2022年例说导数含参问题的处理策略

1、例说导数含参问题的处理策略详解一、 完善终结篇 张成壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰和单调性有关的含参问题1. 求单调区间：本质是解含参不等式例 1：求f x xxa 2的单调区间,0,0, 不能并哦aa ,【解】f xa xax 1ax 2ax2当a0时,f 10,故只有增区间：当a0时,由f xa xa 0即 xaxa0得xa xx2由 xaxa0得axa由f 0得 ax当a0时,由f 0得xa xa综上所述：当a0时函数增区间为 ,0,0,减区间为： a a , 当a0时函数增区间为：,a,a,当a0时函数增区间为：, ,a,减区间为： ,a例 2： 求函数 fxx2eax的单调区间【解】函数 f

2、x的导数 fx2xeaxax2e ax2xax2e ax. x 10 x 22a1当 a0 时,由 fx0 得 x0；由 fx0,得 x0 所以当 a0 时,函数 fx在区间 ,0上为减函数,在区间 0,上为增函数2当 a 0 时,x 1 0 x 2a2当 a0 时,由 2xax20,得 x2 a或 x0；由 2xax20,得 2 ax0. 所以当 a0 时,函数 fx在,2 a和0,上为增函数,在区间 2 a,0上为减函数3当 a0 时,由 2xax20,得 0 x2 a；由 2xax20,得 x0 或 x 2 a,所以当 a0 时,函数 fx在区间 ,0和2 a,上为减函数,在区间 0,

3、2 a上为增函数总结：两个根大小不定时要争论2. 逆向问题：已知函数在某区间上单调性,求参数取值范畴（1） 解析式含参时：本质是恒成立问题: f 0（f 0）恒成立思路 1：转化为求非含参一段函数的最值（范畴）思路 2：数形结合留意事项：端点能否取等号要留意例：已知f xa2在（ 1,2）上单调递增,求a 取值范畴x1,2恒成立,x【解】f xa xa0对x1,2恒成立,即x22 a 对x2而1x24因此a211a1（2） 区间含参时：例 1：已知 f x 42 x 在（m,2m+1）上单调递增,求 m取值范畴x 1m 1【解】易求 f x 42 x 的增区间为 -1,1, 由题意得 m ,2

4、 m 1 1,1,因此 2 m 1 1 解之得x 12 m 1 m1 m 0例 2：已知函数 f x x 33 x 如 2y f x 在区间 2 m 1, m 1 上是增函数, 求实数 m 的取值范畴；【解】f 3 x 26 x 3 x x 2,令 f 0 即 x x 2 0 x 0 或 x 2f x 的增区间为 , 2 和 0, . Q f x 在区间 2 m 1, m 1 上是增函数,2 m 1, m 1 , 2 或 2 m 1, m 1 0, ；m 1 2或 2 m 1 0m 3 或 1m 22 m 1 m 1 2 m 1 m 1 2二、和最（极）大、最（极）小值有关的含参问题1. 函数

5、解析式含参,区间不含参例 1：已知函数 f x xaln x aR求函数 f x 的极值【解】 由 fx1a xxax,（x0）知： x a 其与 0, 关系不定,因此要争论当 a0 时, fx0,函数 fx为0,上的增函数,函数 fx无极值；当 a0 时,由 fx0,解得 xa.又当 x0,a时, f x0；当 xa,时, fx0,从而函数 fx在 xa 处取得微小值,且微小值为 综上,当 a0 时,函数 fx无极值；faaaln a,无极大值当 a0 时,函数 fx在 xa 处取得微小值 aaln a,无极大值例 2：已知函数 f x ax 33 2x22. （a0）,当 x 1,1 时,

6、求 f x 的最小值【解】fx3ax23x3xax1令 f x0,解得 x0 或 x1 a由于 x1 a与 1,1 关系不定,因此要争论；分以下两种情形争论：如1 a1 即 0a1,当 x 变化时, fx,fx的变化情形如下表：x 1,0 0 0,1 fx0fx极大值f1a3 22,f1a3 22,所以 fxminf11 2a. 如 01 a1,当 x 变化时, fx,fx的变化情形如下表：x 1,0 0 0,1 a 1a 1 a,1 fx00fx极大值微小值f11 2a,f1 a2 1 2a2.而 f1 af12 1 2a21 2a3 2a 1 2a20,所以 fxminf11 2a. 例

7、3：已知 aR,函数 f x x 2 xa 求函数 yf x 在区间 1,2 上的最小值【思路探究】解答此题先求出函数的导数, 画出图表,求出函数的极值, 再结合函数的单调性、函数的定义域、函数取极值点对字母a 进行分类争论求解【解】设此最小值为 m,而 f x 3x 22ax3x x2 3a ,x1,2 ,x 1 0 x 2 23 a当 a0 时,f x0,x1 ,2 ,就 f x 是区间 1 ,2 上的增函数,（此情形最易忽视）所以 mf 1 1a；当 a0 时,在 x2a 3时,f x0,从而 f x 在区间 2 3a, 上是增函数；在 0 x2a 3时, f x0,从而 f x 在区间

8、 0 ,2 3a 上是减函数；当2 3a2,即 a3 时,mf 2 84a；3当 12 3a2,即 3 2a3 时, mf 2a 3 4a 27；当 02 3a1,即 0a3 2时, mf 1 1a. ,1a a3 2 ,综上所述,所求函数的最小值m34a 27 3 2a0求函数 hx的单调区间,并求其在区间1上的最大值【解】 hxx3ax21 4a2x1,hx3x22ax1 4a2. 令 h x0,得 x1a 2,x2 a 6. a0 时,hx与 hx的变化情形如下：x ,a 2a 2 a 2,a 6a 6 a 6, hx00hx函数 hx的单调递增区间为 ,a 2和a 6,单调递减区间为

9、a 2,a 6当a 21,即 0a2 时,函数 hx在区间 ,1上单调递增, hx在区间, 1上的最大值为 h1a1 4a2. 当a 21,且 a 61,即 2a6 时,函数 hx在区间 ,a 2上单调递增,在区间 a 2, 1上单调递减, hx在区间 ,1上的最大值为 ha 21. 当a 66 时,函数 hx在区间 , a 2上单调递增,在区间 a 2,a 6上单调递减,在区间 a 6, 1上单调递增,又由于ha 2h11a1 4a21 4a220,a所以 h x 在区间 ,1 上的最大值为 h 2 22 ax a 1f 2 a 0例 5：已知函数 x 1,求函数 f x 的单调区间和极值2

10、 2【解】f 2 a x 12 2 2 ax2 a 1 2 x2 a ax2 1 . x 1 x 1由于 a 0, 以下分两种情形争论 . 1当 a 0 时,令 f 0, 得到 x 1 1 , x 2 a . 当 x变化时,f , f x 的变化情形如下表：ax , 1 1 1 , a a a ,a a af 0 0 f x 微小值 Z 极大值 所以 f x 在区间 , 1 , a , 内为减函数,在区间 1 , a 内为增函数 . a a函数 f x 在 x 1 1a处取得微小值 f 1 ,a 且 f 1a a 2. 函数 f x 在 2x a 处取得极大值 f a , 且 f a 1 .

11、2当 a 0 时,令 f 0, 得到 x 1 a x 2 1a.当 x变化时,f , f x 的变化情形如下表：x ,a a a , 1 1 1 ,a a af + 0 -0 +f x Z 微小值 极大值 Z所以 f x 在区间 , a , 1 , 内为增函数,在区间 ,a 1 内为减函数 . a a函数 f x 在 1x a 处取得极大值 f a 且 f a 1 . 函数 f x 在 x 2 1 处取得微小值 f 1 , 且 f 1 a 2 . a a a2. 已知解析式不含参,区间含参例 1：设函数fxx3x23x3aa0；如xa3,a时,fx 0恒成立,求 a 的3取值范畴；【解】由fx

12、x22x30,解得：x1或x3；函数fx在,1和,3上是增函数,在3,1上是减函数；所以0a3 a3或0a33a或a30解得a6f 3 a 0f 3 0fa 例 2：已知函数f x axlnx 图像上点 , e f e 处的切线与直线y=2x 平行（其中e2.71828）,g x x2tx2（1）求函数 f（x）的解析式；（2）求函数 f（x）在n,n+2（n0）上的最小值；（3）对一切 x,0e,3f（x）g（x）恒成立,求实数t 的取值范畴；【解】（1）fx=xlnx 2由（ 1）知f lnx1易得f x 在0,1上递减,在1,上递增ee3. 已知最大（小）值,求参数值 例 1： 设2 3

13、afa,f0f1故需比较 f0与 f1及 f1与 fa的大小由于 f0f13 2a10,所以 yfx的最大值为 f0b1. 6 2,a6 3 . 又 f1fa1 2a12a20 时,列表如下：x 11,000,22 7ab fx016abfxb 由表可知,当 x0 时, fx取得最大值 f03,即 b3. 又 f1 7a3,f2 16a3f1,f2 16a329,a2. 2当 af1,f216a293,a2. 综上可得, a2,b3 或 a 2,b 29. 例 3：已知函数 f （x）ax （ a2）xlnx. （1）当 a1 时,求曲线 yf （x）在点（ 1,f （1）处的切线方程；（2）

14、当 a0 时,如 f （x）在区间 1 ,e）上的最小值为 2,求 a 的取值范畴解：【解】1）当a1 时,fxx23xln , x fx2 x31,xf10,f12所以切线方程是y=-22函数fxax2a2xlnx的定义域是0 +,当a0时,fx2axa212ax2a21x0 xx令fx0,即fx2ax2a21=2x1xax10,x所以x1或x12a当011,即a1时,f x 在 1,e 上单调递增,a所以fx在 1,e 上的最小值是f12；当11e时,fx在1,e 上的最小值是f1f12,不合题意；aa当1e时,fx在1 ,e 上单调递减,a所以fx在 1,e 上的最小值是fe f1 2,不合题意故 a 的取值范畴为1,；例 4：已知fx axlnx ,x0,e ,aR问：是否存在实数a 使fx的最小值为3【解】f/x a1ax1xx当a0时,fx在0 ,e 上单调递减,fxminf e ae13,a4（舍去）,所此时fx无最小值 . e当01e时,fx在0 ,1上单调递减,在1,e 上单调递增aaafx minf11lna3,ae2,满意条件 . a当1e时,fx 在0,e 上单调递减,fxminf e ae13,a4（舍去）,所以,此时fx无ae最小值 . 综上,存在实数ae2,使得当x0,e 时f x 有最小值 3. 在1 ,e 上的最小值