高中数学基础知识汇总详细版

1、高中数学基础知识汇总详细版1高中数学知识点汇总目录必修1.3第一章、集合.3第二章、函数.5第三章、基本初等函数.8必修二.9第一章、立体几何初步.9第二章、平面解析几何初步.19必修三.21必修四.21第一章基本初等函数II.21第二章平面向量.24必修五.26第一章解三角形.26第二章数列.28第三章不等式.29选修2-1.30第一章常用逻辑用语.30第二章圆锥曲线与方程.30第三章空间向量与立体几何.33选修2-2.36第一章导数及其应用.36第二章推理与证明.38第三章数系的扩充与复数.39选修2-3.41第一章计数原理第二章概率.412必修1第一章、集合定义1一般地，一组确定的、互异

2、的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为xA，否则称x不属于A，记作xA。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，xx0分别表示有理数集和正实数集。定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元

3、素，则A叫做B的子集，记为AB，例如NZ。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。便于理解：AB包含两个意思：A与B相等、A是B的真子集定义3交集，ABxxA且xB.定义4并集，ABxxA或xB.定义5补集，若AI,则C1AxxI,且xA称为A在I中的补集。定义6集合xaxb,xR,ab记作开区间(a,b)，集合xaxb,xR,ab记作闭区间a,b，R记作(,).定义7空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合A

4、和元素a，要么aA，要么aA，二者必居其一比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由a，a2组成一个集合，则a的取值不能是03或1（3）无序性2332集合中的元素的次序无先后之分如：由1，组成一个集合，也可以写成1，组成一个集合，它们都表示同一个集合学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a与a的区别a是集合a的一个元素，而a是含有一个元素a的集合

5、，二者的关系是aa（2）注意与0的区别是不含任何元素的集合，而0是含有元素0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或R来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合(x，y)yx中的元素是(x，y)，这个集合表示二元方程yx的解集，或者理解为曲线yx上的点组成的点集；集合集合xyx中的元素是x，这个集合表示函数yx中自变量x的取值范围；yyx中的元素是y，这个集合表示函数yx中函数值y的取值范围；集合yx中的元素只有一个（方程yx），它是用列举

6、法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。4例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).第二章、函数定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:AB为一个映射。定义2函数，映射f:AB中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若xA,yB，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y=3x-1的定

7、义域为x|x0,xR.定义3反函数，若函数f:AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1:AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x,y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。111xx补充知识点：定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。定义4函数的性质。（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2I并且x1x2，总有f(x)f(x)，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为

8、单调增（减）122区间。x（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的xD，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。0a定义5如果实数ab，则数集x|axb,xR叫做开区间，记作（a,b），集合x|ax

9、b,xR记作闭区间a,b，集合x|axb记作半开半闭区间（,b，集合x|axa记作开区间（a,+），集合x|xa记作半开半闭区间（-,a.定义6函数的图象，点集(x,y)|y=f(x),xD称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；5,u=2-x在（0，+）上是减函数，所以y=1在（-,2）上是增在（-,2）上是减

10、函数，y=为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x)2+f(x)，其中x=-，下同。2a2aa0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在x,-）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当023.当a0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax+bx+c0时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别是x|xx和x|xxx，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可121212bx|x2ab2a120和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。R3）当0时，方程无解，不等式和

11、不等式的解集分别是和.f(x)图象与x轴无公共点。当a0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x)=0 x4acb2,若a0)，值为f(m)；当xn时，f(x)在m,n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可当xm,n时，f(x)在m,n上的最小值为f(x);当x5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。6p一定注意：“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2原命题：若p则q（

12、p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。7第三章、基本初等函数1.指数函数及其性质：形如y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值

13、域为（0，+），当0a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。an,an1m2.分数指数幂：anna,annam,an1mn1am。3）log（）=logM-logN；4）logMn=nlogM（万能恒等式）a3.对数函数及其性质：形如y=logx(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+aa），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1时，y=logx为增函数。4对数的性质（M0,N0）；1）ax=Mx=logM(a0,a1)；2）log(MN)=logM+logN；aaaMaNaaaa=logM；6）alogaM=M;7)logb=(a,b,c0,a,c1).5）log

14、anMnloga5.函数y=x+x（a0）的单调递增区间是,a和a,，单调递减区间为a0,a。（请同学自己用定义证明）aa1logbcca,0和6.连续函数的性质：若ab,f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为,，半径为2212D2E24F。若点P(x0,y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为xxyyD2E02F0.xxyy00014根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,2,3.则它们两两的根轴方程分别

15、为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。20对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=,正弦函数sin余弦函数cos正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=.（必修三）略必修四第一章基本初等函数II定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角

16、。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所Lr其中r是圆的半径。yxyx,yx定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（），到原点的距离为r,则=,=,rrxyrrxy定理1同角三角函数的基本关系式：,sin=倒数关系：tan=11cotcsc，cos=1；sec商数关系：tan=,cot；,cos(-)=-cos,tan=(-)=-tan,cot(-)=-cot;（）sin=cos,2322sincoscossin乘积关系：tancos=sin,c

17、otsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1,tan2+1=sec2,cot2+1=csc2.定理2诱导公式（）sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan,cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan,cot(-)=cot;（）sin(-)=sincos=sin,tan=cot（记法：奇变偶不变，符号看象限）。22定理3（根据图像去记）正弦函数的性质：根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间2k,2k上为增函数，在区间2k,2k上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+

18、时，y取最大值1，当且仅当2x=3k-时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对22称中心，值域为-1，1。这里kZ.21在区间2k,2k+上单调递减，在区间2k-,2k2。奇偶性：上单调递增。最小正周期为正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+定理5（根据图像去记）sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),积化和差：前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余(1cos),cos=(1cos),半角公式:sin=22定理9coscossin;tan()=.coscos+)+cos(-)

19、,sinsin+)-cos(-).tan2=.tan=(1cos)sin(1cos)定理4（根据图像去记）余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：偶函数。对称性：直线x=k均为其对称轴，点k,0均为其对称中心。有界性：当且2仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ.)在开区间2-k(k-,k+)上为增函数,最小正周期为，值域为（，+），点（，0），（k+，2220）均为其对称中心。定理6两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sin(tantan)(1tantan)定理7和差化积与积

20、化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,2222cos+cos=2coscos,cos-cos=-2sinsin,2222112211=cos(=-cos(22口诀记忆：12后为和，正后为差”和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦定理8倍角公式（常考）:sin2=2sincos,cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,2tan(1tan2)22=(1cos)sin.2(1cos)222tan1tan22定理10万能公式:sin,cos,1tan221tan2222tan2.1tan22tan终边经过点(

21、a,b)的一个角为，则sin=,cos=，对任意的角.定理11*【必考】辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，baa2b2a2b22R，其中a,b,c分别是角A，asin+bcos=(a2b2)sin(+).定理12正弦定理：在任意ABC中有abcsinAsinBsinCy=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sinx(0)B，C的对边，R为ABC外接圆半径。定理13余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+

22、k的图象；经左右平移得1A的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4函数y=sinxx,的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1,1)，函22数y=cosx(x0,)的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1,1).函数y=tanxx,的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-,+).y=cosx(x0,

23、22)的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-,+).定理15三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina,nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa,kZ.如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana,kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.若x0,，则sinxxtanx.22定理16223第二章平面向量x2y2x2y2(a,b0),3ab=x1x2+y1y2,cos(a,b)=xxyy定义1既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长

24、度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。定义2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0，使得a=b.f定理3平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=

25、xa+yb，其中a,b称为一组基底。定义3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。定义4向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为，则a,b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4平面向量的坐标运算：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，1a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2)，2a=(x1,y1),a(b+c)=ab+ac，12121122

26、4.a/bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.定义5若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数，使P1PPP2，11叫P分PP所成的比，若O为平面内任意一点，则OPOPOP212。由此可得若P1，P，1xx.xx1yy1.xxx12P的坐标分别为(x,y),(x,y),(x,y)，则yy22211yyy12221定义6设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=h2k2个单位得到图形F，这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点，平移到F24xxh上对应的点为p(x,y)，则称为平移公式。yyk定理5对于任意向量a=(x1

27、,y1),b=(x2,y2),|ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】因为|a|2|b|2-|ab|2=(x2y2)(x2y2)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0,|a|b|0，1122所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,xn)，b=(y1,y2,yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x2x2x2)(y2y2y2)(x1y1+x2y2+xnyn)20，又|ab|0,|a|b|0，12n12n所以|a|b|ab|.由向量的

28、三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1,x2,xn),b=(y1,y2,yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x2x2x2)(y2y2y2)(x1y1+x2y2+xnyn)2。12n12n2）对于任意n个向量，a1,a2,an，有|a1,a2,an|a1|+|a2|+|an|。25边长，p为半周长。1正弦定理：=2R（R为ABC外接圆半径）。必修五第一章解三角形在本章中约定用A，B，C分别表示ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各abc2abcsinAsinBsinC推论eqoac(,1)：ABC

29、的面积为S111=absinCbcsinAcasinB.ABC222推论eqoac(,2)：在ABC中，有bcosC+ccosB=a.，则a=A.推论eqoac(,3)：在ABC中，A+B=，解a满足absinasin(a)=absinC；再证推论2，因为B+C=-A，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以SABC2正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，1所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，证推论4，由正

30、弦定理absinasin(a)sinAsinBsinAsin(A)cos(-A+a)-cos(-A-a)=cos(-a+A)-cos(-a-A)，等价于等价于11222bc，下面用余弦定理证明几个常用cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A1时，an=Sn-Sn-1.定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.定理2*【必考】等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：n(aa

31、)n(n1)d；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，1n122则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有an1anq，则an称为等比数列，q叫做公比。定理3*【必考】等比数列的性质1：）an=a1q；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=n-1a(1qn)1；1q都有|an-A|0，存在M，对任意的nM(nN),nn定义5无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|ba-b0；（2）ab,b

32、cac；（3）aba+cb+c；（4）ab,c0acbc；（5）ab,c0acb0,cd0acbd;（7）ab0,nN+anbn;（8）ab0,nN+nanb;（9）a0,|x|a-axaxa或xb0,cd0，所以acbc,bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nanb，由性质（7）得(na)n(nb)n，即ab，与ab矛盾，所以假设不成立，所以nanb；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+

33、b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2xy(xy)20，所以x+y2xy，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令3xa,3yb,3zc，因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=1(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+229选修2-1第一章常用逻辑用语1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若AB，则xA是xB

34、的充分条件；若AB，则xA是xB的必要条件；若AB且AB即AB，则xA是xB的充要条件.2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.4.会用集合的子集的方法判断充要条件：A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即ABABA是B的充分不必要条件ABABA是B的充要条件AB

35、AB第二章圆锥曲线与方程301.椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即|PF|e(0eb0)，a2b2参数方程为xacosybsin（为参数）。1，为(a,0),(0,b),(c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为x，与右焦点对应的准线为x；定义中的比e称为离心率，且e，由c+b=a2知0eb0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(

36、x,01；若焦点在y轴上，列标准方程为y2y21(ab0)。a2b23.椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2y2a2b2a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别a2c22ca椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。x2y24.椭圆的焦半径公式：对于椭圆2ay)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为xxyy0a2b2312）斜率为k的切线方程为ykxa2k2b2；3）过焦点F2(c,0)倾斜角为的弦的长为l2ab2a2c2cos2。6双曲线

37、的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为x2y21，a2b2参数方程为ybtanxasec（为参数）。a2a2c为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为x,x.离心率e，由a+b=ccca知e1。两条渐近线方程为yx2y21x2y2b21，F1（-c,0）,F2(c,0)是它的两个焦点。设P(x,y)是x2y2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2x21。a2b28.双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2y

38、21(a,b0),a2b2a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).左、右焦点222kx，双曲线1与有相同的渐近线，aa2b2a2b2它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9.补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线a2双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2ab22)过焦点的倾斜角为的弦长是ccosa222。10.抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫

39、做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与32为(,0)，准线方程为x，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标pp2211.补充知识点抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=xp；22）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；1cos2。3）过焦点倾斜角为的弦长为2p12.极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点P的位置，（，

40、）称为极坐标。e13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数的点P，若0e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为ep1ecos。第三章空间向量与立体几何公理1一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作：aa33公理2两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P，则存在唯一的直线m，使得=m,且Pm。公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论l直线与直线外一点确定一个平面推论2两条相交直线确定一个平面推论3两条平行直线确定一个平面公理

41、4在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义1异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义2直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外定义3直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与

42、平面垂直定理2两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义4一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理4*【常考】(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的

43、射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca逆定理：若ca，则cb定理5直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行定理6若直线。与平面平行，平面经过直线a且与平面a交于直线6，则a/b结论2若直线。与平面和平面都平行，且平面与平面相交于b，则a/b定理7(等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等定义5平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交定理8平面a内有两条相交直线a，b都与平面平行，则/.34定理9平面与平面平行，平面=a，=b，则a/b组定义6(二面角)，经过同一条直线m的两个半平面,(包括直线m，称

44、为二面角的棱)所成的图形叫二面角，记作m，也可记为Am一B，AB等过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则APB(900)叫做二面角的平面角它的取值范围是0，特别地，若APB900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即.定理10如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直定理11如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理12如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义7有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两

45、个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等的正四棱柱叫正方体定义8有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理13【了解】(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2定义9空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径，定点叫做球心定理14如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是

46、圆面，圆心与球心的连线与截面垂直设截面半径为r，则d2+r2R2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离定义10【了解】(经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经定理15【了解】(祖原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等

47、.定理16【了解】(三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600定理17【了解】（面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S=rl.侧=4R2。若一球面43定理18【了解】（体积公式）半径为R的球的体积为V35=R3；若棱柱（或圆柱）的球体积为V=sh.底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的13定理19如图12-1所示，四面体ABCD中，记BDC=，ADC=，ADB=，BAC=A，ABC=B，ACB=C。DH平面ABC于H。

48、（1）射影定理：SABDcos=SABH，其中二面角DABH为。（2）正弦定理：.（4）四面体的体积公式VDHSsinsinsinsinAsinBsinC（3）余弦定理：cos=coscos+sinsincosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos.13ABCSSsin(其中为二面角BADC的平面角)。1=abc1cos2cos2cos22coscoscos61aadsin（其中d是a1,a之间的距离，是它们的夹角）6123aABDACD选修2-2第一章导数及其应用36为limf(x),limf(x)，另外limf(x)=A表示x大于x且趋向于x时f(x)极限为A，称右极xx

49、01极限定义：（1）若数列u满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nnN时，恒有|u-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故f(c)0，综上得证。第二章推理与证明综合法：“执因导果”分析法“执果导因”反证法:倒着推【不常考】1.归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊一般.38根据这个假设，如能推出当nk1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0的正2.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法3.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所

50、有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法当4.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明n取第一个值n时命题成立；然后假设当nk(kN*，kn)时命题成立，证明当n00k1命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.n5.数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数0，如果当nn0时，命题成立，再假设当nk(kN*，kn)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，0n整数n1，n2，命题都成立.006.用数学归纳法证明一个与正

51、整数有关的命题的步骤：1证明：当n取第一个值n结论正确；2假设当nk(kN*，kn)时结论正确，证00明当nk1时结论也正确由1，2可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.7.1用数学归纳法证题时，两步缺一不可；2证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑标.目第三章数系的扩充与复数1复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,bR）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。39（1）zzzz；（2）zzzz；（3）zz

52、|z|2；（4）11；（5）z2zz|z|z|z|1212|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则z。z121212122zrzzri2复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,bR），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的

53、坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，则称为z的辐角。若02，则称为z的辐角主值，记作=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=a2b2.如果用ei表示cos+isin，则z=re，称为复数的指数形式。3.共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则za-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：zz121212122|zz|z|z|；

54、（6）|1|1；（7）|z|-|z|zz|z|+|z|；（8）121212221z4.复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z=r(cos+isin),z=r(cos+isin)，11112222则zz=rrcos(+)+isin(+)；若z0,1r1cos(-)+isin(-12122)，用指数形式记为zz=rrei(1+2),1r1ei(12).21212225.【部分省市考】棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isi

55、nn).2k(6.开方：若wnr(cos+isin)，则wnrcos2kisinnn)，k=0,1,2,n-1。7.单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z=cos2isin2，nn0,当n|m,特别1+Z+Z+Z=0；（3）意整数m，当n2时，有1ZmZmZm=n,当n|m,1,则全部单位根可表示为1,Z,Z2,Zn1.单位根的基本性质有（这里记ZZk，k1111k=1,2,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Z=Z；（2）对任nq+rr12n112n-1xn-1+xn-2+x+1=(x-Z)(x-Z)(x-Z)=(x-Z)(x-Z2)(

56、x-Zn1).12n-11118.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等9.复数z是实数的充要条件是z=z;z是纯虚数的充要条件是：z+z=0（且z0）.4010.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b0)是方程的一个根，则z=a-bi也是一个根。12.若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当=b2-4ac0时方程的根为1,2bix2a.N=m+m+m种不同的方法。选修2-3本书重点：排列组合、概率第一章计数原理第二章概

57、率1加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中1有m种不同的方法，在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事一共有2n12n41m种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m种不同的方法，第2步有1m种不同的方法，第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N=mm2n12n3排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Am表示，Am=n(n-1)n!(n-m+1)=,其中m,nN,mn,(nm)!nnCmn(n1)(nm1)m!m!(nm)!6.【了解】组合数的基本性质：（1）CmCnm；（2）CmCmCn1；（3）Ck1C