2022年信号与系统课后习题答案

1、第一章习题参考解答1.1 绘出以下函数波形草图；1 x t3 e| t|t12 t4 2 xn12n16n802nn03x-2-111.22.20.510-2-1000-33tn3 4 tsinx n n2tsin4n31214100-2001024-1-1-15 x tettt t6 x n n1n4 cos43nn1-1015t32456t100 80016567802602344020-10-2-2 -17 xtttcos28 x n n nn1 n3 78200-2-4-2-101234-4-2024tn9 x t-1 t2 t1 t3 t2 10 x n 0n n n55n51092

2、1 412 6n 1068.401224-10-2-2tnd dt11 x tx n t1n511121 0 013 -2xt-10t011123414 x -3-2-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9101tdnn nn 13145 4 3 20t.1 0-5 -4-3-2 -1012n1.2 确定以下信号的能量和功率,并指出是能量信号仍是功率信号,或两者均不是；1 x t3 e| t|2dt109e2tdtn09e2tdt191e2 t091e2 t09解能量有限信号；信号能量为：2 Ex2tdt3e| t|22xn12nn02nn0n0n214nnn5解能量有限信号；信号能量为：E

3、x2n 12n2243nn03 x tsin2t解功率有限信号；周期信号在, 区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率,sin2t的周期为 1；P1Tsin22tdt1sin22t dt11cos4tdt11dt1cos4tdt1,区2 T2 12 12 12 1T222222224 x nsin4n解功率有限信号；sin4n是周期序列,周期为8；P1nNx2n 1n4sin24n1n41cos2n1n4311N883282235 x tsin2t t解 功率有限信号；由题3 知,在,区间上sin2t的功率为 1/2 ,因此sin2tt在,间上的功率为1/4 ；假如考察sin2t t在0 ,

4、区间上的功率,其功率为1/2 ；6 x nsin4nn解 功率有限信号；由题4 知,在,区间上sin4n的功率为 1/2 ,因此sin4nn在区间上的功率为1/4 ；假如考察sin4nn在,0区间上的功率,其功率为1/2 ；7 x t3 et解非功率、非能量信号；考虑其功率：Plim T1T3et2dtlim T1T 9 Te2tdtlim T19e2 tTTlim T9e2Te2 T2 TT2T2 T24 T上式分子分母对T 求导后取极限得P；8 x t3et t解能量信号；信号能量为：Ex2tdt03et2dt09 e2tdt9e2 t09221.3 已知xt的波形如题图1.3 所示,试画

5、出以下函数的波形；x t 1 -1 0 1 2 t题图 1.3 1 x t2 ttt2 xt2 ttttx t2 xt2 1 1 0 1 2 3 4 t -3 -2 -1 0 3 x t4 x1t2x txt/2 1 1 -1/2 0 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x t6 x t2x tx t2 1 1 -2 -1 0 1 x t 0 1 2 3 7 x t28 x2 t2 2x 2 t2 1 1 -4 -3 -3 -1 0 0 1 3/2 9 x 1t2 2xt/22 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t 10 x1t2x t/22 2 1 -8 -4 -2 0 0tttx

6、td11 x tx1t22 1 xtx 1t22 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 13 dx dt12 x 2 tx1t2x 2tx1tdx 2dt 1 1 -1/2 0 1 t -1 0 1 2t2t1 21t14 txd=1t0t2 3/2 t23t2 1/2 20t1 -1 0 1 2 1.4 已知x 1t及x 2t的波形如题图1.4 所示,试分别画出以下函数的波形,并留意它们的区分；x 1tx2t 2 2 1 1 -1 0 1 t 0 1 2 3 4 ta b 题图 1.4 1 x 1 2 tt2 x11t1tt2x 1 2 tx 12 2 2 1 1 -1/2 1/2 -2

7、 0 2 3 x22 t4 x21t2x2 2t 2 x 21tt 2 2 1 0 1 2 t 1 0 4 8 1.5 已知x n 的波形如题图1.5 所示,试画出以下序列的波形；x n 2 2 2 1 1 -1 0 1 2 3 n题图 1.5 1xn4 3n3 2 x nn0 图略 xn4x n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n -5 -4 -3 -2 -1 0 -3 -2 -1 0 1 3 x n34 x n3 x nx n3 2 2 2 n 2 2 2 n 1 1 1 1 -6-5 -4 -3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 5 x n3+x n3 x6 x n3 xn3

8、xn3 2 2 2 2 2 2 7 -6-5 1 1 1 1 n8 nx m 4 -3 2 1 0 1 2 3 4 x nx nxn1mx n nx mm 1 1 n 8 8 8 n 6 4 -4 2 -1 0 1 2 3 1 -2 -1 0 1 2 3 4 5 1.6 任何信号可以分解为奇重量和偶重量的和：其中x 为偶重量；x txetxo t或xnxen xo nn ；x 为奇重量；偶重量和奇重量可以由下式确定：x tx et1x txt,x ot1x t221 试证明xe tx en1xnxn,x on1xnx n22n x oxet或xen xen ；xotxot或xo2 试确定题图1

9、.6a 和b 所示信号的偶重量和奇重量,并绘出其波形草图；nx t 2 xn 1 1 1 2 3 0 1 2 t -2 -1 0 -1 -2 a -3 b 题图 1.6 1 证明依据偶重量和奇重量的定义：xotxet1x t1x tx etxot21xtxtxtxt22离散序列的证明类似；2 依据定义可绘出下图txnnnx t 2 1 1 1 2 3 0 1 2 -2 -1 0 -1 -2 x t -3 x n 1 2 t 1 -3 -2 -1 -2 -1 0 0 1 2 -1 xet2xn tt -2 nn -3 1/2 xen -2 -1 0 1 2 -3 3 xot 0 -3/2 -3/

10、2 1/2 xon -2 -1 -3/2 2 ； 0 1 2 1 1 2 3 -3 -2 -1 0 1.7 设x n 2n,试求 -1 -2 -3/2 x n ,x n ,2x n,解xnxnxn1 2n2n112n212n112n222x nxx nxxn12n12n22n22n12n2nxnn1 n2x nxn1xn2n12n1n1.8 判定以下信号是否为周期信号,如是周期的,试求其最小周期；1 x tcos 4 tt6解 周期信号,T 122 x tsin2t解 非周期信号；3 x tetcos 2t解 非周期信号；4 x tej4t3 2；解 周期信号,T 18；5 x tasin 5

11、 tbcost解 如a,0 b0 ,就x t为周期信号,T 1b如a,0 b0 ,就x t为周期信号,T1a25如a,0 b0,就x t为非周期信号；6 x ncos 8n3解 周期信号,N116；7 x ncos7n 9解 周期信号,N118；8 x ncon 16 n解 : 非周期信号；9 x nej2n15解 : 周期信号,N115；3n 12sin4n310 x n3cos6nsin解 : 周期信号,最小公共周期为N24；1.9 运算以下各式的值；1 x tt0tdt=x0t. ttt0dt0tt0=0tt0t00解 : 原式x t0tdt2 txt0dxt0原式tx t0d解 : 3

12、 x 0ttdtx 0tt0解 : 原式x 0 tdt4 x tt0tdtxt0解 : 原式xtt0t05 tt0tt0dt2原式t0t0解 : tt0dt226 tt02t0d2t0d=t0解 : 原式 =tt0t0t007 t dt解 : 原式18 0 dt解 : 原式09 0tdt1dt2v11dv1v22v1x32解原式010 0 tdt0解原式111 3 t3t22t解令v3 得：2 v3 v原式12 3333333t1xtdt解 : 原式xtt 1x1 13 原式tetdt解 : ett01114 3 12 t3 x t dt3解 : 令v2得：3x v1dv2 v3x v1dv2

13、原式3 2 v3 22222332由于3 2 v3 dv0,所以 : 原式 0 31.10 设 x t 或 x n 为系统的输入信号,y t 或 y n 为系统的输出信号,试判定以下各函数所描述的系统是否是： a 线性的 b 时不变的 c 因果的 d 稳固的 e 无记忆的 . 1 y t x t 4 解 a线性的 . 如 x 1 t y 1 t x 1 t 4 ; x 2 t y 2 t x 2 t 4 就 : ax 1 t bx 2 t y t ax 1 t 4 bx 2 t 4 ay 1 t by 2 t b 时不变的 . 如x ty t tx t4 就 : x tx4c 非因果的 . 0

14、t 时刻的响应取决于0t以后时刻 即0t4时刻 的输入 . d稳固的 . 就 :|y t|M如|x t|Me 有记忆的如系统的输出仅仅取决当前时刻的输入,就称此系统为无记忆系统；题给系统明显不满意此条件；2 y tx t2x t t t0,且为常数 b y2txx2 tx 2 ttby2t解a 线性的 . y 1x1x1 t,x2t如x 1 t就 : ax 1tbxty ta x 1 tx 1 tx2 t2 t=ay 1b 时不变的 . 如 x t y t x t x t 就 : x t t 0 x t t 0 x t t 0 y t t 0 c 当 0 时为因果的 . 当 0时 : 系统 0

15、t 时刻的输出仅与 t 0 及 0t 以前时刻的输入有关 . 当 0 时: 系统 0t 时刻的输出与 t 0 以后时刻的输入有关 . d 稳固的 . 如 | x t |, 就 | y t |e 有记忆的 . 3 系统0t时刻的输出与0t时刻以前的输入有关. y tx t/2解 :a线性的 . 说明略 b 时变的如xtytxtxt22就 : xtx t2c 非因果的 . dy 1x1. 即t1时刻的输出与t1时刻以后t1的输入有关 . 22稳固的 . 说明略 e 有记忆的 . y 1 x 1. 即t1时刻的输入与2t1时刻以前t t1的输入有关 . 224 y tx2 t2 x 1t,x2 ty

16、 tx2 2t解 :a非线性的 . 如x 1 ty 1 t就 : ax 1 tbx2 tax 1tbx2 t22 ax 1 tbx2 2ay1tby2tb 时不变的 . 如x ty tx2 ty t就 : x tx2 tc 因果的 . 说明略 d稳固的 . 说明略 e 无记忆的 . t0时刻的输出仅取决于t0时刻的输入 . 5 y te2x t解 :a非线性的 . 说明略 b 时不变的 . 说明略 c 因果的 . 说明略 d 稳固的 . 如 |x t|M, t就|y t|e2My2 tsin2tx2 t2e 无记忆的 . 说明略 6 y tx tsin2tx 1t,x 2 t解 : a线性的

17、. 如x 1 ty 1tsin就 :ax 1tbx2tsin2tax 1 tbx2tay 1tby2tb 时变的 . 如x ty tx ty tsin2 tx t就 : x tsin2tc 因果的 . 说明略 d 稳固的 . 如|x t|M,就|y t|M|sin2 t|Me 无记忆的 . 说明略 7 y tx tx t0y2t0ay 1 t,即不满意匀称性. 0解 : a非线性的 . y 1t0如x t0 而a0时: axt0 b 时不变的 . 如x tt0y txtt0 xtt00y tt0就 : x t0 x tt00c 因果的 . 0t 时刻的输出仅与 0t 以后时刻的输入无关 . d

18、 稳固的 . 说明略 e 无记忆的 . 说明略 8 y tdx tdx 1 t,x2t2y2tdx2t2tdt解 :a 线性的 . 如x 1 ty 1 tdtdt就 : ax 1tbx2tdax 1 tbx tay 1 tbydtb 时不变的 . 如: x ty tdx tdx tytdt就 : x tdx tdtd tc 因果的 . 说明略 d 非稳固的 . x t u t y t t e 无记忆的 说明略 t9 y t x d解 : a 线性的 . 说明略 b 时不变的 . 如 : x tytttx ddtt0 xv dvy tt0就 : xtt0tx 0c 因果的 . 说明略 d 非稳固

19、的 . 如|x t|u t|1,但|y t|x2n y2 nx2n x2n1 n e 有记忆的 . 说明略 n1 ,10 y nx n x n1解 : a非线性的如x 1 ny1 nx 1 n x1就 :ax 1 nbx2n ax 1n bx2n ax n1bx2n1 ay1nby2b 时不变的 . 如x nNyn nx n x n11 y nN就 :x nx Nx nNc 因果的 . n 时刻的输出与 0n 时刻以后的输入无关 0. d 稳固的 . 如 |xn|M, 就 : |y n |M2e 有记忆的 .n 时刻的输出与n 时刻以前的输入有关. nx2 nn 11 y nnx n nx1n

20、,x2n y2n 解 : a线性的 . 如xny 1n就 : ax 1 nbx2 nn ax 1n bx2n ay 1n by2b 时不变的 . 如x ny nnx n nNy nN就 : x nNnNxc 因果的 . 说明略 d 非稳固的 . 即使|x n |M, n时,y n bxy2 n65x2n 66y2n e 无记忆的 . 说明略 12 y n5x n 6解 : a非线性的 . 如x 1n y 1 n5x 1n6,x2 n就 : ax 1 nbx2ny n 5ax 1n 2n ay 1 nb 时不变的 . 说明略 c 因果的 . 说明略 d 稳固的 . 说明略 e 无记忆的 . 说明

21、略 13 y nxn 解 : a线性的 . 说明略 b 时变的 . 如x nNy nxn ynNx nN就 : x nx nNc 非因果的 . y 1x 1. 即n1时刻的输出与n1以后时刻 n1时刻 的输入有关 . d 稳固的 . 说明略 e 有记忆的 . y 1 x1 .即n1时刻的输出与n1以前时刻 n1时刻 的输入有关 . tx 22 t*1.11 已知x 22 t的波形如题图1.11 所示,试画出x t的波形； 2 解将x 22 t的波形扩展可得x 2t,将x2t的波形翻转得 1 x 2t,将x2t右移 2 个单位可得x t的波形如下 : 0 1 2 3 4 题图 1.11 xt 2 1 -6 -4 -2 0 t*1.12 判定以下每个系统是否是可逆的,假如是可逆的,试构成其逆系统；假如不是,找出访系统具有 相同输出的两个输入信号；1 yttetxd解 原式两边求导得：y tdettex dett ex tettex dx ttetx ddt上式同原式相加得：x ty tdy tdt所以系统可逆,逆系统为:x ty tdy tdtx n1n12 yn0n0 x nn1解 : 系统可逆,逆系统为: xnyn1 nn0yn1 t03 y tdx tdx2dt解系统不行逆,