全国中等职业技术学校通用教材-数学(上)3精选教学课件

1、第3章 三角函数3.1 角的概念推广3.2 任意角的三角函数3.3 三角函数的图像和性质3.1 角的概念推广 完成“将这扇门打开60”的动作有两种选择。你能否找出一种简明的方法区分出开门的方向？ 假设目前的准确时间是8:45，左图里挂钟显示的时间（10:15）快了一个半小时要校准此钟，必须将分针（长针）往回拨一圈半。分针被拨动一圈的时候，它被拨动的角度是多少？再拨半圈，分针又转过多少度？从开始拨动到完成校准，分针被拨动的角度一共是多少？ 角的概念推广 在平面内一条射线绕它的端点O从位置OA旋转到任意位置OB形成的图形称为角。射线的端点O称为角的顶点。射线在旋转的初始位置OA称为角的始边，射线在

2、旋转的终止位置OB称为角的终边。角常用小写希腊字母、示。 一个角的大小可以超过360。为了表达准确，我们在画一个角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。 按逆时针方向旋转形成的角称为正角； 按顺时针方向旋转形成的角称为负角； 当一条射线不旋转时，我们也认为它形成了一个角，称为零角。 1时钟从3点走到3点15分，分针旋转了多少度？ 2当把手表倒拨（逆时针）1小时20分钟，分针旋转了多少度？ 3分别画出以下各角： 150、420、750、120、390。 象限角与终边相同的角 在平面直角坐标系xOy中，把角的顶点放在原点O的位置上，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角

3、的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角。比如，45角是第一象限角；240角是第二象限角； 585角是第三象限角；300角是第四象限角。 如果一个角的终边落在坐标轴上，就说这个角是轴线角。例如，90、180角都是轴线角。 在0360范围内，各象限角的范围如下：(0, 90)(90,180)(180,270)(270,360)象限一二三四在0360范围内，各轴线角的大小如下：角度090180270位置x正半轴y正半轴x负半轴y负半轴思考在同一坐标系中观察下面角的共同点？30、390、750、330、690 通过观察可以发现，这些角的终边位置是相同的。我们把它们称为是与30终边相同的角

4、。 很显然，与30终边相同的角有无限多个。3030036039030136075030236033030（1）36039030（2）360 这样我们可以得到与30角终边相同的角（含30在内）的一般表达式为30k360，kZ 由此推广，轴线角的一般表达式如下终边位置一般表达式x轴的正半轴k360( kZ)x轴的负半轴180k360( kZ)x轴k180( kZ)y轴的正半轴90k360( kZ)y轴的负半轴270k360( kZ)y轴90k180( kZ) 由此推广，与角终边相同的角（含角在内）的一般表达式是：k360 ，kZ 例题解析 例 下列各角中哪些角与40的角终边相同?390、400、3

5、20、320 解 因为 39030360 40040360 32040360 32040360 所以400、320角与40角终边相同（400、320与40的差值正好是360的整数倍）； 而390、320角与40角终边不相同（390、320与40的差值不是360的整数倍）。单击鼠标继续 1下列各角是第几象限角？（如果是轴线角也请说明） 30、 120、 180、 260、300、360、390、450、30、90、 120、180、230、330。 2下列各角中哪些角与80的角终边相同？ 440、280、280、400。 弧度 我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1弧度。弧度的单位符号是r

6、ad。 根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对应的圆心角的大小是 ，即 例如，圆周的长度是2r，它对应的圆心角的大小是 因为圆周角用角度表示为360，所以可得出360= 2 rad 由此推广，可进行如下换算： 例题解析 例1 用弧度表示下列各角的大小： 60、 120、 60、 270 解单击鼠标继续 例2 用角度表示下列各角的大小： 2.5、 、 、 解单击鼠标继续 例3 求图中公路弯道处弧AB的长l。（单位：m，结果保留整数）解由图示可知：r48， 。 由圆心角公式 ，得 所以弯道处AB的长约为50m。l|r 4850 m 单击鼠标继续下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的对应关系

7、 度数030456090120135150180270360弧度0 采用弧度制后，与角终边相同的角（含角在内）的一般表达式是：=2k，kZ 1用弧度表示下列各角的大小： 245、420、300、120、330 2用角度表示下列各角的大小： 3、 、 、 。 3.2 任意角的三角函数 锐角三角函数 在直角三角形OPM中，M是直角。角的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有 坐标系内的三角函数 以O为原点，邻边OM所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系。显然x，y就是角的邻边和对边长，r是斜边。由此，我们得到：任意角三角函数的定义 以任意角的顶点为原点O，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系

8、xOy，在的终边上任意取一点P（x，y），设点P到原点的距离是r，则有 这些比值都是角的函数，分别叫做的正弦函数，余弦函数，正切函数，它们都是三角函数。我们规定： 1比值 叫做的正弦，记作sin，即 。 2比值 叫做的余弦，记作cos，即 。 3比值 叫做的正切，记作tan，即 。 由于2k（kZ）表示的所有角的终边相同，根据三角函数的定义，它们的同名三角函数值相等，即sin(2k)sin，kZcos(2k)cos，kZtan(2k)tan，kZ 单位圆 以原点为圆心，半径长为1个单位的圆。 设角的终边与单位圆的交点为P。根据三角函数的定义，由点P的坐标(x，y)可得以下公式： 在正切函数 中

9、，由于分母x不能为零，所以角的终边不能在y轴上。在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义域如下表 三角函数定义域sin、cosRtan 例题解析 例1 已知角的终边经过点P（3，4），求的正弦、余弦及正切函数值。解所以由点P（3，4）可知x3，y4，单击鼠标继续 例2 求角390和 的正弦、余弦和正切值 。解单击鼠标继续 1已知角的终边上一点P（3，4），求的正弦、余弦和正切函数值。 2求角420和 的三角函数值。 3求下列特殊角的三角函数值：（度） 0 30 45 60 90 180 270 (弧度)sincostan不存在不存在三角函数值的符号三角函数值的符号总结如下：三角函数第一象限的角第

10、二象限的角第三象限的角第四象限的角sincostan 1用或填空。 利用计算器求三角函数值 使用计算器求三角函数值时，角的大小、正负可以是任意的；角的单位可以是度，也可以是弧度。因此在计算三角函数值之前，必须先使用MODE键（或DRG键），把计算器调到相应的状态。 另外，由于计算器型号不同，所按的键名及按键过程稍有差异。因此，使用前应仔细阅读说明书。 例题解析题按键过程显示结果sin165C E 1 6 5 sin0.258819045tan471C E 4 7 1 tan2.605089065sin(513)C E 5 1 3 / sin0.4539905C E 5 2ndF EXP 8 D

11、RG sin0.923879533C E 11 2ndF EXP 7 / DRG cos0.222520935C E 17 2ndF EXP 6 DRG tan0.577350269sin（2）C E 2 / DRG sin.909297427 用计算器计算下列各三角函数值。（结果保留位有效数字） （1）sin231 （2）cos(175) （3）tan(75) （4） （5） （6） 同角三角函数的基本关系 根据三角函数的定义，只要 k( kZ)，则 又因为x2y2r2，所以 于是，得出同角三角函数的基本关系： 例题解析 例1 已知 ，且是第二象限的角，求cos和tan的值。解因为sin2c

12、os21，所以 又因为是第二象限的角，即cos0，所以单击鼠标继续 例2 化简下列三角函数式： （1） (270360) （2）解（1）因为2700。（2）单击鼠标继续 1已知 ，0 ，求sin和tan的值。 2已知 ，且在第三象限，求cos和tan的值。 3化简下列三角函数式： （1）costan （2）3.3 三角函数的图像和性质 用描点法完成正弦函数y=sinx，x0，2的图像。 x02y列表： 描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。正弦函数ysinx的图像和性质正弦函数ysinx的图像 把函数ysin x在区间0，2上的图像向

13、左平移2就能得到正弦函数y=sinx在区间2，0上的图像。 我们把正弦函数ysinx(xR)的图像叫做正弦曲线。 把正弦函数ysinx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4、6个单位，就能得到正弦函数ysinx，xR的图像。 由ysinx，x0，2的图像可以看出，下面五个点在确定图像形状时起着关键的作用： (0，0)、( ，1)、(，0)、( ，1)、(2，0) 这五个点描出后，正弦函数ysinx，x0，2的图像的形状就基本上确定了。今后，我们只要找出这五个点就可以描点画简图了。这种作图法称为五点法。 例题解析 例 用五点法画出函数ysinx1在0，2上的简图。解 分析 比较函数ysinx

14、1和函数ysinx可以看出，对同一个x值，函数ysinx1的值比函数ysinx的值大1。所以 ，函数ysinx1的图像与函数ysinx的图像形状一样，但在坐标系中的位置不同。 描点并连线： x02sinx01010sinx112101列表： 单击鼠标继续正弦函数ysinx的性质 （1）定义域：R。 （2）值域：1，1。 （3）周期性： 由于终边相同的角的正弦函数值相等，即sin（x2k）sinx，kZ。 所以 sinx在变化过程中，x每增大或减小2k（kZ 且k0），函数值重复出现，我们称y=sinx为周期函数；而2k（kZ 且k0）为它的周期（周期常用T表示），其中T=2称为它的最小正周期。

15、 今后我们所说的周期都是指最小正周期。 （4）对称性：正弦函数ysinx的图像关于原点对称，即sin(x)=sinx （5）单调性： 正弦函数ysinx在区间 上是增函数，在区间 上是减函数。 用五点法作出下列函数在区间0，2上的简图。 （1）ysinx1 （2）y2sinx 余弦函数ycosx的图像和性质余弦函数ycosx的图像 把余弦函数ycosx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4 个单位，就能得到余弦函数ycosx，xR的图像。 余弦函数ycosx（x）的图像叫做余弦曲线。余弦函数ycosx的性质（1）定义域：（，）（2）值域：1，1（3）周期性：余弦函数ycos x是周期函数，它的周期是2。（4）对称性：余弦函数ycosx（x）的图像关于y轴对称，即cos(x)=cosx（5）单调性：在区间0，上是减函数，在区间，2上是增函数。 1将比较cos 与cos 值的大小。 2用五点法画出y2cosx在区间 上的简图。 正切函数ytanx的图像和性质正切函数ytanx的图像 把正切函数ytan x在x 上的图像向左或向右分别