【数学导学案】华师大版初三数学九年级数学下册全册导学案

1、二次函数导学案26.1二次函数及其图像26.1.1二次函数九年级下册编号01【学习目标】了解二次函数的有关概念会确定二次函数关系式中各项的系数。确定实际问题中二次函数的关系式。【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。【学习过程】一、知识链接：若在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的，x叫做。形如(的函数是一次函数，当时，它是函数；形如_yo)ko(的函数是反比例函数。0)k二、自主学习：1用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(m2)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。分析：在这个问题中，可设

2、长方形生物园的长为x米，则宽为米，如果将面积记为y平方是二次函数，则m的值为2米，那么y与x之间的函数关系式为y=，整理为yn支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式是。观察上述函数函数关系有哪些共同之处？5.归纳：一般地，形如，(,abca是常数，且)的函数为二次函数。其中x是自变量，a是，b是，c是三、合作交流：(1)二次项系数a为什么不等于0?2(2)次项系数b和常数项c可以为0吗?答：四、跟踪练习1.观察：6yx2:丫=200 x35yx2+40Ox+200

3、:32yxx213yxx;2只填序号)2这六个式子中二次函数有yxx2.2(1)31mmymxx若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为2，则当t=4秒时，该物体所经52s11过的路程为。二次函数2当x=2时，严3,则这个二次函数解析式为为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.26.1.2二次函数2的图象九年级下册编号02【学习目标】1知道二次函数的图象是一条抛物线；3会画二次

4、函数y=ax2的图象；掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活应用.（重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.【学习过程】、知识链接：:；反比例函数图象的形状是1.画一个函数图象的一般过程是2.一次函数图象的形状是二、自主学习(一)画二次函数y=x2的图象列表：x?3210123?y=x2在图(3)中描点，并连线1 1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答：2.归纳：由图象可知二次函数2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，耳哋出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；抛物线2是轴对称图形，对

5、称轴是；2的图象开口；xyy2341234122 45678910O（1）xy3412341212123456710O（2）xy23412341212345678O（3）4与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线即当x=0时，y有最趋势；即的顶点坐标是它是抛物线的最点（填“高”或“低”），值等于0.在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈x0时，y随x的增大而（二）例1在图（4）中，画出函数221，2y，2y的图象.2xy解：列表：x?432101234221xy?2y归纳：抛物线221，2y，2y的图2xy象的形状都是；顶点都是;对称轴都是;二次项系数a0；开口都；顶点都是

6、抛物线的最点（填“高”或“低”）归纳：抛物线221，2y2xy的的图象的形状都是；顶点都是；对称轴都是；二次项系数a0；开口都；顶点都是抛物线的最点（填“高”或“低”）例2请在图（4）中画出函数221，2y2y的图象.2xy列表：x?-4-3-2-101234221xy?x?2-1.51-0.500.511.5222xy?xy45123452312345678910123458910O（4）5x?32101232三、合作交流归纳：抛物线2的性质axy图象（草图）对称轴顶点开口方向有最高或最低点最值a0当x=时，y有最值，是aV0有最时，y值，2.当a0时,的增大而在对称轴的左侧，即x0时，y随

7、x；在对称轴的右侧，0时y随x的增大而3在前面图对，它们分别是哪些？（4）中，关于x轴对称的抛物线有答：。由此可知和抛物线关于当aVO时，aX轴对称的抛物线是4当a0时，a越大，抛物线的开口越越大，抛物线的开口越；因此，a越大，抛物线的开口越四、课堂训练x?2-1.51-0.500.511.52?2xy1函数273的图象顶点是，对称轴是，开口向，当X=_yTOC o 1-5 h z时，有最值是2.函数2的图象顶点是，对称轴是，开口向，当x=时，有最值是二次函数2的图象开口向下，则mxmy二次函数=皿乂22m有最高点，则m=二次函数y=(k+l)xTOC o 1-5 h z的图象如图所示，贝比的

8、取值范围为6若二次函数2的图象过点（1，2），贝a的值是7辱3如图，抛物线252xy2xy25xy2开口从小到大排列是xy;（只填序号）其中关于x轴对称的两条抛物线是和。点A（21，b）是抛物线2上的一点，贝IJb=；过点A作x轴的xy2与22y九年级下册编号03平行线交抛物线另一点B的坐标是9如图，A、B分别为上两点，且线段AB丄y轴于点(0,6)，若AB=6,则该抛物线的表达式为10.当皿=时，抛物线mmxmy2)1(开口向下11.二次函数与直线32(1)求a、b的值;交于点P(1,b)xy(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.26.1.3二次函数khx

9、ay2的图象(一)【学习目标】1知道二次函数kaxy2与2的联系axy72.掌握二次函数kaxy2的性质，并会应用；【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数的性质学习，要构建一个知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线12可以看做是由直线得到的。xyxy2练：若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3）,求这个函数的解析式。解：由此你能推测二次函数 xy的图象之间又有何关系吗？猜想：二、自主学习（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2，iy2xy,12xy的图象2可以发现，把抛物线2向平移个单位，就得到抛物线12xy；把抛物线2向平移个单位就得到抛物线12 xy.3抛物线2，12yx

10、y,12xy的形状.开口大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线kaxy特点：x?32xy? 12xy?填表：开口方向顶点对称轴有最高（低）点增减性2xy12xyxy xiyy=x21O8当时，开口向；当时，开口0a0a顶点坐标是3.对称轴是（二）抛物线kaxy2与2kaxy形状相同，位置不同，2ax是由2填上下或左右）下。yax平移得到的。二次函数图象的平移规律：上（三）a的正负决定开口的不变，则抛物线的形状；a决定开口的，即a因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。三、跟踪练习：1.抛物线2TOC o 1-5 h z向上平移3个单位，就得到抛物线；2xy抛物线2向

11、下平移4个单位，就得到抛物线2xy2抛物线232xy向上平移3个单位后的解析式为，它们的形状，当x=时，y有最值是。3由抛物线352xy平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向平移个单位得到的。写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线2的方向相反，形状相同的抛物线解析式.抛物线14 9xy关于x轴对称的抛物线解析式为6.二次函数kaxy20a的经过点A(1,-1)、B(2,5).求该函数的表达式；若点C(-2,m),D(n，7)也在函数的上，求m、n的值。26.1.3二次函数khxay2的图象(二)九年级下册编号04【学习目标】1会画二次函数2的图象；)(hxay知道二

12、次函数2与)(hxay2的联系axy掌握二次函数2的性质，并会应用；)(hxay【学习过程】一、知识链接：1.将二次函数2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为2xy2.将抛物线142xy的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。二、自主学习画出二次函数2)1(xy2xy的图象；先列表：)1(x?-4-3-2101234?2)1(xy? 2)1(xy?归纳：(1)2的开口向，对称轴)1(xyTOC o 1-5 h z是直线，顶点坐标是。图象有最点，即x=时，y有最值是；在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时y随x的增大而。2可以看作由)1(xy2向平移个单位形成的

13、。 -1-2的开口向，对称轴是直)1(xy线，顶点坐标是，图象有最时，y有最值是；在对称轴的左侧，即x的增大而y随x的增大而2可以看作由)1(xy2向平移三、知识梳理(一)抛物线时，y随x；在对称轴的右侧，即x个单位形成的。点，即x=时2特点：)(hxay1.当时，开口向0ax；当时，开口0a1-1-2-3-4-56-712345678 2345678910O10；3.对称轴是直线2.顶点坐标是（二）抛物线2与）（hxay2形状相同，位置不同2ax是由）（hxay2yax平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：左右，上下。（三）a的正负决定开口的；a决定开口

14、的，即a不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。四、课堂训练1抛物线2的开口；顶点坐标为；对称轴是直线；当乂23yx时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。抛物线2TOC o 1-5 h z的开口；顶点坐标为；对称轴是直线；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。抛物线2的开口；顶点坐标为；对称轴是；21yx抛物线2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为.5yx抛物线 2向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为4yx6将抛物线2123TOC o 1-5 h z向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为x抛物线2

15、与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标为 HYPERLINK l bookmark497 o Current Document 2yx写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线2都相同的二次函数解析式2yx26.1.3二次函数khxay2的图象（三）九年级下册编号05【学习目标】1会画二次函数的顶点式khxay2的图象；2掌握二次函数khxay2.抛物线的性质；【学习过程】一、知识链接：11将二次函数2-的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为将抛物线2的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为。二、自主学习在右图中做出2的图象：2yx观察：1.抛物线2开口向；12yx顶点坐标是；对称轴

16、是直线。 212yx2的形状，位置。（填“相同”或“不同”）3.抛物线2是由12yx2如何平移得到的？答：三、合作交流平移前后的两条抛物线a值变化吗？为什么？答：四、知识梳理结合上图和课本第9页例3归纳（一）抛物线2的特点:（）+yaxhk；当时，开口0a；3.对称轴是直线当时，开口向0a顶点坐标是二）抛物线与()+yaxhk2形状，位置不同，2ax()+yaxh是由k2平移得到的。二次函数图象的平移规律：左右，上下(三)平移前后的两条抛物线a值。五、跟踪训练1.二次函数2)1(212xy的图象可由221的图象()向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到

17、向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到122.抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到xyy=x22341234512312345678910O12开口y,当x=，顶点坐标是，对称轴是时，y有最值为。3.填表：4.函数2的图象可由函数23lyx2的图象沿x轴向平移个单位，再沿y2yx轴向平移个单位得到。5.若把函数2的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式523yx为。6.顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线2相同的解析式为(A?21232yxB21232yxc21232yxD212327.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线22相同，对称轴和抛物线相同，且顶2yx点

18、纵坐标为0,求此抛物线的解析式.26.1.3二次函数khxay2的图象（四）九年级下册编号06【学习目标】会用二次函数khxay2的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：1.抛物线2开口助3yx，顶点坐标是，对称轴是,当x=时，y有最值为。当x时，y随x的增大而增大.23yx23yx2(3)yx24(5)3yx开口方向顶点对称轴132.抛物线2是由2(+l)3yx2如何平移得到的？答：二、自主学习抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。2.仔细阅读课本第10页例4：分析：由题意可知：池中心是是喷头，线段的长度是1米，线段

19、由已知条件可设抛物线的解析式为解析式中有一个待定系数，所以只需再确定是。求水管的长就是通过求点的，水管是，点的长度是3米。抛物线的个点的坐标即可，这个点坐标。二、跟踪练习：如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米AO=3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.（1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标;143求出这条抛物线的函数解析式；三、能力拓展知识准备如图抛物线2与X轴交于A,B两点，交y轴于点D,抛物4yx线的顶点为点C求厶ABD的面积。求厶ABC的面积。点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为4时，求所有符合条件

20、的点P的坐标。点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。点P是抛物线上一动点，当ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。Xy1123112DCBOAxyBPAMOxyDBAOC如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O,且与轴、轴分别相交于两点求出直线AB的函数解析式；若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M,顶点C在。M上，开口向下，且经过点B,求此抛物线的函数解析式；设(2)中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P,使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.26.1.4二次函数2的图象yaxbxc九年级下册编号07【学习目标】能通过

21、配方把二次函数cbxaxy2化成2的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐()+yaxhk标。熟记二次函数cbxaxy2的顶点坐标公式；会画二次函数一般式cbxaxy2的图象【学习过程】一、知识链接：(2)151.抛物线时y有最时，y随x2的顶点坐标是；对称轴是直线；当乂=231yx值是；当乂时，y随x的增大而增大；当x的增大而减小。2所以这种形式的方法转化为二次函数解析式2中，很容易确定抛物线的顶点坐标为被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数222xxy的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：222xxy的顶点坐标是，对称轴是.（3

22、）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：22xxy12xxycbxaxy2cbxaxy,因此抛物线cbxaxy（5）归纳：二次函数的一般形式2可以用配方法转化成顶点式：2的顶点坐标是；对称轴是（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。4322xxy22xxyxxy4 （二）、用描点法画出1222xxy的图像.列表时一般以对称轴为中心，对称取值（1）顶点坐标为（2）列表：顶点坐标填在）x?3)描点，并连线：观察：图象有最点，即x=

23、时，y有最值是；x时，y随x的增大而增大；x时y随x的增大而减小。该抛物线与y轴交于点。该抛物线与x轴有个交点.三、合作交流求出12212xxy顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵2x坐标？计算并比较。26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式九年级下册编号08【学习目标】能根据已知条件选择合适的二次函数解析式会用待定系数法求二次函数的解析式。学习过程】、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为(-1，2)，且经过点(0,4)求该函数的解析式.解：二、自主学习1.一次函数经过点A(-l,2)和点B(2,5),求该一次函数的解析式。bkxy分析：要求出函数解析式，需求出bk,的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出12212xxyxy234567123123423456O17关于bk,的二元一次方程组即可。解：已知一个二次函数的图象过（1,5）、（）、（2,11）三点，求这个二次函数的解析式。分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有个待定系数,它们分别是,所以一般需要个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式khxay