新人教版九年级上册初中数学 24.1.2 垂直于弦的直径 教学课件

1、24.1 圆的有关性质24.1.1垂直于弦的直径第二十四章 圆1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. （重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. （难点） 学习目标新课导入知识回顾连接圆上任意两点的线段叫做弦.(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合1.圆的定义(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆2.弦的定义3.弧的定义圆上任意两点间的部分叫做弧.宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 在切蛋糕的

2、过程中，你有什么发现？新课导入课时导入问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.O操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？新课导入新课讲解知识点1 圆的对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴新课讲解圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.圆有哪些对称轴？O新课讲解 1 求证：圆是轴对称图

3、形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.例新课讲解证明：如图，设CD是O的任意一条直径，A为O上点C,D以外的任意 一点.过点A作AACD，交O于点A，垂足为M，连接OA，OA. 在OAA中，OA=OA, OAA是等腰三角形. 又AACD，AM=MA. 即CD是AA的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A， 在圆上都有关于直线CD的对称点A，因此O关于直线CD对称. 即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 新课讲解知识点2 垂径定理 2 如图，AB是O的一条弦，直径CDAB，垂足

4、为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?答：线段: AE=BE弧: AC=BC, AD=BD)(理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合(OABDEC例新课讲解垂径定理*OABCDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. CD是直径，CDAB， AE=BE，( AC =BC，(AD =BD.推导格式：新课讲解想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE新课讲解知识点垂径定理的几个基本图形：ABO

5、CDEABOEDABO DCABOC新课讲解知识点如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心 ；垂直于弦；平分弦（非直径）；平分弦所对的优弧 ； 平分弦所对的劣弧.在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论(知二推三).新课讲解知识点“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：OABCD新课讲解一条直线满足五个条件：过圆心垂直于弦 平分弦（非直径） 平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧知二推三总结：新课讲解知识点 3 赵州桥

6、（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.例新课讲解 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.(在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2. 解得R27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，(连接OA，根

7、据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.(由题设可知AB=37，CD=7.23，所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.新课讲解在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC拓展归纳新课讲解弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系 d+h=r ABC DOhrd新课讲解练一练如图，AB是圆O的弦，半径OCAB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )A.2B.3C.4D.5A

8、分析：课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦; 平分弦（不是直径）; 平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形当堂小练1.如图，O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( )A.AOD=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC2.半径为5的O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是 ，最短弦的长是 .C106当堂小练3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.OCAB，AD=BD= AB=150m.在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2, 解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.当堂小练4.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即AC=BD.拓展与延伸 如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是