2022届北京市第一六一中学高三考前热身训练数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 19 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 页2022届北京市第一六一中学高三考前热身训练数学试题一、单选题1已知集合A=x|0 x3，且AB=1，则集合B可以是（）Ax|xb0）上一点P到两个焦点的距离之和为4，离心率为(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左右顶点分别为A、B，当P不与A、B重合时，直线AP， BP分别交直线x=4于点M、N，证明：以MN为直径的圆过右焦点F 【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据条件，列出关于的式子，即可求解；

2、（2）解法一：首先设，利用相似关系，求得坐标间的关系，并且证明；解法二：首先设直线方程，与抛物线方程联立，求得点的坐标，可用表示，最后利用坐标表示数量积.【详解】(1)由题干可得，所以，即椭圆的方程；(2)解法一：设，因为直线交直线于点，所以，则，同理，则，由于异于轴两侧，因此异号，所以，又因为，所以，即，以为直径的圆过右焦点；解法二：设直线方程，得，即，因为直线交直线于点，即，因为直线交直线于点，则由三点共线，得，即，所以，即，以为直径的圆过右焦点.20设函数（）.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；求函数的最小值.(2)设函数，证明：当时，函数至多有一个零点.【答案】(1)；(2)证明见解

3、析【分析】（1）利用求导求出切线的斜率，然后写出直线方程；求导后分析函数的单调性可求得最小值；（2）对参数进行分类讨论，利用倒数来分析函数的单调性来确定函数的零点.【详解】(1)解：由题意得：函数定义域为， 当时 所以曲线在点处的切线方程是.令，当即函数递减区间为；当时，即函数递增区间为所以函数的最小值；(2)因为 令，时，函数在定义域上单调递增，至多有一个零点；时，令，得，令，得 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增则函数在时有最小值，此时函数无零点.时，令，得或令，得所以函数在区间单调递增，在区间单调递减因为函数，所以，且在区间上恒成立.所以函数在区间上至多有一个零点.综上，当时，函数至

4、多有一个零点.21素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数早在多年前，欧几里德就在几何原本中证明了素数是无限的在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表 ，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；请同学们阅读以上材料，回答下列问题.(1)求；(2)证明：；(3)证明：若在中，则不是素数；若不在中，则是素数【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析；证明见解析【分析】（1）先求出和，根据等差数列即可求解；（2）先求和，再求出，代入等差数列公式求解即可；（3）先假设在中，得到，所以不是素数；再假设不在中，利用反证法，为合数，令，得到，可知在中，假设不成立即可求解.【详解】(1)根据题意：，.(2)，公差，公差，故(3)若在中，由（2）可知，存在，使得，所以不是素数若不在中，反证法：假设