图像处理直方图

1、关于图像处理直方图第一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图调整法（一）直方图均衡化 Histogram Equalization 直方图:是灰度级的函数，描述的是数字图象中的每一灰度级与其出现的频率(该灰度级的象素数目)间的统计关系,用横坐标表示灰度级, 纵坐标表示频数(也可用概率表示)。 直方图:第二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图第三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第八张

2、，PPT共九十二页，创作于2022年6月第九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图的性质：不表示图像的空间信息；任一特定图像都有唯一直方图，但反之并不成立第十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月（a） （b） 图a和图b具有相同的直方图第十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第十八张，P

3、PT共九十二页，创作于2022年6月连续灰度的直方图非均匀分布第十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月连续灰度的直方图均匀分布第二十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化目标直方图均衡化第二十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化第二十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 如上面所述，一幅给定的图像的灰度级分布在0 r 1范围内。可以对0, 1区间内的任一个 r 值进行如下变换 (3.3.1) 也就是说，通过上述变换，每个原始图像的像素灰度值 r 都对应产生一个 s 值。 直方图均衡的基础 第二十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 变

4、换函数T(r)应满足下列条件：（1）在0r1区间内，T(r)单值单调增加；（2）对于0r1，有0T(r)1。 这里的第一个条件保证了图像的灰度级从白到黑的次序不变。第二个条件则保证了映射变换后的像素灰度值在允许的范围内。满足这两个条件的变换函数的一个例子如图3.16所示。 第二十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月图3.16 一种灰度变换函数 第二十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月从 s 到 r 的反变换可用式(3.3.2)表示 (3.3.2) 由概率论理论可知，如果已知随机变量 的概率密度为 ，而随机变量 是 的函数，即 ， 的概率密度为 ，所以可以由 求出 。第二十六张

5、，PPT共九十二页，创作于2022年6月 因为 是单调增加的，由数学分析可知，它的反函数 也是单调函数。在这种情况下，如图所示， 且仅当 时发生，第二十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 和 的变换函数关系 第二十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月所以可以求得随机变量 的分布函数为 对式 两边求导，即可得到随机变量 的分布密度函数 为 (3.3.3) 第二十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 通过变换函数 T(r)可以控制图像灰度级的概率密度函数，从而改变图像的灰度层次。这就是直方图修改技术的基础。第三十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 直方图均衡化处理

6、是以累积分布函数变换法为基础的直方图修正法。 假定变换函数为 (3.3.4) 式中 是积分变量，而 就是 的累积分布函数(CDF)。第三十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月这里，累积分布函数是 的函数，并且单调地从0增加到1，所以这个变换函数满足关于 *在0 1内单值单调增加， *在0 1内有0 1的两个条件。 第三十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月对式(3.3.4)中的 求导，则 (3.3.5) 再把结果代入式(3.3.3)，则 第三十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 (3.3.6)第三十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月两个重要概念：1）、直方图

7、均衡化处理技术是用累积分布函数作变换函数的直方图修正方法；2）、用累积分布函数作为变换函数可产生一幅灰度级分布具有均匀概率密度的图像。 第三十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月图 4-5 均匀密度变换法 第三十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 例如，在图45中，(a)是原始图像的概率密度函数。从图中可知，这幅图像的灰度集中在较暗的区域，这相当于一幅曝光过强的照片。(b)和(c)分别为变换函数和变换后的均匀的概率密度函数。 第三十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月由图(a)可知，原始图像的概率密度函数为 用累积分布函数原理求变换函数 由此可知变换后的 值与 值的关

8、系为 第三十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 按照这样的关系变换就可以得到一幅改善了质量的新图像。这幅图像的灰度层次将不再是呈现黑暗色调的图像，而是一幅灰度层次较为适中的，比原始图像清晰，明快得多的图像。 下面还可以通过简单的推证，证明变换后的灰度级概率密度是均匀分布的。 第三十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月因为 所以 由于 取值在0, 1区间内，所以 第四十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月这个简单的证明说明在希望的灰度级范围内，它是均匀密度。因此 而 第四十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第四十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第四十

9、三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 图象均衡化处理后，图象的直方图是平直的，即各灰度级具有相同的出现频数，那么由于灰度级具有均匀的概率分布，图象看起来就更清晰了。 第四十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化 要找到一种变换 S=T ( r ) 使直方图变平直，为使变换后的灰度仍保持从黑到白的单一变化顺序，且变换范围与原先一致，以避免整体变亮或变暗。必须规定： （1）在0r1中，T(r)是单调递增函数，且0T(r)1； （2）反变换r=T-1(s),T-1(s)也为单调递增函数，0s1。第四十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月rjrj+rsjsj+s直方图

10、均衡化变换公式推导图示第四十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化 考虑到灰度变换不影响象素的位置分布，也不会增减象素数目。所以有第四十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化 应用到离散灰度级，设一幅图象的象素总数为n，分L个灰度级。 nk: 第k个灰度级出现的频数。 第k个灰度级出现的概率 P(rk)=nk/n 其中0rk1，k=0,1,2,.,L-1 形式为：算例第四十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月例例：设图象有64*64=4096个象素，有8个灰度级，灰度分布如表所示。进行直方图均衡化。rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4

11、=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02第四十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月步骤：rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02例第五十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月1. 由（2-2）式计算sk。rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5

12、/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02sk计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00例第五十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02sk计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00sk舍入 1/73/

13、75/76/76/71112. 把计算的sk就近安排到8个灰度级中。例第五十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月rkr0=0r1=1/7r2=2/7r3=3/7r4=4/7r5=5/7r6=6/7r7=1 nk 790102385065632924512281p(rk) 0.190.250.210.160.080.060.030.02sk计算 0.190.440.650.810.890.950.981.00sk舍入 1/73/75/76/76/7111sk s0s1s2s3s4nsk 7901023850985448p(sk) 0.190.250.210.240.113. 重新命名sk

14、，归并相同灰度级的象素数。例第五十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化均衡化前后直方图比较例第五十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 由上面的例子可见，利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变换后得到的新灰度的直方图虽然不很平坦，但毕竟比原始图像的直方图平坦得多，而且其动态范围也大大地扩展了。因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。 第五十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于简并现象的存在，

15、处理后的灰度级总是要减少的。这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的。 第五十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 产生简并现象的根源是利用变换公式 求新灰度时，所得到的 往往不是允许的灰度值，这时就要采用舍入的方法求近似值，以便用与它最接近的允许灰度来代替它。在舍入的过程中，一些相邻的 值变成了相同的 值，这就发生了简并现象，于是也就造成了一些灰度层次的损失。那么为什么会有简并现象呢？第五十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 减少简并现象的简单方法是增加像素的比特数。比如，通常用8bit来代表一个像素，而现在用12bit来表示一个像素，这样就

16、可减少简并现象发生的机会，从而减少灰度层次的损失。另外，采用灰度间隔放大理论的直方图修正法也可以减少简并现象。这种灰度间隔放大可以按照眼睛的对比度灵敏度特性和成像系统的动态范围进行放大。 那么如何减少简并现象呢？第五十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月均衡化第五十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化 直方图均衡化实质上是减少图象的灰度级以换取对比度的加大。在均衡过程中，原来的直方图上频数较小的灰度级被归入很少几个或一个灰度级内，故得不到增强。若这些灰度级所构成的图象细节比较重要，则需采用局部区域直方图均衡。第六十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第六十一张

17、，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图调整法 （二）直方图匹配 修改一幅图象的直方图，使得它与另一幅图象的直方图匹配或具有一种预先规定的函数形状。 目标：突出我们感兴趣的灰度范围，使图象质量改善。第六十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月连续灰度的直方图原图第六十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月连续灰度的直方图规定第六十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图匹配 令P(r) 为原始图象的灰度密度函数，P(z)是期望通过匹配的图象灰度密度函数。对P(r) 及P(z) 作直方图均衡变换，通过直方图均衡为桥梁，实现P(r) 与P(z) 变换。第六十五张，PPT

18、共九十二页，创作于2022年6月 假设 pr(r ) 是原始图像灰度分布的概率密度函数， pz(z ) 是希望得到的图像的概率密度函数。如何建立 pr(r ) 和 pz(z ) 之间的联系是直方图规定化处理的关键。第六十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 所以，直方图规定化处理的关键思路是寻找一个 pr(r ) 和 pz(z ) 间的中介，在 pr(r ) ， pz(z )间搭建一座桥梁，建立 r 与 z 的关系。 第六十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月首先对原始图像进行直方图均衡化处理，即： 假定已经得到了所希望的图像，并且它的概率密度函数是 。对这幅图像也作均衡化处理

19、，即：(417)(416)第六十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 因为对于两幅图同样做了均衡化处理，所以 和 具有同样的均匀密度。其中式(417)的逆过程为 (418) 第六十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月 这样，如果用从原始图像中得到的均匀灰度级 来代替逆过程中的 ，其结果灰度级将是所要求的概率密度函数 的灰度级。 第七十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月rjzk直方图匹配变换公式推导图示第七十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图匹配 步骤： （1）由 各点灰度由 r映射成s。 （2）由 各点灰度由 z映射成v。 第七十二张，PPT共九十二页，

20、创作于2022年6月直方图匹配 步骤： （3）根据v=G(z), z=G-1(v) 由于v, s有相同的分布，逐一取 v=s，求出与r对应的z=G-1(s)。第七十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图匹配离散灰度级情况： 由（1）、（2）计算得两张表，从中选取一对vk, sj，使vksj，并从两张表中查得对应的rj，zk。于是，原始图象中灰度级为rj 的所有象素均映射成灰度级zk。最终得到所期望的图象。第七十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月实 例第七十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月灰度动态范围较窄观察直方图分布第七十六张，PPT共九十二页，创作于2022

21、年6月对比度拉伸灰度动态范围变宽第七十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月灰度动态范围变宽观察直方图分布第七十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化灰度动态范围扩展第八十张，PPT共九十二页，创作于2022年6月对比度扩展第八十一张，PPT共九十二页，创作于2022年6月直方图均衡化第八十二张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第八十三张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第八十四张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第八十五张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第八十六张，PPT共九十二页，创作于2022年6月第八十七张，PPT共九十二页，创作于2022年6月originalDesired histogramAfterHistogram Matching (Specification)第八十八张，PPT共九十二页，创作于2022年6月Example - ApplicationWe wish to check if a circuit board