新教材 人教A版高中数学必修第二册全册各章节知识点考点汇总及解题规律方法提炼

1、人教A版必修第二册全册知识点汇总 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc58680761 第六章 平面向量及其应用 PAGEREF _Toc58680761 h 1 HYPERLINK l _Toc58680762 6.1平面向量的概念 PAGEREF _Toc58680762 h 1 HYPERLINK l _Toc58680763 6.2 平面向量的运算 PAGEREF _Toc58680763 h 5 HYPERLINK l _Toc58680764 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 PAGEREF _Toc58680764 h 22 HYPERLINK l

2、_Toc58680765 6.4.平面向量的应用 PAGEREF _Toc58680765 h 37 HYPERLINK l _Toc58680766 第七章 复数 PAGEREF _Toc58680766 h 51 HYPERLINK l _Toc58680767 7.1 复数的概念 PAGEREF _Toc58680767 h 51 HYPERLINK l _Toc58680768 7.2复数的四则运算 PAGEREF _Toc58680768 h 58 HYPERLINK l _Toc58680769 7.3*复数的三角表示 PAGEREF _Toc58680769 h 64 HYPER

3、LINK l _Toc58680770 第八章 立体几何初步 PAGEREF _Toc58680770 h 69 HYPERLINK l _Toc58680771 8.1基本立体图形 PAGEREF _Toc58680771 h 69 HYPERLINK l _Toc58680772 8.2立体图形的直观图 PAGEREF _Toc58680772 h 80 HYPERLINK l _Toc58680773 8.3 简单几何体的表面积与体积 PAGEREF _Toc58680773 h 83 HYPERLINK l _Toc58680774 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 PAGER

4、EF _Toc58680774 h 93 HYPERLINK l _Toc58680775 8.5 空间直线、平面的平行 PAGEREF _Toc58680775 h 104 HYPERLINK l _Toc58680776 8.6 空间直线、平面的垂直 PAGEREF _Toc58680776 h 114 HYPERLINK l _Toc58680777 第九章 统计 PAGEREF _Toc58680777 h 132 HYPERLINK l _Toc58680778 9.1随机抽样 PAGEREF _Toc58680778 h 132 HYPERLINK l _Toc58680779 9

5、.2用样本估计总体 PAGEREF _Toc58680779 h 138 HYPERLINK l _Toc58680780 9.3统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 PAGEREF _Toc58680780 h 145 HYPERLINK l _Toc58680781 第十章 概率 PAGEREF _Toc58680781 h 150 HYPERLINK l _Toc58680782 10.1 随机事件与概率 PAGEREF _Toc58680782 h 150 HYPERLINK l _Toc58680783 10.2事件的相互独立性 PAGEREF _Toc58680783 h 161 H

6、YPERLINK l _Toc58680784 10.3频率与概率 PAGEREF _Toc58680784 h 165第六章 平面向量及其应用6.1平面向量的概念1向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量(2)有向线段定义：具有方向的线段三个要素：起点、方向、长度表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向以A为起点、B为终点的有向线段记作eq o(AB,sup6()长度：线段AB的长度也叫做有向线段eq o(AB,sup6()的长度，记作|eq o(AB,sup6()|.(3)向量的表示名师点拨 (1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素(2)用有向线段表示向量

7、时，要注意eq o(AB,sup6()的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点2向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量eq o(AB,sup6()的大小，称为向量eq o(AB,sup6()的长度(或称模)，记作|eq o(AB,sup6()|(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量3两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量若a，b是平行向量，记作ab.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0a(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作ab.名师点拨 (1)平行向量也

8、称为共线向量，两个概念没有区别(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同典型应用1向量的相关概念给出下列命题：若eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；在ABCD中，一定有eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()；若ab，bc，则ac.其中所有正确命题的序号为_【解析】eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故不正确；在ABCD中，|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|，eq

9、o(AB,sup6()与eq o(DC,sup6()平行且方向相同，故eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，故正确；ab，则|a|b|，且a与b的方向相同；bc，则|b|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故ac，故正确【答案】eq avs4al()(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件有大小；有方向两个条件缺一不可(2)理解零向量和单位向量应注意的问题零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；单位向量不一定相等，易忽略向量的方向 典型应用2向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)eq o(OA,sup6(

10、)，使|eq o(OA,sup6()|4eq r(2)，点A在点O北偏东45方向上；(2)eq o(AB,sup6()，使|eq o(AB,sup6()|4，点B在点A正东方向上；(3)eq o(BC,sup6()，使|eq o(BC,sup6()|6，点C在点B北偏东30方向上【解】(1)由于点A在点O北偏东45方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|eq o(OA,sup6()|4eq r(2)，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量eq o(OA,sup6()，如图所示(2)由于点B在点A正东方向上

11、，且|eq o(AB,sup6()|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量eq o(AB,sup6()，如图所示(3)由于点C在点B北偏东30方向上，且|eq o(BC,sup6()|6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq r(3)5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量eq o(BC,sup6()，如图所示eq avs4al()用有向线段表示向量的步骤 典型应用3共线向量与相等向量如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，在

12、每两点所确定的向量中(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？【解】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq o(OD,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(AO,sup6()，eq o(FE,sup6().(2)与a共线的向量有eq o(EF,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(OD,sup6()，eq o(FE,sup6()，eq o(CB,sup6()，eq o(DO,sup6()，eq o(AO,sup6()，eq o(DA,sup6()，eq o(AD,sup6().1变条件、变问法本例中若eq o(OC,sup6()

13、c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向量解：与a相等的向量有eq o(EF,sup6()，eq o(DO,sup6()，eq o(CB,sup6()；与b相等的向量有eq o(DC,sup6()，eq o(EO,sup6()，eq o(FA,sup6()；与c相等的向量有eq o(FO,sup6()，eq o(ED,sup6()，eq o(AB,sup6().2变问法本例条件不变，与eq o(AD,sup6()共线的向量有哪些？解：与eq o(AD,sup6()共线的向量有eq o(EF,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(OD,sup6()，eq o(FE,sup

14、6()，eq o(CB,sup6()，eq o(DO,sup6()，eq o(AO,sup6()，eq o(DA,sup6()，eq o(OA,sup6().eq avs4al()共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若ab，bc，则可推出ac.注意对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况 6.2 平面向量的运算62.1向量的加法运算1向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角

15、形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A，作eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，再作向量eq o(AC,sup6()结论向量eq o(AC,sup6()叫做a与b的和，记作ab，即abeq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线eq o(OC,sup6()就是a与b的和图形规定对于零向量与任一向量a，我们规定a0eq avs4al()0eq avs4al()aa名师点拨 (1)两个

16、法则的使用条件不同三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型2|ab|，|a|，|b|之间的关系一般地，|ab|a|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立3向量加法的运算律交换律abba结合律(ab)ca(bc)典型应用1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a，b，c，求作和向量abc.【解】法一：可先作ac，再作(ac)b，即abc.如图，首先在

17、平面内任取一点O，作向量eq o(OA,sup6()a，接着作向量eq o(AB,sup6()c，则得向量eq o(OB,sup6()ac，然后作向量eq o(BC,sup6()b，则向量eq o(OC,sup6()abc为所求法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，(1)在平面内任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b；(2)作平行四边形AOBC，则eq o(OC,sup6()ab；(3)再作向量eq o(OD,sup6()c；(4)作平行四边形CODE，则eq o(OE,sup6()eq o(OC,sup6()cabc.eq o(OE,sup6(

18、)即为所求eq avs4al()(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点；以这两个已知向量为邻边作平行四边形；平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和 典型应用2平面向量的加法运算化简：(1)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()；(2)eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()；(3)eq o(AB,s

19、up6()eq o(DF,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(FA,sup6().【解】(1)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6().(2)eq o(DB,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()(eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(DB,sup6()0.(

20、3)eq o(AB,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(FA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(FA,sup6()0.eq avs4al()向量加法运算中化简的两种方法(1)代数

21、法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简 典型应用3向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为4eq r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】如图，设此人游泳的速度为eq o(OB,sup6()，水流的速度为eq o(OA,sup6()，以eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()为邻边作OACB，则此人的实际速度为eq o(OA,sup6()eq o(OB

22、,sup6()eq o(OC,sup6().由勾股定理知|eq o(OC,sup6()|8，且在RtACO中，COA60，故此人沿与河岸成60的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时eq avs4al()应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题 62.2向量的减法运算1相反向量(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作a，并且规定，零向量的相反向量仍是零

23、向量(2)结论(a)a，a(a)(a)a0；如果a与b互为相反向量，那么ab，ba，ab0名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量2向量的减法(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法(2)作法：在平面内任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则向量eq o(BA,sup6()ab，如图所示(3)几何意义：ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量名师点拨 (1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向

24、量终点，箭头指向被减向量”即可(3)对于任意两个向量a，b，都有|a|b|ab|a|b|.典型应用1向量的减法运算化简下列各式：(1)(eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(MO,sup6()；(2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6().【解】(1)法一：原式eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(BO,sup6()(eq o(OM,sup6()eq o(MB,sup6()eq

25、o(AO,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(AB,sup6().法二：原式eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(MO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(AB,sup6()0eq o(AB,sup6().(2)法一：原式eq o(DB,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CB,sup6().法二：原式eq o(AB,sup6()

26、(eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CB,sup6().eq avs4al()向量减法运算的常用方法 典型应用2向量的减法及其几何意义如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.【解】法一：如图，在平面内任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，连接BC，则eq o(CB,sup6()bc.过点A作AD綊BC，连接OD，则eq o(AD,sup6()bc，所以eq o(OD,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AD,sup

27、6()abc.法二：如图，在平面内任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，连接OB，则eq o(OB,sup6()ab，再作eq o(OC,sup6()c，连接CB，则eq o(CB,sup6()abc.法三：如图，在平面内任取一点O，作eq o(OA,sup6()a，eq o(AB,sup6()b，连接OB，则eq o(OB,sup6()ab，再作eq o(CB,sup6()c，连接OC，则eq o(OC,sup6()abc.eq avs4al()求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)

28、可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量 典型应用3用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，eq o(AE,sup6()c，试用向量a，b，c表示向量eq o(CD,sup6()，eq o(BC,sup6()，eq o(BD,sup6().【解】因为四边形ACDE是平行四边形，所以eq o(CD,sup6()eq o(AE,sup6()c，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup

29、6()ba，故eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()bac.eq avs4al()用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则例如，在四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DA,sup6()0. 62.3向量的数乘运算1向量的数乘的定义一般地

30、，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0名师点拨 是实数，a是向量，它们的积a仍然是向量实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如a，a均没有意义2向量数乘的运算律设，为实数，那么：(1)(a)()a(2)()aaa(3)(ab)ab3向量的线性运算及向量共线定理(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b(2)向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba名师点拨 若

31、将定理中的条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.典型应用1向量的线性运算(1)计算：4(ab)3(ab)8a；(5a4bc)2(3a2bc)；eq f(2,3)eq blcrc(avs4alco1(（4a3b）f(1,3)bf(1,4)（6a7b）).(2)设向量a3i2j，b2ij，求eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)ab)eq blc(rc)(avs4alco1(af(2,3)b)(2ba)【解】(1)原式4a4b3a3b8a7a7b.原式5a4bc6a4b2cac.原式eq f(2,3)eq

32、blc(rc)(avs4alco1(4a3bf(1,3)bf(3,2)af(7,4)b)eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)af(11,12)b)eq f(5,3)aeq f(11,18)b.(2)原式eq f(1,3)abaeq f(2,3)b2baeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)11)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)2)beq f(5,3)aeq f(5,3)beq f(5,3)(3i2j)eq f(5,3)(2ij)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(10,3)ieq blc(rc)(avs4

33、alco1(f(10,3)f(5,3)jeq f(5,3)i5j.eq avs4al()向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 典型应用2向量共线定理及其应用已知非零向量e1，e2不共线(1)如果eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BC,sup6()2e1

34、8e2，eq o(CD,sup6()3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值【解】(1)证明：因为eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2e18e23e13e25(e1e2)5eq o(AB,sup6().所以eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线(2)因为ke1e2与e1ke2共线，所以存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有eq blc(a

35、vs4alco1(k0，,k10，)所以k1.eq avs4al()向量共线定理的应用(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行 (2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，则eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()共线，又eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法典型应用3用已知向量表示其他向量如图，ABCD是一个梯形，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()且|eq o

36、(AB,sup6()|2|eq o(CD,sup6()|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq o(AB,sup6()e1，eq o(AD,sup6()e2，试用e1，e2表示下列向量(1)eq o(AC,sup6()_；(2)eq o(MN,sup6()_【解析】因为eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()，|eq o(AB,sup6()|2|eq o(CD,sup6()|，所以eq o(AB,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6().(1)eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()

37、eq o(DC,sup6()e2eq f(1,2)e1.(2)eq o(MN,sup6()eq o(MD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AN,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)e1e2eq f(1,2)e1eq f(1,4)e1e2.【答案】(1)e2eq f(1,2)e1(2)eq f(1,4)e1e2变条件在本例中，若条件改为eq o(BC,sup6()e1，eq o(AD,sup6()e2，试用e1，e2表示向量eq o(MN,sup6().解：因为eq

38、 o(MN,sup6()eq o(MD,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AN,sup6()，eq o(MN,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(BN,sup6()，所以2eq o(MN,sup6()(eq o(MD,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(AN,sup6()eq o(BN,sup6()又因为M，N分别是DC，AB的中点，所以eq o(MD,sup6()eq o(MC,sup6()0，eq o(AN,sup6()eq o(BN,sup6()0.所以2eq

39、 o(MN,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(CB,sup6()，所以eq o(MN,sup6()eq f(1,2)(eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)e2eq f(1,2)e1.eq avs4al()用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 62.4向量的数量积1两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，则A

40、OB(0)叫做向量a与b的夹角(2)特例：当0时，向量a与b同向；当eq f(,2)时，向量a与b垂直，记作ab；当时，向量a与b反向名师点拨 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，BAC不是向量eq o(CA,sup6()与eq o(AB,sup6()的夹角作eq o(AD,sup6()eq o(CA,sup6()，则BAD才是向量eq o(CA,sup6()与eq o(AB,sup6()的夹角2向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_.规定零向量

41、与任一向量的数量积为0名师点拨(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定(2)两个向量的数量积记作ab，千万不能写成ab的形式3投影向量如图(1)，设a，b是两个非零向量，eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b，我们考虑如下变换：过eq o(AB,sup6()的起点A和终点B，分别作eq o(CD,sup6()所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq o(A1B1,sup6()，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，eq o(A1B1,sup6()叫做向量a在向量b上的投

42、影向量如图(2)，在平面内任取一点O，作eq o(OM,sup6()a，eq o(ON,sup6()b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq o(OM1,sup6()就是向量a在向量b上的投影向量(2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，则eq o(OM1,sup6()|a|cos e.名师点拨 当0时，eq o(OM1,sup6()|a|e；当eq f(,2)时，eq o(OM1,sup6()0；当eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2)时，eq o(OM1,sup6()与b方向相同；当eq blc(rc(avs4alco1(f(,2)，)时，eq o(OM1,

43、sup6()与b方向相反；当时，eq o(OM1,sup6()|a|e.4向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos .(2)abab0(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|eq r(aa).(4)|ab|a|b|.名师点拨 对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直5向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacb

44、c(分配律)名师点拨 (1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.(2)(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立(3)(ab)2a22abb2.典型应用1平面向量的数量积运算(1)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD中，|eq o(AB,sup6()|4，|eq o(AD,sup6()|3，DAB60，求：eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()；eq o(AB,sup

45、6()eq o(DA,sup6().【解】(1)(a2b)(a3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192.(2)因为eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，且方向相同，所以eq o(AD,sup6()与eq o(BC,sup6()的夹角是0，所以eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()|eq o(AD,sup6()|eq o(BC,sup6()|cos 03319.因为eq o(AB,sup6()与eq o(AD,sup6()的夹角为60，所以eq o(AB,sup6()与eq o

46、(DA,sup6()的夹角为120，所以eq o(AB,sup6()eq o(DA,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(DA,sup6()|cos 12043eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)6.变问法若本例(2)的条件不变，求eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6().解：因为eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(BD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()，所以eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()(eq o(AB,sup6()eq

47、o(AD,sup6()(eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()29167.eq avs4al()向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 典型应用2向量模的有关计算(1)已知平面向量a与b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|()A.eq r(3)B2eq r(3)C4 D12(2)向量a，b满足|a|1，|ab|eq f(r(3),2)，a与b的夹角为60，

48、则|b|()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(1,5) D.eq f(1,4)【解析】(1)|a2b|eq r(（a2b）2)eq r(a24ab4b2)eq r(|a|24|a|b|cos 604|b|2) eq r(4421f(1,2)4)2eq r(3).(2)由题意得|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 60eq f(3,4)，即1|b|2|b|eq f(3,4)，解得|b|eq f(1,2).【答案】(1)B(2)Beq avs4al()求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方

49、(2)aaa2|a|2或|a|eq r(a2)，可以实现实数运算与向量运算的相互转化 典型应用3向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角(1)已知|a|6，|b|4，(a2b)(a3b)72，则a与b的夹角为_；(2)(2019高考全国卷改编)已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为_【解析】(1)设a与b的夹角为，(a2b)(a3b)aa3ab2ba6bb|a|2ab6|b|2|a|2|a|b|cos 6|b|26264cos 64272，所以24cos 36729612，所以cos eq f(1,2).又因为eq blcrc(avs4alco1(0，)，所以e

50、q f(,3).(2)设a与b的夹角为，由(ab)b，得(ab)b0，所以abb2，所以cos eq f(b2,|a|b|).又因为|a|2|b|，所以cos eq f(|b|2,2|b|2)eq f(1,2).又因为0，所以eq f(,3).【答案】(1)eq f(,3)(2)eq f(,3)命题角度二：证明两向量垂直已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，求证：b(atb)【证明】因为|atb|eq r(（atb）2)eq r(a2t2b22tab)eq r(|b|2t22abt|a|2)，所以当teq f(2ab,2|b|2)eq f(ab,|b|2)时，|atb|有最小值

51、此时b(atb)batb2abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,|b|2)|b|2abab0.所以b(atb)命题角度三：利用夹角和垂直求参数(1)已知ab，|a|2，|b|3且向量3a2b与kab互相垂直，则k的值为()Aeq f(3,2) Beq f(3,2)Ceq f(3,2) D1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为eq f(,3)，则实数_【解析】(1)因为3a2b与kab互相垂直，所以(3a2b)(kab)0，所以3ka2(2k3)ab2b20.因为ab，所以ab0，又|a|2，|b|3，所以12k180，keq f(3,2).(2)

52、由3ab7c0，可得7c(3ab)，即49c29a22b26ab，而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，则49926cos eq f(,3)，即23400，解得8或5.【答案】(1)B(2)8或5eq avs4al()求向量a与b夹角的思路(1)求向量a与b夹角的关键是计算ab及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos eq f(ab,|a|b|)，最后借助 0，求出的值 (2)在个别含有|a|，|b|与ab的等量关系中，常利用消元思想计算cos 的值6.3 平面向量基本定理及坐标表示63.1平面向量基本定理平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这

53、一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2基底若e1，e2不共线，把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底名师点拨 (1)e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，e1，e2的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底(2)基底e1，e2确定后，实数1，2是唯一确定的典型应用1平面向量基本定理的理解设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出满足条件的序号)【解析】设e1e2e1，则eq blc(avs4alco1(1，,10，)无

54、解，所以e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一组基底设e12e2(e22e1)，则(12)e1(2)e20，则eq blc(avs4alco1(120，,20，)无解，所以e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一组基底因为e12e2eq f(1,2)(4e22e1)，所以e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一组基底设e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则eq blc(avs4alco1(10，,10，)无解，所以e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一组基底【答案】eq avs4al()对基底的理解(1)两个向

55、量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示出来设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1ay1bx2ay2b，则eq blc(avs4alco1(x1x2，,y1y2.)提醒一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样典型应用2用基底表示平面向量如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，试用基底a，b表示向量eq o(DE,sup6()，eq o(

56、BF,sup6().【解】eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()aeq f(1,2)b.eq o(BF,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()beq f(1,2)

57、a.1变问法本例条件不变，试用基底a，b表示eq o(AG,sup6().解：由平面几何知识知BGeq f(2,3)BF，故eq o(AG,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BG,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BF,sup6()aeq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)a)aeq f(2,3)beq f(1,3)aeq f(2,3)aeq f(2,3)b.2变条件若将本例中的向量“eq o(AB,sup6()，eq o(AD,sup6()”换为“eq o(CE,sup6()，eq o(CF,sup6()”，

58、即若eq o(CE,sup6()a，eq o(CF,sup6()b，试用基底a，b表示向量eq o(DE,sup6()，eq o(BF,sup6().解：eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CE,sup6()2eq o(FC,sup6()eq o(CE,sup6()2eq o(CF,sup6()eq o(CE,sup6()2ba.eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()2eq o(EC,sup6()eq o(CF,sup6()2eq o(CE,sup6()eq o(CF,sup6()2ab.eq avs4al()用基底表

59、示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解 典型应用3平面向量基本定理的应用如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN.【解】设eq o(BM,sup6()e1，eq o(CN,sup6()e2，则eq o(AM,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CM,sup6()3e2e1，eq o(BN,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CN,sup6()2e1e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，所

60、以存在实数，使得eq o(AP,sup6()eq o(AM,sup6()e13e2，eq o(BP,sup6()eq o(BN,sup6()2e1e2.故eq o(BA,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(AP,sup6()(2)e1(3)e2.而eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()2e13e2，由平面向量基本定理，得eq blc(avs4alco1(22，,33，)解得eq blc(avs4alco1(f(4,5)，,f(3,5).)所以eq o(AP,sup6()eq f(