位移变分方程

1、位移变分方程 用位移表示的平衡微分方程在A中 用位移表示的应力边界条件在 上 位移边界条件在上 。实际位移(a) 其中、属于静力平衡条件，属于约束条件。对于实际位移，可将看成是必要条件，而、是充分条件。1.实际平衡状态的位移 、 ，必须满足 虚位移数学上称为位移变分 ， 表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如下图。 虚位移应满足 上的约束边界条件，即虚位移(b)在 上。 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。(c)虚位移微分是在同一状态下，研究由于位置 (坐标) 改变而引起函数的改变。 其中的自变量为坐标

2、变量x,y； 而因变量为函数，如位移，有 (d) 变分与微分的比较变分与微分变分是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如 ， ， ，有 变分与微分(e)由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式一样，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序，如 变分与微分( f )当发生虚位移位移变分 时，虚位移上功和能 由于虚位移引起虚应变，外力势能的变分：外力的虚功外力功的变分：3.在虚位移上弹性体的功和能 形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功, 由于实际应力在虚应变之前已存在,作为常力计算，故无 系数。虚位移上功和能 ( j

3、 )1在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，那么按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少即等于外力所做的虚功 。位移变分方程4.弹性力学中位移变分方程的导出2位移变分方程 将式(g)的 代入上式,得它表示，在实际平衡状态发生位移的变 分 时，所引起的形变势能的变 分 ，等于外力功的变分 。位移变分方程位移变分方程它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在 虚应变上所做的虚功。3虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得其中 形变势能的变分，如式( j )所示， 外力功的变分，如式(g)所示。位移变分方程4最小势能原理式(k)

4、可写成其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d),W弹性体的外力功， 如5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为证明如下：位移变分方程由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量位移或应变作二次变分运算，可得 综合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移变分方程位移变分方程 这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b)uu实际位移(a)(b)5位移变分方程的又一形式 式(l) 中 可化为 又一形式应用分部积分公式 和格林公式 其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦，可将 进展转换。又一形式在 上，虚位移 ， 对 其余几项进展同样的转换，并代入式( ) ,可得又一形式的位移变分方程：又一形式例如，对第一项计算，(s)因 ， 都是任意的独立的变分，为了满足上式, 必须在A中(v)在 上(w)又一形式 由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。 实际平衡状态的位移必须满足 a. 上的约束(位移)边界条件； b. 上的应力边界条件； c.域A中的平衡微分方程。5.结论结论 位移变分方程可以等价地代替静力