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文档简介

1、逆矩阵与逆矩阵 引言 对于数的运算，如果对于数 ，存在数 ，使得 ，则称数 为数 的倒数，记作 。从而有 对于矩阵运算，是否有相似之处呢？ 逆矩阵的概念 设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵B为方阵A的逆矩阵，记作B=A-1.逆矩阵也称为非奇异矩阵。例如：所以当然 逆矩阵存在的充分必要条件性质2、逆矩阵存在的充分必要条件 方阵A可逆且推论：如果A是n阶方阵，则推论：如果A可逆，则注意足标的变化1、方阵 的伴随矩阵 为元素 的 代数余子式 例1 判断下面的矩阵是否可逆，如果可逆，则求逆矩阵（1）（2）解 因为所以矩阵A可逆所以（2）因为所以，矩阵B不可逆例2 用逆矩阵

2、求解线性方程组解 将方程组改写成矩阵形式，得因为因而有所以，系数矩阵A可逆解 记原矩阵方程为 AXB=C，因为所以，矩阵 A、B 都可逆在原方程两边同时左乘 A-1，右乘 B-1，得例3 求解矩阵方程逆矩阵的性质 1、逆矩阵是唯一存在的。 2、AB=E BA=E3、若A可逆，则A-1也可逆，且 . 4、若A可逆，数 ，则 5、若A、B为同阶可逆矩阵，则 6、若A可逆，则 7、 （此性质可将定义简化） 解例4 设三阶方阵A的伴随矩阵为 ，且 ，求分块矩阵 分块矩阵的概念 用穿过矩阵的横线和竖线将矩阵A分割成若干个子块，以这些子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。例如则A可记作称A为以子块A11、A12

3、、A13、A21、A22、A23为元素的分块矩阵。如：则不是分块矩阵。 分块矩阵分块矩阵的加减运算设A、B同型，且采用完全相同的分块方法，得则注意：A i j与B i j同型 分块矩阵的数乘及转置 设将A分块得则记作列分块 分块矩阵的转置运算子块当作元素转置后子块本身再转置。如先把子块当作元素运算，然后子块再运算。只适用于矩阵的加、减、数乘、相乘、转置等运算。 分块矩阵的乘法运算设A、B矩阵分块得则其中注意： A的列块数=B的行块数；A i k的列数=B k j的行数例题：设将A、B适当分块，计算AB解 将A、B作如下分块：在一、二行之间插入横线， 在一、二列之间插入竖线（如题目所示），则则而

4、 所以1、矩阵的分块运算分两步完成，首先，视子块为元素，按 矩阵的运算法则作第一步运算，然后，在子块的运算中， 再进行实质上的矩阵运算。2、在对矩阵进行分块时，必须遵守相应运算的前提条件。 如：相加减的矩阵，需采取完全相同的分块方法；相乘 时，左矩阵的列块数必须等于右矩阵的行块数，同时还 须保证子块运算时的左子块的列数必须等于右子块的行 数。小结：分块对角矩阵 如果可将矩阵A进行适当分块，得到如下形式，则称矩阵A为分块对角矩阵。其中A i i 为方阵子块，其余子块均为零子块分块对角矩阵的性质（1）（2）若A可逆，则 分块对角矩阵其中对角线上的子块全是方阵，其余子块是零矩阵。如（方阵）是 不是

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