新高考一轮复习人教A版 5.2　平面向量基本定理及坐标表示 学案

1、PAGE PAGE 75. 2平面向量基本定理及坐标表示1. 理解平面向量基本定理及其意义. 2. 借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3. 会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4. 能用坐标表示平面向量共线的条件. 【教材梳理】1. 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2. 我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2. 平面向量的正交分解及坐标表示(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)线性运算的坐标表

2、示类别文字叙述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和. 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2). 减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差. 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2). 两点构成的向量坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1). 数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 若a(x，y)，R，则a(x，y). (3)平面向量共线的坐标表示：设a(x1，y1)，

3、b(x2，y2)，其中b0，向量a，b共线的充要条件是x1y2x2y10. 【常用结论】3. 平面向量基本定理的推论(1)设a1e12e2，b3e14e2(1，2，3，4R)，且e1，e2不共线，若ab，则13且24. (2)若a与b不共线，且ab0，则0. (3)平面向量基本定理的推论(教材例1)：已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq o(OP,sup6()(1t)eq o(OA,sup6()teq o(OB,sup6(). 特别地，当teq f(1,2)时，点P是线段AB的中点. 对于平面内任意一点O，P，

4、A，B三点共线存在唯一的一对实数，使得eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，且1. 4. 重要坐标公式已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2,2)，f(y1y2,2)，ABC的重心坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(x1x2x3,3)，f(y1y2y3,3). 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”. (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. ()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12

5、. ()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示. ()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是eq f(x1,x2)eq f(y1,y2). ()(5)向量的坐标就是向量终点的坐标. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (2021六安市高一期中)设e1，e2是平面内不共线的两个向量，则以下各组向量中不能作为基底的是 ()A. e12e2与e22e1 B. e2与e1e2 C. e12e2与4e22e1 D. e1e2与e1e2 解：因为e1，e2是平面内不共线的两个向量，对于A，因为e12e2与e22e1不共线

6、，故可以作为基底；对于B，因为e2与e1e2不共线，故可以作为基底；对于C，因为e12e2eq f(1,2)(4e22e1)，故e12e2与4e22e1共线，不可以作为基底；对于D，因为e1e2与e1e2不共线，故可以作为基底. 故选C. (教材练习改编)已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则2eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6() ()A. (9，7) B. (7，6) C. (1，5) D. (0，3)解：依题意得eq o(AB,sup6()(2，1)，eq o(CD,sup6()(5，5)，所以2eq o(AB,sup6()eq o(CD,su

7、p6()2(2，1)(5，5)(9，7). 故选A. (2021全国乙卷)已知向量a(2，5)，b(，4)，若ab，则. 解：由已知，ab，则245，故eq f(8,5). 故填eq f(8,5). 考点一平面向量的坐标运算(2021湖南高二期末)设O(0，0)，A(0，3)，B(6，0)，eq o(BP,sup6()2eq o(AP,sup6()，则|eq o(OP,sup6()| ()A. eq r(5) B. 2eq r(2) C. 2eq r(5) D. eq r(17)解：设P(x，y)，则eq o(BP,sup6()(x6，y)，eq o(AP,sup6()(x，y3)，因为eq

8、o(BP,sup6()2eq o(AP,sup6()，所以(x6，y)2(x，y3)，所以eq blc(avs4alco1(x62x，,y2y6，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y2，)即P(2，2)，则eq o(OP,sup6()(2，2)，|eq o(OP,sup6()|eq r(2222)2eq r(2). 故选B. 【点拨】 平面向量坐标运算的技巧：向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算；解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)进行求解. (2021安徽省安庆九一六学校月考)设点A(1，

9、2)，B(2，3)，C(3，1)，且eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()3eq o(BC,sup6()，则点D的坐标为. 解：由题意，可得eq o(AB,sup6()(3，1)，eq o(BC,sup6()(1，4)，所以2eq o(AB,sup6()3eq o(BC,sup6()(3，14). 设点D的坐标为(x，y)，则eq o(AD,sup6()(x1，y2)，可得eq blc(avs4alco1(x13，,y214，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y16，)所以点D的坐标为(2，16). 故填(2，16). 考点二平面向量基本定理及其应用(1)(2

10、020辽宁辽阳模拟)已知O为ABC内一点，且满足eq o(OA,sup6()3eq o(OB,sup6()5eq o(OC,sup6()0，延长AO交BC 于点D. 若eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()，则_. 解：如图，由于eq o(OA,sup6()3eq o(OB,sup6()5eq o(OC,sup6()0，所以eq o(OA,sup6()3(eq o(AB,sup6()eq o(AO,sup6()5(eq o(AC,sup6()eq o(AO,sup6()0，所以9eq o(AO,sup6()3eq o(AB,sup6()5eq o(AC,sup6()，即eq

11、o(AO,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(5,9)eq o(AC,sup6(). 因为eq o(BD,sup6()eq o(DC,sup6()，即eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()，化简得eq o(AD,sup6()eq f(1,1)eq o(AB,sup6()eq f(,1)eq o(AC,sup6()，设eq o(AO,sup6()keq o(AD,sup6()eq f(k,1)eq o(AB,sup6()eq f(k,1)eq o(AC,sup6()，所以eq blc(av

12、s4alco1(f(k,1)f(1,3)，,f(k,1)f(5,9)，)解得eq f(5,3). 故填eq f(5,3). (2)已知eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()的夹角为90，|eq o(AB,sup6()|2，|eq o(AC,sup6()|1，eq o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(，R)，且eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()0，则eq f(,)的值为_. 解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以eq o(AB,sup6()(0，2)，eq

13、o(AC,sup6()(1，0)，eq o(BC,sup6()(1，2). 设M(x，y)，则eq o(AM,sup6()(x，y)，所以eq o(AM,sup6()eq o(BC,sup6()(x，y)(1，2)x2y0，即x2y，又eq o(AM,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，即(x，y)(0，2)(1，0)(，2)，所以x，y2，所以eq f(,)eq f(f(1,2)y,x)eq f(1,4). 故填eq f(1,4). 【点拨】 应用平面向量基本定理应注意平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量. 选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向

14、量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来. (1)(教材练习改编)如图所示，平行四边形ABCD中，eq o(BE,sup6()2eq o(EC,sup6()，点F为线段AE的中点，eq o(AE,sup6()a，eq o(BF,sup6()b，则eq o(AC,sup6() ()A. eq f(3,4)aeq f(1,2)b B. eq f(3,4)abC. eq f(5,4)aeq f(1,2)b D. eq f(5,4)ab解：eq o(AC,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(BE,sup6(

15、)eq o(AE,sup6()eq f(1,2)(eq o(BF,sup6()eq f(1,2)eq o(AE,sup6()eq f(5,4)aeq f(1,2)b. 故选C. (2)如图，已知平面内有三个向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()，其中eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()的夹角为120，eq o(OA,sup6()与eq o(OC,sup6()的夹角为30，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|1，|eq o(OC,sup6()|2eq r(3)，若eq o(OC,sup6()e

16、q o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(，R)，则的值为_. 解法一：以eq o(OA,sup6()和eq o(OB,sup6()为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则eq o(OC,sup6()eq o(OB1,sup6()eq o(OA1,sup6(). 因为eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()的夹角为120，eq o(OA,sup6()与eq o(OC,sup6()的夹角为30，所以B1OC90，在RtOB1C中，|eq o(OC,sup6()|2eq r(3)，所以|eq o(OB1,sup6()|2，|eq o(B1C,sup6()|4，所以|

17、eq o(OA1,sup6()|eq o(B1C,sup6()|4，所以eq o(OC,sup6()4eq o(OA,sup6()2eq o(OB,sup6()，即6. 解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，C(2eq r(3)cos30，2eq r(3)sin30)，B(cos120，sin120). 即A(1，0)，C(3，eq r(3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2). 由eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(1，0)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,

18、2)，f(r(3),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)(3，eq r(3)，得eq blc(avs4alco1(f(1,2)3，,f(r(3),2)r(3)，)所以eq blc(avs4alco1(2，,4，)即6. 故填6. 考点三共线向量的坐标表示及应用(1)(2021安徽宣城高一期中)设平面向量a(2，1)，b(x，2)，若ab，则|3ab| ()A. eq r(5) B. eq r(6) C. eq r(17) D. eq r(26)解：由题意，2(2)x0，得x4

19、，所以3ab3(2，1)(4，2)(2，1)，所以|3ab|eq r(2212)eq r(5). 故选A. (2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为_. 解：因为在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，所以eq o(DC,sup6()2eq o(AB,sup6(). 设点D的坐标为(x，y)，则eq o(DC,sup6()(4，2)(x，y)(4x，2y)，eq o(AB,sup6()(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以eq blc(avs4alco1(4x2

20、，,2y2，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y4，)故点D的坐标为(2，4). 故填(2，4). 【点拨】 两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(b0)的充要条件是x1y2x2y10；ab(a0)，当且仅当唯一一个实数，使ba. 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解. (1)已知向量a(2，tan)，b(1，1)，且ab，则taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4) ()A. 2 B. 3 C. 3 D. eq f(1,3)解：由题意可得t

21、an2，则taneq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(tanf(,4)tan,1tanf(,4)tan)3. 故选B. (2)(2020河南新乡市第一中学高三月考)在同一平面内，已知eq o(OA,sup6()(0，3)，eq o(OB,sup6()(1m，6)，eq o(OC,sup6()(m2，2)，若以A，B，C为顶点可以构成一个三角形，则m的取值范围是_. 解：由题意eq o(AB,sup6()(1m，3)，eq o(AC,sup6()(m2，5)，若eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()共线，则5(1m)3(m2)，解得meq f(11,2

22、)，所以A，B，C三点构成三角形时有meq f(11,2). 故填eq blcrc(avs4alco1(m|mf(11,2). 思想方法以数辅形在平面向量中的应用(2020届福建省福州市高三质量检测)已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则eq o(PC,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PD,sup6()的最小值为 ()A. 1 B. 3 C. eq f(1,2) D. eq f(3,2)解：建立如图所示坐标系，设P(x，y)，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，所以eq o(PC,sup6()(2x，2y)，eq o(PB,sup6()eq o(PD,sup6()(2x，y)(x，2y)(22x，22y)，故eq o(PC,sup6()(eq o(PB,sup6()eq o(PD,sup6()(2x)(22x)(2y)(22y)2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)eq sup12(2)eq f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(3,2)eq sup12(2)eq f(1,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(