EAO90.AE与O相切；(2)解：设DOt，则DE3t，EO4t，在EAO和ADO中，EOAAOD，EAOADOEAOADO，AOEO94tDOAO，即t9，9t2，即EO18.AEEO2AO21829293；延长BD交AE于点F，过O作OGAE交BD于点G，如解图，OGAE，FEDGOD又EDFODG，EFDOGD，EFED3OGOD1，即EF3GO.又O是AB的中点，AF2GO，AEAFFE5GO，5GO93，93GO5，183AF5，AF3tanBAB5.4.(1)证明：如解图，连接OB，PB是O的切线，PBO90，OAOB，BAPO于点D，AD

30、BD，POAPOB，又POPO，PAOPBO(SAS)，PAOPBO90，第3题解图第4题解图OAPA，直线PA为O的切线；(2)解：线段EF、OD、OP之间的等量关系为EF24ODOP.证明：PAOPDA90，OADAOD90，OPAAOP90，OADOPA，OADOPA，ODOAOAOP，即OA2ODOP，又EF2OA，EF24ODOP；(3)解：OAOC，ADBD，BC6，1OD2BC3，设ADx，1tanF2，FD2x，OAOFFDOD2x3，在RtAOD中，由勾股定理，得(2x3)2x232，解之得，x14，x20(不合题意，舍去)，AD4，OA2x35，AC是O直径，ABC90，6

31、3又AC2OA10，BC6，cosACB105.OA2ODOP，3(PE5)25，10PE3.5.(1)证明：连接OD，如解图，AB为O的直径，ACB90，ACB的平分线交O于点D，ACDBCD45，DABABD45，DAB为等腰直角三角形，第5题解图DOAB，PD为O的切线，ODPD，PDAB；(2)证明：AECD于点E，BFCD于点F，AEBF，FBOEAO，DAB为等腰直角三角形，EDAFDB90，FBDFDB90，FBDEDA，在FBD和EDA中，BFDDEAFBDEDA，BDDAFBDEDA(AAS)，DEBF；(3)解：在eqoac(,Rt)ACB中，4AC6，tanCAB3，4BC638，ABAC2BC2628210，DAB为等腰直角三角形，ABAD52，2AECD，ACE为等腰直角三角形，AC6AECE32，22在RtAED中，DEAD2AE2（52）2（32）242，CDCEDE324272，ABPD，PDADAB45，PDAPCD，又DPACPD，PDAPCD，PDPAAD525PCPDDC727，57PA7PD，PC5PD，又