固体物理复习题答案完整版

1、一简答题晶格常数为 a 的体心立方、面心立方结构，分别表示出它们的基矢、原胞体积以及最近邻的格点数。（答案参考教材 P78） a (i j k )12a1体心立方基矢：2(i j k )，体积： a3 ，最近邻格点数：822 a (i j k )32 a (i j)1面心立方基矢：22a1( j k )，体积： a3 ，最近邻格点数：1224 a (k i)32习题 1.5、证明倒格子矢量G h bh bh b垂直于密勒指数为(h h h) 的晶面系。1 12 23 31 2 3证明：因为CA a a1aa3 , CB 2 3hh13h2h3， G h b h b h b1 12 23 3利用

2、a b 2G，容易证明 1 2 CA 03ijijh h hGh h h CB 01 2 3所以，倒格子矢量G h b h b h b垂直于密勒指数为(h h h) 的晶面系。1 12 23 31 23习题 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k, l) 的晶面系，面间距d 满足： d 2 a2 (h2 k 2 l 2 ) ，其中a 为立方边长；解：简单立方晶格： a a12 a ， a31 ai , a2 aj , a3 ak3ba2 aa a3a a12由倒格子基矢的定义： 21a a a123，b 212a a a123，b 23a a a123倒格子基矢： b1 2ai ,

3、 b2 2aj , b3 2 k a倒格子矢量： G hb1kb2lb3， G h222i kj lk aaaG( h )2 ( k )2 ( l )2aaa晶面族(hkl) 的面间距： d 214.习题 1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。解： (111)、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB 平移，A 与 O 点重合，B 点位矢：R aj ak ，B(111)面与(100)面的交线的晶向 AB aj ak ，晶向指数0 11。、(111)面与(110)面的交线的 AB，将AB 平移

4、，A 与原点 O 重合，B 点位矢：R ai aj ，(111)面与(110)面的交线的晶向 AB ai aj ，晶向指数110 。B固体中基本结合类型有哪些？原子之间的排斥作用取决于什么原因？基本类型：离子性结合，共价结合，金属性结合和范德瓦尔结合四种基本形式相邻的原子靠得很近, 以至于它们内层闭合壳层的电子云发生重叠时, 相邻的原子间便产生巨大排斥力 . 也就是说, 原子间的排斥作用来自相邻原子内层闭合壳层电子云的重叠.（答案参考教材 P49）什么是声子？声子就是指格波的量子，它的能量等于 q 。在晶体中存在不同频率振动的模式，称为晶格振动。晶格振动能量可以用声子来描述，声子可以激发，也可

5、以湮灭。（答案参考教材 P92）对于一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系 WK 示意图，并说明光学模式和声学模式所反映的物理意义。（答案参考教材 P9597）解：（1）一维双原子链，在第一布里渊区内绘出色散关系 WK 示意图如下上面线条表示光学波，下面线条表示声学波。（2）当波矢 q 很小时，w 与 q 的关系类似于声波，此格波也可用超声波来激发，因此称为声学波，而离子晶体中的频率为 w 的格波可以用光波来激发，而且晶体有的光学性质与这一支波有关，故称为光学波。试用能带论简述导体、绝缘体、半导体中电子在能带中填充的特点。导体：除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分的被电子填充的能带，后

6、者可以起导电作用，称为导带;绝缘体：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各能带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电；半导体：由于存在一定的杂质，使能带填充情况有所改变，使导带中有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性，即使半导体中不存在任何杂质，也会由于热激发使少数电子由满带热激发到导带底产生本征导电.(答案参考教材 P250254)请问德拜模型的基本假设是什么？基本假设：以连续介质的弹性波来代表格波，晶体就是弹性介质，徳拜也就是把晶格当做弹性介质来处理的。（答案参考教材 P126129）晶体由 N 个原子组成，试求出德拜模型下的态密度、德拜频率的表达

7、式态密度： g() 3V2 ，频率表达式： _m C_ 6 2 ( NV)1/32 2 C3答案参考教材 P127129简述 Bloch 定理, 该定理必须采取什么边界条件？（答案参考教材 P154157）（1）当势场具有晶格周期性时，波动方程的解 具有如下性质： (r R) eik Rn (r)，其中k 为一矢量，此式就是布洛赫定理。它表明：当平移晶格矢量 Rn时，波函数只增加了位相因子 e ikRn 。（2）边界条件： (r) (r N )11其中 N ， N12， N 为沿，312，方向的原胞数，总的原胞N= N ? N312? N 。3二、证明 or 计算题已知某晶体中相距为 r 的相

8、邻原子的相互作用势能可表示为：U (r) rm ，其中 、 、mn 都是0 的常数，求：rn平衡时两原子间的距离；平衡时结合能； 思路参考教材 P5354解：（1）求平衡间距 r0du(r)dr由r r0 0 ，有：结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用 w 表示）（2）求结合能 w（单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即Umin11即：W U (r ) ()（可代入 r 值，也可不代入）202rmrn000已知 N

9、个质量为 m，间距为 a 的相同原子组成的一维原子链， (1)推导其色散关系(2)试绘出整个布里渊区内的色散关系，并说明截止频率的意义。? (3)试求出它的格波态密度函数 g()，并作图表示。解：（1） m ( ) ( ) ( 2 )nn 1nnn 1n 1n 1n设方程的解n Aeit naq ,代回方程中得到：2 241maq21 cos aq sin2 (aq) ， 2sinmm2（2） ，截止频率范围以外的 q 值并不能提供其他不同的波，q 的取值范围称为布里渊区。3V_（3） g() 2 ，代入 即可得出。2 2 C3答案参考教材 P8287习题 4-3. 电子在周期场中的势能函数1

10、V x 2m2 b2x na2 , 当na b x na b0, 当 n 1 a b x na b其中 a 4b ， 为常数，画出此势能曲线，并求其平均值；用近自由电子近似模型求出晶体的第一个以及第二个禁带的宽带。 解 ：(I)题设势能曲线如下图所示(2)势能的平均值：由图可见，V (x) 是个以a 为周期的周期函数，所以题设 a 4b ，故积分上限应为 a b 3b ，但由于在 b,3b区间内V (x) 0 ， 故只需在b,b区间内积分这时， n 0 ，于是V 1 b V (x)dx m2 b(b2 x2 )dx m2b2 x b1x3 b1 mb2 。ab2ab2ab3b 6（3），势能在

11、-2b,2b区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数利用积分公式 u2 cos mudu 16m2umu sin mu 2cos mu m22 sin mu 得m3E 1g 3m2b2 第二个禁带宽度 Eg2 x 2 V2,以m 2代入上式,代入上式2m2Eg2b b (b2 x2 )cos0dx 再次利用积分公式有E b2 bg2 24-3 用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与 s 态原子能级对应的能带的 k 函数。解：（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S态电子的能量可表示成：在面心立方中，有12个最近邻，若取 Rm 0 ，则这12个最近邻的坐标是：aaaa

12、(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1, 1,0)2222aaaa(0,1,1),(0,1,1),(0, 1,1),(0, 1, 1)2222aaaa(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0, 1)2222由于S态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此 J (RS) 有相同的值，简单表示为J = J (R ) 。又由于s态波函数为偶宇称，即 (r ) (r )1Sss在近邻重叠积分J (R) *( R) U () V (R)()d 中，波函数的贡献为正J 0。1sissi于是，把近邻格矢 RS代入 Es (RS) 表达式得到： aaaa= JS0J e1 i

13、 (k k )2xyei 2 (kx ky )ei 2 ( kx ky )ei 2 ( kx ky )eai(k k )a2yzae i 2 (ky kz )aae i 2 (ky kz )aae i 2 (ky kz ) +aei (k k )2xzei 2 (kx kz )ei 2 (kx kz ) ei 2( kx kz ) = J2Ja k ) a k) a k ) a k )S01 cos 2 (kxcos(k2xy cos 2 (kycos(k2yz = Jaaaaaas04J1 cos 2 kx cos 2 kycosk cosk2y2zcos 2 kz cos 2 kx （2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：习题 5-1. 晶格常数为 的一维晶体电子能量试求：能带宽度；波矢为 k 的电子速度；能带底部和顶部的电子有效质量解：（1） E(k ) 2(7 cos ka 1 cos 2ka)ma288271= coska+ (2cos2ka1)ma288