制图基本知识与技能第04章

1、第4章 立体表面的交线截交线 4.1相贯线 4.2【学习目标】了解截交线和相贯线的含义。学会求平面立体和回转体的截交线。学会利用积聚性或辅助平面法求回转体的相贯线。重点学习两个轴线垂直相交（正交）的圆柱体相贯线的作图方法。4.1 截交线 4.1.1 截交线的基本性质4.1.2 平面立体的截交线4.1.3 曲面立体的截交线4.1.1 截交线的基本性质 平面与立体相交，可以认为是立体被平面截切，该平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，截交线所围成的平面图形称为截断面。 （1）截交线既在截平面上，又在立体表面上，因此，截交线是截平面与立体表面的共有线。截交线上的点是截平面与立体表面的共有

2、点。（2）由于立体表面是封闭的，因此，截交线必定是封闭的线条，截断面是封闭的平面图形。（3）截交线的形状取决于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。 由以上性质可以看出，求画截交线的实质就是要求出截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接各点即可。截交线的基本性质如下：4.1.2 平面立体的截交线 平面与平面立体相交，其截交线是一个封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与平面立体的棱线或底边的交点，多边形的每一条边是截平面与平面立体表面的交线。因此，求平面立体的截交线，就是求截平面与平面立体上被截各棱线或底边的交点的投影，判别可见性后再依次相接。平面截切六棱柱后的截交线画法平面截切三棱

3、锥后的截交线画法【案例4-1】求正四棱锥被正垂面P截切后的投影。作图步骤： 直接在正面投影上找出四棱锥的4条棱线与截平面P的交点的正面投影1、2、3、4; 分别求出各个交点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1、2、3、4; 判断交点投影的可见性，将各点的同面投影依次连接起来，即得截交线的投影。分析：截平面与四棱锥的截交线为四边形，又截平面是正垂面，所以截交线的正面投影积聚成一条斜线，其余两面投影均为类似形。【案例4-2】求四棱锥被两个平面截切后的投影。作图步骤： 求平面Q截四棱锥后的截交线。可由正面投影1得到水平投影1，由1作四边形与底面四边形的对应边平行可得1、2、5点。 由平面Q与P的交线

4、的正面投影3、4求得水平投影3、4。 所求投影1、2、3、4、5即为截交线在水平投影面上的投影，再利用投影规律求出它们的侧面投影1、2、3、4、5。 求平面P截四棱锥后的截交线。按案例4-1的方法求出投影6、7、8和6、7、8及6、7、8，将各点的同面投影连接起来，即得截交线在三投影面上的投影。分析：截平面P为正垂面，它与四棱锥的4个棱面的交线与案例4-1相似。截平面Q为水平面，它与四棱锥的截交线的正面投影和侧面投影都具有积聚性，水平投影反映截交线的实形。此外，两平面P、Q相交会有交线，所以平面P和平面Q截出的截交线均为五边形。4.1.3 曲面立体的截交线 回转体被平面截切，其截交线一般为封闭

5、的平面曲线。曲线上的每一点都是截平面与回转体表面的共有点，所以求截交线就是求截平面和回转体表面一系列的共有点。 求回转体截交线的方法如下: （1）分析回转体的表面性质、截平面与回转体的相对位置，初步判断截交线的形状及其投影; （2）求截交线上特殊点的投影，如最高点、最低点、最右点、最左点、最前点、最后点及转向轮廓线上的点; （3）为了作图准确，还需适当求出截交线上一般位置点的投影; （4）补全轮廓线，判断可见性，最后光滑连接各点即得截交线的投影。1平面与圆柱相交 投影图椭圆矩形圆截交线形状倾斜于轴线平行于轴线垂直于轴线截面位置轴测图 【案例4-3】圆柱体被平行于轴线的平面P和垂直于轴线的平面Q

6、所截切，作出其投影图。作图步骤： 画出完整的圆柱体的投影图。 利用积聚性求出截交线的正面投影和侧面投影。 利用投影规律，求出截交线的水平投影。 同样道理，可以作出右图所示截切圆柱体的投影。 分析：截平面P平行于圆柱的轴线，它与圆柱面的交线AB、CD为两条平行直线，均为侧垂线。截平面Q垂直于圆柱的轴线，它与圆柱面的截交线为圆弧BD，其正面投影和水平投影都积聚成直线，侧面投影为圆弧。【案例4-4】求斜切圆柱截交线的投影。分析：截平面与圆柱体的轴线倾斜，所得的截交线是一椭圆。由于截平面是正垂面，其正面投影有积聚性，故截交线的正面投影与其重合。又因圆柱面的水平投影有积聚性，故截交线的水平投影与其重合。

7、所以，只需求出截交线的侧面投影即可。 作图步骤： 先作出圆柱的侧面投影； 求特殊点：点A、B、C、D是特殊点，也是椭圆长、短轴的端点，根据它们的正面投影和水平投影求其侧面投影a、b、c、d； 求一般点：在截交线的正面投影上选取m、n两点，求出其水平投影m、n，再求其侧面投影m、n ； 光滑连接各点的侧面投影，圆柱的最外轮廓线与椭圆相切，完成作图 。 【案例4-5】在圆柱体上开出一方形槽，已知其正面投影和侧面投影，求作水平投影。作图步骤： 画出圆柱体的水平投影。 画出截交线的水平投影。分析：方形槽是由两个与轴线平行的平面P、Q和一个与轴线垂直的平面T切出的。前者与圆柱面的交线是两条平行直线，后者

8、与圆柱面的交线是圆弧。截平面P和Q为水平面，所以这段截交线的正面投影分别积聚在p和q上，又由于圆柱面的侧面投影具有积聚性，所以该截交线的侧面投影都积聚在圆上。截平面T是一侧平面，所以这段截交线的正面投影积聚在t上，侧面投影则积聚在圆上。 常见带切口圆柱体的投影实心圆柱体切口投影 空心圆柱体切口投影 2平面与圆锥相交 【案例4-6】求圆锥截切后的投影图。作图步骤： 先作出圆锥的侧面投影； 作特殊点；。 辅助纬圆法求一般点； 判断可见性，光滑连接各点，完成作图。分析：由于截平面P平行于圆锥轴线，圆锥的截交线由双曲线和直线段构成。又因为截平面为正平面，所以截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，正面

9、投影为双曲线和直线段。 平面截切圆球，不论截平面与圆球的相对位置如何，截交线均为圆。根据截平面对投影面的相对位置不同，所得截交线的投影有3种情况：当截平面平行于投影面时，截交线的投影为圆；当截平面垂直于投影面时，截交线的投影积聚为线段，该线段长度为截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为椭圆。3平面与圆球相交 截平面为投影面平行面截平面为投影面垂直面【案例4-7】已知开槽半圆球的正面投影，求作其他两面投影。作图步骤： 画出完整半球的水平投影和侧面投影；画出4段截交线圆弧的水平投影和侧面投影； 画出截平面之间交线的水平投影和侧面投影，擦除截去的轮廓线，完成作图。分析：半圆球的凹槽是

10、由左、右两个对称的侧平面和一个水平面截切而成，两个对称的侧平面与球面的交线是平行于侧面且左、右对称的两段圆弧ABC和A1B1C1；水平面与球面的交线是平行于水平面且前、后对称的两段圆弧ADA1和CD1C1。另外，截平面之间产生两条交线AC和A1C1，它们是正垂线。【案例4-8】画出铣床顶针的三视图。 4组合回转体的截交线 组合回转体是由若干个基本回转体组成的。作图时首先要分析各部分的曲面性质及截平面的位置，然后按照它们的几何特性确定其截交线的形状及各段截交线之间的关系，再分别作出其投影。 【案例4-9】画出连杆头的三视图。分析：连杆头由3个回转体组成，左端是圆球，右端是圆柱，中间是圆锥，且圆锥

11、面与球面相切。圆柱与圆锥有公共的回转轴线，回转轴线通过球心。组合回转体被两个互相平行且与回转体轴线平行的正平面截切，截平面只截到了圆球和圆锥，截切圆球的截交线是圆的一部分，截切圆锥的截交线是双曲线，正面投影反映截交线的实形。两个截平面前后对称，前后两截交线的正面投影重合，截交线的水平投影、侧面投影分别具有积聚性。因此，只需求出截交线的正面投影即可。作图步骤： 在图中确定球面与圆锥面的分界线。从球心的正面投影O作圆锥外形轮廓线的垂线，得交点a、b，连线ab即为球面与圆锥面的分界线。 在正面投影上，以O为圆心，以O13为半径作圆，即为球面的截交线，该圆与ab线交于1、2点，即截交线上圆与双曲线的结

12、合点。 画出圆锥面上的截交线双曲线，即完成连杆头的正面投影。综合案例绘制截交线4.2 相贯线 4.2.1 相贯线的基本性质4.2.2 利用积聚性求作相贯线 4.2.3 利用辅助平面求作相贯线 4.2.4 相贯线的特殊情况 4.2.1 相贯线的基本性质分析：铣床顶针由共轴的圆柱和圆锥体组成，被平行于公共回转轴线的水平面P和倾斜于轴线的正垂面Q截切。水平面P同时截切到了圆锥体和圆柱体，截切圆锥体的截交线是双曲线，截切圆柱体的截交线为两条线段。正垂面Q只截切了圆柱体，截交线是椭圆的一部分。因此，截交线由3部分组成。截交线的正面投影与截平面的投影重合，积聚为两线段；侧面投影分别与圆柱面的圆投影及水平截

13、平面P的直线投影重合。因此，只需求出截交线的水平投影即可。 作图步骤： 作特殊点。根据正面投影和侧面投影可作出特殊点的水平投影1、3、4、6、8、9。 求一般点。利用正面有积聚性的投影可求出一般点5、7的水平投影，用辅助纬圆法求出点2、10的水平投影。 连线。将各点的水平投影依次光滑地连接起来，即为所求截交线的水平投影。 两立体相交所产生的表面交线称为相贯线。由于立体有平面立体和曲面立体之分，因此两立体相交有以下3种情况：（3）两曲面立体相交：其表面交线一般为封闭的空间曲线，特殊情况下也可能是不闭合的、平面曲线或线段。（1）两平面立体相交：可以看做是一个平面立体上的各个平面与另一平面立体相交，

14、其表面交线为平面与平面立体的截交线，一般为封闭的空间折线或平面折线。（2）平面立体和曲面立体相交：可以看做是平面立体上的各个平面与曲面立体相交，其表面交线为平面与曲面立体的截交线，一般为若干平面曲线或平面曲线与线段结合的封闭的空间几何图形。4.2.1 相贯线的基本性质 共有性：相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。 分界性：相贯线是两立体表面的分界线。 封闭性：由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或线段，或不封闭。 根据相贯线的性质，求作相贯线实质上就是求相交两曲线立体表面的一系列共有点，表明其可见性，再将这些点光滑地连接起来，即

15、得相贯线。作图方法有积聚性法和辅助平面法。 求相贯线的一般步骤如下： 空间分析：根据两立体的形状、大小和相对位置，初步分析相贯线的形状； 投影分析：分析相贯线的投影，哪些投影是已知的，哪些投影需要求作； 求特殊点：特殊点是指能确定相贯线的形状和范围的点，如立体的转向轮廓线上的点、对称的相贯线在其对称平面上的点以及相贯线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点； 求一般点：为使作出的相贯线更加光滑准确，需要在特殊点之间求出若干个一般点； 判别可见性：对以上各点的投影分别进行可见性判别。只有同时位于两立体可见表面上的点，其投影才可见； 依次光滑连接各点的同面投影，即为所求的相贯线。4.2.2 利用积

16、聚性求作相贯线 当两曲面立体相交，其中至少有一个为圆柱体且其轴线垂直于某投影面时，圆柱面在该投影面上的投影积聚为一个圆。此时，其他投影可根据表面取点的方法作出。1、两正交圆柱相贯线的画法【案例4-10】求两圆柱体正交的相贯线。分析：小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影积聚在该圆上。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影应积聚在该圆上，为两圆柱面共有的一段圆弧。因此只需求出相贯线的正面投影。作图步骤： 作出特殊点1、3、5、7的投影； 作出一般点2、4、6、8的投影； 判别可见性，光滑连接各点，完成作图。2、两圆柱正交的相贯线有3种基本形

17、式 两外表面相交 外表面与内表面相交 两内表面相交 3、两正交圆柱直径变化时相贯线的变化直径不等两圆柱直径相等两圆柱直径不等两圆柱4.2.3 利用辅助平面求作相贯线 当相贯线投影只有一个或没有积聚性投影时，可采用辅助平面法。 辅助平面法的原理：辅助平面法是用辅助平面同时截切相贯的两回转体，在两回转体表面得到两条截交线，这两条截交线的交点即为相贯线上的点。这些点既在相贯两立体的表面上，又在辅助平面上，因此，根据三面共点原理，用若干个辅助平面求出相贯线上的一系列共有点即可求得相贯线。 选取辅助平面：必须使辅助平面与两回转体相交后，所得截交线的投影为最简单的直线或圆。 作图步骤如下： 选取辅助平面； 分别作出辅助平面与两回转面的截交线的投影； 作两截交线交点的投影。圆柱与球体相贯线的画法【案例4-11】求圆柱与圆锥的相贯线。分析：圆柱与圆锥轴线垂直相交，圆柱全部穿进左半圆锥，相贯线为封闭的空间曲线。由于这两个立体前后对称，因此相贯线也前后对称。又由于圆柱的侧面投影积聚成圆，