《统计学》教案第四章 动态数列

1、第四章 动态数列教学内容： 1.态数列的含义、种类 2.动态数列各分析指标的含义、计算方法 3.时间数列的各个影响因素及其含义4.长期趋势的测定方法5.季节变动的测定方法6.循环变动的测定方法教学重点：1.动态数列各分析指标的含义、计算方法2.长期趋势的测定方法，特别是最小二乘法3.季节变动的测定方法，特别是同期平均法教学难点：1.序时平均数、平均发展速度的计算2.长期趋势、季节变动的测定授课学时：10学时第一节 动态数列的概念和种类一、动态数列的概念动态数列：将某一个指标在不同时间上的不同数值，按照时间的先后顺序排列起来所形成的数列叫时间数列。它一般是由两部分组成的，一个是现象所属的时间 ,

2、另一个是统计指标数值 。例如，我国原油产量发展情况见表1-1。表1-1年 份20002001200220032004200520062007原油产量(亿吨)1.631.641.671.71.751.811.841.87时间数列与分配数列的区别：1.二者形成的条件不同分配数列是在统计分组的基础上形成的；时间数列是将某种现象的一系列数值按时间先后顺序排列形成的。2.二者的构成要素不同分配数列是由各组名称和次数构成的，时间数列是由指标所属的时间和指标数值两部分组成的。3.二者说明的问题不同分配数列说明总体单位在不同组的分配情况，（分配数列反映的是现象在同一时间上的静态变化）；时间数列则说明现象在不同

3、时间上的发展变动情况（动态变化）。二、时间数列的种类按其反映指标性质不同绝对数时间数列 相对数动态数列平均数时间数列（一）绝对数时间数列将某一总量指标在不同时间上的数值按照时间的先后顺序排列起来所形成的数列叫绝对数时间数列，它反映客观现象在不同时间上达到的绝对水平及其动态情况。 绝对数时间数列按指标的时间性质不同时期数列时点数列时期数列如原油产量、工资总额、工业总产值等； 时点数列如设备台数、职工人数、原材料库存量等。时期数列： 我国历年原油产量资料如表1-2。 表1-2 单位：亿吨年 份20002001200120032004200520062007原油产量1.631.641.671.701

4、.751.811.841.87时点数列：我国历年年末人口数资料见表1-3。表1-3 单位：万人年 份200120022003 2004 2005 2006 全国年末人口数127627 128453 129227 129988 130756 131448 （二）相对数动态数列把某一相对指标在不同时间上的数值按照时间的先后顺序排列起来所形成的数列叫相对数动态数列。如将某企业历年产值计划完成程度排列起来；将企业历年生产工人所占的比重排列起来等。它反映现象之间相互联系的发展过程。在相对数时间数列中，各指标数值一般是不能相加的。例如，某企业历年生产工人人数占全部职工比重资料见表1-4。 表1-4年 份2

5、0022003 2004 2005 2006 2007生产工人占全部职工比重()78.4570.55 77.785.0674.8176.69（三）平均数时间数列把某一平均指标在不同时间上的数值按时间先后顺序排列起来所形成的数列。如历年平均工资，历年工人平均劳动生产率水平等。例如，我国历年城镇单位在岗职工平均工资资料见表1-5。 表1-5年 份200120022003 2004 2005 2006 全国城镇单位在岗职工平均工资（元）10870 12422 14040 16024 18364 21001 三、编制时间数列的原则基本原则：保证数列中各个指标数值具有可比性。具体应注意以下问题：1.一个

6、时间数列中时间的长短应该一致在一个时期数列中，要么各个指标是反映一年中每个月的情况，要么是历年的情况，不能一个指标是一年的、一个指标是一个月、一个指标是一季的，若这样就无法进行比较。时点数列中，时点间的间隔最好能够相等，这样也便于分析比较。2. 总体范围应该一致 在一个时间数列中，各指标数值所属的总体范围必须一致。若不一致，必须对资料进行适当的调整，使总体范围前后一致，这样资料才具可比性，才能正确反映所研究问题的动态变化情况。3.经济内容必须一致有些指标随着社会的发展，时间的变化，其指标名称和指标具体经济内容可能会发生变化，如净产值、增加值；国内生产总值、国民收入等。经济内容不同的总量指标放在

7、一个时间数列中，必然会影响前后不同时期指标数值的可比性，必须进行适当调整。经济内容一致。4.计算方法、计算价格、计量单位应该一致 计算方法（也可称计算口径）若不一致，则指标数值间也不具备可比性。如劳动生产率指标有生产工人劳动生产率、全员劳动生产率，分别按这两种口径计算的劳动生产率有时出入很大，其数值不具备可比性。计算价格有不变价格、现价，必须使用相同的价格。计量单位同理。第二节 动态数列的分析指标 通过编制时间数列，可以一般地说明现象发展的基本趋势。为了深入地分析动态数列，更准确地认识事物发展变化的规律性，还要依据编制的动态数列，计算一系列动态分析指标。一、发展水平和增长量 （一）发展水平：指

8、动态数列中每项指标数值，它是计算其它动态分析指标的基础。一般用表2-1符号表示。 表2-1时 间t0t1t2tn-1tn指标数值a0a1a2an-1an最初水平 最末水平 中间水平研究时期的发展水平称为报告期水平，作为研究时期比较基础（标准）时期的水平叫基期水平。发展水平在文字说明上习惯用“增加到、增加为”、“降低到、降低为”来表示。例如我国原油产量2000年为1.63亿吨，到2007年增加到（为）1.87亿吨。（二）增长量概念：是用来说明某种现象在一定时期内增长的绝对数量的指标，它是动态数列中报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平大小。公式：增长量=报告期水平-基期水平种类：增

9、长量根据对比基期不同逐期增长量累计增长量逐期增长量：是报告期水平与其前一期水平之差，反映报告期比某上期增长的绝对数量。符号表示：、累计增长量：报告期水平与某一固定时期水平（通常为最初水平）之差，反映现象在某一个较长时期内总的增长量。符号表示：、二者的关系：累计增长量等于相应时期内各逐期增长量之和。即 增长量在文字说明上习惯用“增长了”、“减少了”来表示。例如，某个企业历年工资总额资料见表2-2。表2-2年 份200220032004200520062007工资总额（万元）175186205218.4230.8252增长量（万元）逐 期111913.412.421.2累 计113043.455.

10、877二、发展速度和增长速度（一）发展速度概念：是表明现象发展的相对程度的分析指标，是由报告期水平与基期水平之比而得的，说明报告期水平已经发展到基期水平的若干倍或百分之几。种类：由于选用的基期不同分为环比发展速度定基发展速度环比发展速度：指报告期水平与其前一期水平之比，说明报告期水平已经发展到其前一期水平的若干倍或百分之几。用符号表示：、定基发展速度：指报告期水平与某一固定时期水平之比。表明现象在较长时间内总的发展速度。公式表示为：、二者的关系：定基发展速度等于相应时期内各环比发展速度的连乘积，即 例如，某个企业历年工资总额资料见表2-3。表2-3年 份20022003200420052006

11、2007工资总额（万元）175186205218.4230.8252增长量（万元）逐 期111913.412.421.2累 计113043.455.877发展速度（%）环 比106.3110.2106.5105.7109.2定 基100106.3117.1124.6131.9144(二)增长速度1.概念：是表明现象增长程度的相对指标，它可以根据增长量与基期水平之比求得，说明报告期水平比基期水平增长了若干倍或百分之几。=发展速度-100%增长速度为正值，说明现象呈现增长趋势，为负值，表示现象降低的程度。2.种类：基期不同分为环比增长速度定基增长速度环比增长速度：指逐期增长量与其前一期水平之比，表

12、明现象报告期比前一期增长了百分之几。符号表示为：、又知，环比增长速度=环比发展速度-1 , 、定基增长速度：它是累计增长量与某一固定时期水平之比，表明现象在较长时期内总的增长程度。符号表示：、定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。例如，某个企业历年工资总额资料见表2-4。表2-4年 份200220032004200520062007工资总额（万元）175186205218.4230.8252增长量（万元）逐 期111913.412.421.2累 计113043.455.877发展速度（%）环 比106.3110.2106.5105.7109.2定 基100106.3117.1124

13、.6131.9144增长速度（100%）环 比6.310.26.55.79.2定 基6.317.124.631.944增长1%的绝对值（万元）1.751.862.052.1842.308（三）增长1%的绝对值概念：指每增长一个百分点实际包含的绝对值数量，或每增长1%的增长量，它是把基期水平分成100等份的份值。 由于定基增长速度的基期相同，每增长1%的水平值是一个常数，没有必要计算。而环比增长速度的基期随着报告期的变化而变化，故增长1%的增长量各不相同。为了揭示高速度后面掩盖着低指标或低速度后面掩盖着高指标的问题，就有必要计算环比增长速度每增长1%的水平值指标。它是绝对数与相对数结合运用的具体

14、表现。计算公式： 如表2-4。或 例如，假若报告期比上期增长了5%，增长的绝对数量为40元，那么增长1%时其增长量为多少？5%：40=1%：x 三、序时平均数和平均速度（一）序时平均数概念：序时平均数或称平均发展水平，它是动态数列中各项指标数值的平均值，反映某种现象在一段时期内的一般水平或代表性水平。特点：把指标数值在不同时间上的差别抽象掉了，概括地反映现象在不同时间上的一般水平，便于现象在各段时间之间进行比较，以观察现象的发展趋势。例如，某企业2007年各月产品产量见表2-5。 表2-5 单位：万吨月份123456789101112产量203022353828453450563754 从表2

15、-5数列中可以看出，各月的数字高低不齐，不能清晰地反映出产量变化的规律与趋势。如果把数列中各季的平均产量（序时平均数）计算出来，就会明显地反映出该企业的产量是逐渐增长的趋势。如下表2-6。 表2-6 单位：万吨季 度第一季度第二季度第三季度第四季度各季月平均产量24344349序时平均数和一般平均数的区别与相同点：区别:1.一般平均数是根据变量数列计算的，是同一时间总体的标志总量与总体的单位总数相对比求得的；而序时平均数是根据动态数列计算的，是由不同时间上的指标数值进行平均求得的。2.一般平均数平均的是总体内各单位变量值之间的数量差别；而序时平均数所平均的是某一指标在不同时间上的数量差别。3.

16、一般平均数是从静态上说明总体内某一数量标志的一般水平的，而序时平均数是从动态上说明现象在一段时间内的一般水平的。相同点 ：二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。序时平均数的计算方法：由于动态数列的种类不同，序时平均数的计算方法也不同，它所依的资料有绝对数动态数列，相对数动态数列和平均数动态数列。由绝对数动态数列计算序时平均数时期数列时点数列(1）时期数列由于时期数列的各项指标数值可以连续相加，所以可用简单算术平均数的方法计算： 如前面的资料，求十二个月的平均产量 (2）时点数列连续的时点数列间断的时点数列 = 1 * GB3 连续的时点数列：若时点数列的资料是逐目记录、

17、逐日编排，则为连续的时点数列。计算平均数用算术平均法。将每天的资料加总起来除以日历日数则可。A.连续每天变动的连续时点数列可直接用简单算术平均法，即。例如，某企业本月上旬每天的职工人数资料如表2-7，试计算该企业本月上旬平均每天的职工人数。 表2-7日期12345678910合计人数52555356555863616463580解： B.非连续每天变动的连续时点数列若连续的时点数列资料不是每天都变动，而是每隔一段时间变动一次，则可用算术平均法即例如：某一企业2007年1月份生产工人人数为：1月1日至10日每天103人，1月11日于25日每天98人，1月26日至31日每天100人，试计算一月份的

18、平均人数.解： = 2 * GB3 间断的时点数列A.间隔期相等的时点数列采用简单算术平均数的方法分两层计算例如：某企业2007年第一季度各月月初职工人数如表2-8，试计算第一季度平均每天的职工人数。 表2-8月 份1月2月3月4月职工人数（人）1400140814501446解： 可归纳出一般公式： B.间隔期不相等的时点数列采用算术平均法分两层计算（第一层简单算术平均法，第二层加权算术平均法计整个时期的序时平均数）例如：某企业2007下半年职工人数资料如表2-9，试计算下半年平均人数。 表2-9时 间7月1日9月1日10月1日12月31日职工人数（人）1520150215501547解：下

19、半年平均人数为： =1532（人）通用公式归纳为：由相对数或平均数动态数列计算序时平均数基本计算公式为： 首先分别计算分子、分母的平均数，然后将其对比得平均数或相对数的序时平均数。分子、分母计算序时平均数的方法同前面绝对数动态数列计算序时平均数的方法。例如，某企业2007年第一季度的各月份的产品产量计划完成情况资料如表2-10，计算第一季度平均计划完成程度。解： 表2-10一月份二月份三月份实际完成数（件）a510061808640计划任务数（件）b500060008000计划完成%102103108（二）平均增长量 1.概念：说明社会现象在一段时期内平均每期增加的绝对数量。2.公式：（三）平

20、均速度平均发展速度平均增长速度1.平均发展速度（1）概念：说明现象在较长时期内逐期平均发展变化程度的指标。它是各个环比发展速度的一般性水平或代表性水平.。（2）计算：计算平均发展速度时，由于各环比发展速度对比的基础不同，总的发展速度不是各期环比发展速度之和，而是各期环比发展速度的连乘积，因此不能用算术平均法。 = 1 * GB3 几何平均法这个方法的实质是要求最初水平在平均发展速度下发展，以达到最末水平，即，这种方法也叫水平法，它表明，从基期的发展水平出发，各个时期应以多大的速度发展才能达到报告期的发展水平。 例如，某企业历年工资总额的还比发展速度资料，见表2-11。表2-11年 份20022

21、0032004200520062007环比发展速度（%）106.3110.2106.5105.7109.2求平均每年的发展速度。解：这里只能用前一个公式，即若已知2002年至2007年的工资总额资料，求平均发展速度，则用后一个公式。 = 2 * GB3 方程法假设是用方程法求得的平均发展速度，这样根据可计算出各年的发展水平，为基期水平。第一年为：第二年为： 即第三年为： 即第n年为： 方程法的基本出发点是：从最初水平出发，每期按照向前发展，在n期后，各期理论水平之和应等于各期实际水平之和。即 解这个高次方程，求出的正根，即为方程法所求的平均发展速度。但实际中，要解这个高次方程是很困难的，一般是

22、根据事先编制好的平均增长速度查对表来查出的。其过程如下：首先，计算出来判断资料是递增、递减，或根据变换后公式判断（一般为了后面方便用此法）；其次，计算各期定基发展速度之和（各期发展水平之和与最初水平之比）最后，根据n和查表。在第n栏找最接近的数值，它所对应的发展速度即为平均发展速度（例题见教材）。2.平均增长速度概念：指各期环比增长速度的平均值。但计算时不能直接根据环比增长速度求得，因为环比增长速度与定基增长速度没有直接的换算关系。但是增长速度与发展速度之间只相差一个基数100%。所以在资料适合水平法时，它只能根据平均发展速度计算（在资料适合累计法时，可直接查表求出）。计算公式：例如，根据几何

23、平均法计算的平均发展速度资料计算平均增长速度：3.几何平均法和方程法的应用几何平均法和方程法求平均速度，二者的理论依据，计算方法和应用场合是各不相同的，具体计算时应根据以下原则来确定。（1）根据统计研究的侧重点来确定（考察重点不同）当目的在于考察最末一年发展水平而不关心各期水平之和时,可采用水平法；当目的在于考察全期发展水平总和，而不关心最末一年水平时，可采用累计法（方程法）。因为水平法的侧重点是从最末水平出发来研究的，而累计法侧重点是从各年发展水平的累计总和出发来研究的。如我国制定长期计划时有两种：一种是规定计划期最后一年的水平，一种是规定计划期整个时期累计应达到的水平，两种计划侧重点是不同

24、的。（2）要注意客观现象发展变化的规律或特点当现象随着时间的发展稳定地逐年上升或下降时，一般采用水平法。如国民收入、工业增加值，主要产品产量等。当现象的变动不是有规律地逐年上升或下降，而是经常表现为升降交替，无规律可寻，一般采用累计法。如基本建设投资额、新增生产能力等。因为水平法只受基期和报告期发展水平的影响，不受中间各期发展水平的影响，所以适应于较稳定变化的现象；而累计法受各期（不包括最初水平）发展水平的影响，若各期变化较大时用它。（3）要考虑资料是否完整和计算工具是否齐备用累计法计算平均发展速度，需要各期发展水平之和资料，其中不能缺少一项发展水平，而且计算方法比较复杂，要借助于查对表，若资

25、料不完整，计算工具不齐备，会给计算造成困难，这时，既使适用累计法的现象，也只能用水平法。第三节 长期趋势的测定与预测一、时间数列的影响因素客观现象的发展变化，是由许多错综复杂的因素共同作用的结果，不同性质的因素，所起的作用不同，运动变化的形式也不同。通常时间数列总变动(y)可分解为长期趋势，季节变动、循环变动和不规则变动四种形式。1.长期趋势变动（T）长期趋势：是指现象在某一个相当长的时期内持续发展变化的总趋势，具体讲，它是在一个时间数列中，某些长期的起决定性作用的因素促使数列沿着一定的方向发展变动的总趋势。如建国以来，我国人口死亡率逐年下降，平均寿命逐年延长，其根本原因是我国制度的优越性和医

26、疗科学技术的进步。又如我国工农业生产在我国基本经济规律的支配下，呈现不断上升的趋势。2.季节变动（S）它是指现象在一定时期内（通常为一年内）由于受自然因素和社会因素的影响而发生的具有周期性、规律性的重复变动。（生产、消费和习惯性的因引起）如由于气候条件，使汗衫、背心、冷饮在一年内存在夏季销量大，冬季销量小的变动规律；由于风俗习惯，导致每年春节前后为客运繁忙期，由于工作、学习制度，使一日内市内交通在上下班（学）时间为高峰期等。3.循环变动（C）它是指现象因某种原因而发生的周期较长（通常在一年以上）的涨落起伏波动。由于引起波动的原因不同，因而波动的周期长短也不同，短至3-5年，长达50多年，如周期

27、性的经济危机便是最典型的例子，一般长达8-10年，每一周期都要经历危机萧条复苏繁荣的过程；又如由于固定资产的更新和周期性的技术变革引起的周期波动，一般时期较短3-5年；又如由于重大技术突破或技术革命影响结果周期可长达50多年（经济发展盛衰不绝、相交替的变动）。4.不规则变动（）指由于偶然的，临时的因素作用，而引起现象局部的、非周期性或趋势性的随机变动。这种变动是无法预知和预测的，它的大小、方向是不定的。如农业生产中受气候偶然因素变化的影响，雨量、气温等因时因地不同，其变化可能使农业增产，也可能使农业减产等。上述四种变动形式构成时间数列的总变动，综合的方法有两种：乘法模式：Y=TSCI式中和T是

28、总量指标，S、C、I是影响的相对数即比率。加法模式：四种因素是以和的形式存在于现象之中，构成时间数列的实际值影响的是绝对数不是比率，是对趋势值产生的绝对偏差。二、长期趋势测定的作用1.可以正确反映现象发展的方向和趋势，从而认识和掌握现象发展变化的规律性，为领导决策、指挥生产、实行科学管理提供依据。2.利用现象发展的长期趋势，预测未来可能达到的发展水平，作为制定政策编制计划的参考。3.测定长期趋势，可以剔除原有时间数列中长期趋势的影响，以便更好地反映季节变动的规律。三、测定长期趋势的方法测定长期趋势，就是用一定的方法对原有的时间数列进行修匀，使修匀后的数列排除季节变动，不规则变动等因素的影响，呈

29、现出现象变动的基本趋势，作为长期趋势预测的依据。长期趋势测定的方法主要有修匀法（时距扩大法，移动平均法），数学模型法两种。（一）修匀法1.时距扩大法它是把原有时间数列中各个时期的资料加以合并，扩大每段计算所包含的时间距离，得出较长时距的新动态数列，以消除时距较短而受偶然因素影响所引起的波动，清晰地显示出现象变动趋势和方向。它把较小的时间跨度扩大为较大的时间跨度，如日长度可转化为旬、周、月，月转化为季，季转化为年，每年转化为若干年等。例1，某企业2007年各月产品产量如下表3-1。从这个数列中可以看出，各月的产量高低不齐，不能明显地反映出产量的变化趋势，若把时间跨度由月扩大为季，如下表3-2。表

30、3-1月 份123456789101112产量（万吨）203022353828453450563754表3-2季 度第一季度第二季度第三季度第四季度产量（万吨）72101129147平均月产量（万吨）24344349例2，某企业2004年至2007年工业总产值资料如下表3-3。表3-3年月工业总产值（百元）年月工业总产值（百元）年月工业总产值（百元）年月工业总产值（百元）04.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12477.9397.2507.3512.2527.0545.0494.7502.5536.5533.5553.6543.905.1 2 3456789101112518.

31、0460.9568.7520.5590.0604.8564.9575.9613.9614.0646.7655.306.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12645.7562.4695.7712.0723.1743.2678.0676.0703.0385.3703.3722.407.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12681.9567.6737.7739.6759.6794.8719.0734.8776.2782.5816.5847.4时距扩大成年之后的时间数列如表3-4。 表3-4 单位：百元年 份2003200420052006工业总产值6131.36933.6

32、7950.18957.6平均月工业总产值510.94577.8662.51746.47用时距扩大法修匀时间数列，既可用总量指标表示，也可用平均指标表示。总量指标只适用于数列，而平均指标适用于时期和时点数列。时距扩大后的数列，不论是用总量指标表示，还是用平均指标表示，都可以明显地显示出现象发展变化的总趋势即产量不断增长。时距扩大法是测定长期趋势最原始的方法。优点是简便，缺点是新数列的项数太少，不能据以深入的进行趋势分析和预测。应用时距扩大法应注意的问题： = 1 * GB3 扩大后的时距长短应一致，以便于互相比较分析；扩大的时距长短应视研究的目的和现象的特点而定。一般说来，它都有一定的规律、逻辑

33、可循。2.移动平均法（继动平均法）它是采取逐期递移的办法分别计算一系列扩大时距的序时平均数，形成一个新派生的序时平均数时间数列，在这个新派生的时间数列中，短期的偶然因素引起的波动被消弱，从而呈现出现象在较长时期内的基本发展趋势。（它是按照一定的时间跨度逐项移动，计算一系列的序时平均数，形成一个新的时间数列，以消除短期的，偶然的因素引起的变动，呈现出现象变动的基本趋势）例如,某地区1990-2007年历年粮食产量如表3-5。 表3-5 单位：百公斤年 份t粮食产量y3年移动平均四年移动平均四年移动平均两项移正平均901304773206233305346843685338205391303952

34、339192399034127142079432934451644472452151304779123321231915466424923320563259032684996168934325023333633995161300089453545035560357692517725095638728383033752936232368967407313912338668492851179783791139264393278130328898939151391203935810035235999104029839619395481214029800011394084015440587144433

35、4880112407554159641675169489060021344624429694268619658011203144352944140439052256094060415442664448044494256663990051645644447874484428973030406174444504553132475565007184650083700017170969221097175449从该地区粮食产量的原始资料可以看出，该地区的粮食产量虽然有些年份有所下降，但总的趋势从长期观察是逐步上升的，从三年、四年的移动平均之后所得的新数列更加明显地看出该地区粮食产量呈现不断增长的长期趋势

36、。(二)数学模型法分割平均法最小二乘法数学模型法是运用理论知识，实践经验对时间数列进行分析判断，在确定其性质和特点的基础上，对其配合一个数学方程式（趋势方程），以计算趋势值，描述长期趋势的。其优点是：不仅可以运用趋势方程严格地计算各期指标的理论值，比较贴近地拟定原时间数列，而且可以进行外推预测。1.直线方程的配合（当各期增长量大致相等时）分割平均法(半数平均法)它是将时间数列的数值平均分为两部分，各求其平均数，得出、两个点，连接两点成一直线，即为趋势线。将这两个点代入直线方程，联立求解两个参数，确定直线趋势方程。半数平均法的数学依据是：（最理想的线）将代入理论依据,得: 两边同除以n得 例如，

37、仍用表3-5粮食产量资料，用分割平均法计算相关资料，见表3-6。 解：将资料代入理论依据中得： 解得 代入t可计算出相应的表3-6年 份t粮食产量y90130477 9123321292332056934325029453545095638728967407319783791198939151991040298 0011394080112407550213446240314435290415442660516456440617444450071846500171709692最小二乘法它是分析长期趋势比较常用的方法。它的中心思想是要用数学模型给时列数列配合一条最理想的趋势线，使它能够完全代表了观

38、察值的发展趋势。怎样的趋势线才是最理想的呢？若满足最小值，则这条线为最理想的线。将直线方程代入上面要求中 令要使为最小值，变量a和b的偏导等于0（函数极值定理）即整理得：解得这个方程组，可得a和b的值。例如，仍用表3-5中粮食产量资料，试用最小二乘法配合直线趋势方程。解:用最小二乘法计算资料见表3-7。解得 a=30928.87 b=894.47 代入可求得表3-7年 份t粮食产量y19901304771304771991233212466424199233205699616819934325021613000819945354502517725019956387283623236819967

39、407314928511719978379116430328819989391518135235919991040298100402980200011394081214334882001124075514448906020021344624169580112200314435291966094062004154426622566399020051645644256730304200617444502897556502007184650032483700017170969221097175449为了方便计算，可取时间中间一项为原点，即为0，原点之前各项为负(、)，原点之后各项为正、2、），则，标

40、准方程式可简化为则当数列为奇数项时比较容易。当数列为偶数项时，计算稍有不同，如表3-7资料，原点应在第9项和第10项之间，第9年为-0.5，第十年为+0.5，第8年为-1.5，第11年为+1.5，即-5.5、-4.5、-3.5、-2.5、-1.5、0、1.5、2.5、3.5、4.5等，都带有小数，计算并不简单，可将时间序号扩大一倍，即-7、-5、-3、-1、1、3、5、7。代入方程求预测值时，应代入相应的。2.曲线方程的配合当现象的发展变化呈现曲线变动时，首先要判断应配合什么样的曲线：一是绘图观察大致呈什么形态（抛物线、指数等）二是根据变量值的变动规律（基本知识）如增长量、发展速度等其次，将曲

41、线方程转化为直线方程，然后根据以上两种方法求解，最后再还原为曲线方程。以指数曲线为例，当时间数列的环比发展速度或环比增长速度大致相等时，趋势线近似于一条指数曲线，可配合指数方程。 a初始水平，b平均发展速度，年份序号两边同取对数得：令 则有 则指数曲线已转化为直线方程。例如，某市历年人口资料如表3-8。表3-8年 份200220032004200520062007序 号（t）123456人口数（万人）（y）85.586.48874888.4789.4690.44环比发展速度（%）113113115112110从上表资料可见，该市人口环比发展速度大致相同，属于指数曲线，可配合指数方程（1）半数平

42、均法（见表3-9）表3-9年份tyy-20022003200420052006200712345685.586.4887.4688.4799.4690.441.931971.936921.941811.946801.951631.9563685.5186.4887.4688.4589.4590.46-0.01000.020.01-0.02合计11.665490解：=1.9369=1.9516代入方程中得 求得 则直线方程为：还原为指数曲线方程： 代入t可计算出相应的（2）最小二乘法解：取时间序号中间一项为零，相关资料计算见表3-10。表3-10年 份tY20022003200420052006

43、2007-5-3-113585.586.4887.4688.4799.4690.441.931971.936921.941811.946801.951631.9563625911925-9.65985-5.81076-1.941811.946805.854899.78180合 计0527.8111.66549700.17107则 还原成指数方程为： 代入t值，可求得当现象的二级增长量大致相等时，可配合抛物线方程。（二次曲线方程），它无法转化为直线方程，可直接使用以上两种方法直接求参数。在用半数平均法时，应均等地分为三部分，得出三个方程；同理，用最小二乘法时，分别对a、b、c求偏导，使其等于0，

44、得出三个方程。常见的曲线方程及其转化为直线方程的有：1、双曲线方程： 令 则2、幂函数曲线方程： 3、龚伯兹曲线方程：（指数曲线） 则 4、对数曲线 ： 5、S型曲线 ： 令 则 第四节 季节变动和循环变动的测定一、测定季节变动的意义（一）含义现象由于受到自然界的季节变化和各种社会因素的影响，而在一年内呈现出有规律的周期变动，这种变动我们称为季节变动。一年当中季节的更换对社会现象的变动有一定的影响，使事物在各个特定的季节内按一定的规律发生变动。常见的是一年为周期的上下波动，如农副产品蛋、蔬菜的产量有淡旺季之分，裙子、冷饮的销售量、皮茄克的销量等；人们的社会生活习惯和一个国家的制度规定等也会使现

45、象出现季节性变动，如节假日期间商品销售量出现高峰，过年前后铁路客运量出现高峰等。一日之内，上下班时间城市交通出现高峰等。所有这些一年之内带有规律性的周期性变动都称为季节变动（二）测定季节变动的作用1.掌握季节变动的周期、数量累限和规律性，便于制定行之有效的计划，采取适当的措施，进行合理的调度，更好地组织生产，流通和运输，安排好人民的生活，做到淡季不淡，旺季更旺（如在商业中，若能很好地掌握各种商品销售的季节变动规律，就能及时组织货源、保证供应，防止商品积压和脱销的现象发生。）2.利用测定出来的季节比率，可进行季节变动预测，并可以配合长期趋势的测定，规划来未来的行动，做出长期的决策。3.消除季节变

46、动因素对时间数列的影响，取得不含有季节变动因素的数据，以便于评价工作成绩，进行经济分析。二、季节变动的测定方法 测定季节变动常用的方法有两种 同期平均法长期趋势剔除法测定季节变动的主要方法是计算季节比率，用来反映季节变动的程度，季节比率高者为旺季，低者为淡季。若季节比率没有高低，则说明该现象不存在季节变动。由于时间数列的最大周期为一年，所以在以年为单位的时间数列中不可能有季节变动。为了测定季节变动，必须掌握五年或五年以上的分月或分季资料，以免因资料太少而受偶然因素的影响，显示不出季节变动的规律性。（一）同期平均法它是将不同年份中同一期（同月或同季）的数值相加求同期平均数，以消除不规则变动影响；

47、然后求若干年总的月（季）平均数；每月（或季）的平均数与总平均数相对比以求得季节比率。其步骤如下：第一、计算各年同期平均数第二、计算若干年总的平均数（所有月或季的平均数）第三、例如，某禽蛋加工厂五年各月的总产量资料如表4-1。各季如果没有季节变动时，各期的变量值应会相等，总的平均数就会有完全的代表性，各月的平均数与总的平均数相比等于100%，12个月的季节比率之和应为120%（季之和为400%），但是，因为存在着季节性变动，所以各月的平均数就会存在差异，与总平均数相比不一定为100%，有的高于100%，有的低于100%。 表4-1 单位：吨月/年12345合计同月平均数季节比率（%）123456

48、78910111210508090502089106050201554859351229911755422226088955623910148156232364909960301112158559252570939862321314199061289529843647527912750546939128011819.059.687.295.055.825.410.010.813.878.256.023.642.66133.84195.81213.32125.3057.0422.4624.2530.99175.60125.7552.99合计4575005375736052672534.41200

49、.00平均38.0841.6744.7547.7550.422226744.53100.00季节比率说明各期平均水平相对高低的程度，若季节比率高，说明为旺季，低说明为淡季。根据以上计算结果可发现，该禽蛋加工厂的总产量存在着明显的季节变动，春秋两季是旺季，其以四月份为最高峰，夏冬两季为淡季，尤其以7月份为最低。优点：计算简便、容易理解缺点：所得的季节比率有时不够精确。因为它没有剔除长期趋势的影响。预测：又知第6年14月份的加工量分别为：27、72、93、102吨，预测其它月份(6月)的加工量。则6月份加工量=50.2125.3%=62.9吨（二）长期趋势剔除法它是用移动平均法求得长期趋势值，然后

50、在原时间数列中消除长期趋势的影响，最后再用同期平均法计算季节比率。、 用除以T 从y中减去一般最常用的是除法.步骤：用移动平均法求T用实际数值除以T，以消除T 把按月（季）排列，同期对齐，求同期平均数以消除I即得季节比率某种商品的销售量资料如表4-2。（应使用5年及以上资料，这里用3年资料，从反面说明为什么资料不能太少。）表4-2年份季 别销售量（千件）y四项移动平均移正平均T趋势值剔除20051511.2511.51212.513.51414.515.25162831411.375123.0841811.75153.1920061612.2548.9321013.0076.9231613.7

51、5116.3642214.25154.3920071814.87553.7821215.62576.80319425同期平均法见表4-3。表4-31234合 计2005123.08153.19200648.9376.92116.36154.39200753.7876.80平均（季节指数）%51.35576.87119.72153.79400季节变动比率之和应为400%，否则进行调整。，怎样消除I，若存在不规则变动。每年同期数值应相等，但因为存在I，所以不等，将同期平均一下，得出一个代表性水平，它将不规则变动的影响就剔除了，平均后的数值就是季节指数，（它本身是个对数，好季节因素对时间数列影响的相

52、对值。）例2某禽蛋厂产量资料见表4-4、4-5。 表4-4 单位：吨 年份月份y(吨)T(吨)年份月份y(吨)T(吨)一1107940.622.225081041.424.238091441.633.7490108142.0192.9550115642.6131.5620122342.953.67838.320.9四12343.153.48938.723.326443.417.591039.225.539043.725.9106039.4152.349943.7226.5115039.6126.356043.8137.0122039.750.463043.968.3二11539.837.771

53、144.324.825439.8135.781244.626.938539.9213.091544.733.649340.6229.1108546.7182.055141.3123.5115948.7121.162241.652.9122548.851.27942.021.4五12548.951.18942.621.127049.0142.991140.527.739349.3188.6107538.3195.849849.6197.6115438.7139.556249.9124.2122240.154.963250.163.9三12239.455.871326039.6151.581438

54、839.7221.791949539.8238.7109055639.8140.7116162339.957.61228表4-5 月年123456789101112合 计一20.923.325.5152.3126.350.4二37.7135.7213.0229.1123.552.921.421.127.2195.8139.554.9三55.8151.5221.7238.7140.757.622.224.233.7192.9131.553.6四53.4147.5205.9226.5137.068.324.826.933.6182.0121.151.2五51.1142.9188.6197.6124

55、.263.9合计198.0577.6829.2891.9525.4242.789.395.5120.0723.0518.0210.1平均49.5144.4207.3223.0131.460.722.323.930.0180.8129.552.51255.3季节比率47.3138.0198.2213.2125.658.021.322.828.7172.8123.850.31200.0三、循环变动的意义。(一)作用1.通过描述经济循环的变动因素和变动程度，掌握现象波动的规律性，以便充分利用有利因素，避免不利因素，使国民经济持续稳定地发展。2.了解过去经济循环轨迹，掌握当前经济波动的实况，为预测下一

56、个循环变动，制订准确可靠的计划提供资料。3.掌握经济循环变动的信息，为制定消除经济循环波动的政策和措施提供依据。（二）测定循环变动的方法循环变动各个时期有不同的原因，波动程度也有自己的特点，而季节变动原因基本相同，周期相对稳定，所以不能用测定季节变动的方法来研究循环变动，通常用剩余法则来测定循环变动。基本方法是：用原时间数列除以ts，得反映循环变动和不规则变动的相对数列，再用移动平均法消除不规则变动，得出反映循环变动程度的数值。 （三项移动或五项移动平均） 例如，某禽蛋厂产量资料如表4-6，试测定循环变动。应该指出的是，循环变动有时需要的资料很多，很多现象在三五年内发现不了其循环变动规律，因此

57、，一般不好测定它；另外，循环变动预测和长期趋势预测不同，主要属于景气预测，在很大程度上要依靠经济分析，仅对历史资料作统计处理是不够的。表4-6年度月份实际产量（吨）y趋势值（吨）T季节比率（%）S（吨）循环变动C（三年）（%）057838.321.38.1698.048938.722.88.82102.0496.3291039.228.711.2588.8993.02106039.4172.868.0888.1393.01115039.6123.849.02102.0096.76122039.750.319.97100.1593.940611539.847.318.8379.6692.7125

58、439.8138.054.9298.3295.1638539.9198.279.08107.49104.4249340.6213.286.56107.44104.4255141.3125.651.8798.3298.9862241.658.024.1391.1796.687942.021.38.95100.5694.818942.622.89.7192.6995.9791140.528.711.6294.66100.23107538.3172.866.18113.33106.90115438.7123.847.91112.71111.70122240.150.320.17109.07113.2

59、70712239.447.318.64118.03112.3026039.6138.054.65109.79113.2238839.7198.278.69111.83111.1949539.8213.284.85111.96111.9455639.8125.649.9112.02107.7962339.958.023.1499.39思考与练习题一、思考题 1.什么是时间数列？它有什么作用？编制时间数列应注意那些基本要求？2.时期数列与时点数列有哪些不同特点？3.序时平均数与一般平均数的区别和联系。4.发展速度、增长量、增长速度平均发展速度和平均增长速度的关系如何？5.怎样由环比增长速度求定基增

60、长速度？6时间数列的影响因素归纳起来有哪几种？它们分别是由什么原因引起的？ 7.从变量值的变动规律角度，简述配合直线趋势模型、指数曲线模型和二次抛物线模型的条件分别是什么？8.直线趋势变动的特点是什么？什么是季节比率？测定季节比率有哪些方法？9什么是序时平均数？由间隔期相等和间隔期不相等的时点数列如何计算序时平均数？10.时间数列的影响因素有哪几种？各种因素以哪几种关系式组合成时间数列？11.什么是发展速度？定基发展速度和环比发展速度有何不同？二者关系如何？12.用几何平均法与方程式法计算平均发展速度有什么不同？二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在