新高考一轮复习人教A版 7.2　空间点、直线、平面之间的位置关系 学案

1、PAGE PAGE 97. 2空间点、直线、平面之间的位置关系借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，并了解基本事实13. 【教材梳理】1. 平面的基本性质(1)基本性质基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C确定平面；判定点线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl确定直线在平面内；判定点在平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且P

2、l，且Pl判定两平面相交；判定点在直线上(2)基本事实1与2的推论推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面Al有且只有一个平面，使A，l推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面abP有且只有一个平面，使a，b推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ab有且只有一个平面，使a，b2. 空间点、直线、平面之间的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数共面直线相交直线在同一个平面内1平行直线在同一个平面内0异面直线不同在任何一个平面内0 (2)空间中直线与平面的位置关系位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点个数无数个1

3、0图形表示当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外. (3)空间中平面与平面的位置关系位置关系两个平面相交两个平面平行公共点个数有一条公共直线0符号表示a图形表示【常用结论】3. 唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 4. 异面直线的两个常用判定(1)与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线. (2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“

4、”，错误的画“”. (1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a. ()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线. ()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC. ()(4)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分. ()(5)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线. ()解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). (教材练习改编)下列说法中正确的是 ()A. 经过三点确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 梯形确定一个平面D. 空间任意两条直线确定一个平面解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四

5、边形有可能是空间四边形，故四边形不一定能确定一个平面，故B错误；在C中，因为梯形有一组对边平行，所以梯形确定一个平面，故C正确；在D中，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故D错误. 故选C. (教材练习改编)已知a，b是两条直线，则“a，b没有公共点”是“a，b是异面直线”的 ()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解：因为a，b没有公共点，a，b可能平行也可能异面，所以“a，b没有公共点”推不出“a，b是异面直线”，反之，“a，b是异面直线”可以推出“a，b没有公共点”，所以“a，b没有公共点”是“a，b是异面直线”的必要不充分条件.

6、 故选B. (2021全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为 ()A. eq f(,2) B. eq f(,3) C. eq f(,4) D. eq f(,6)解：如图，PBC1即为直线PB与AD1所成的角. 易知A1BC1为正三角形，又因为P为A1C1的中点，所以PBC1eq f(,6). 故选D. 考点一平面的基本性质【多选题】(2021浙江高三期末)已知A，B，C表示三个不同的点，l表示直线，表示平面，则下列判断正确的是 ()A. Al，Bl，A，BlB. A，B，C，A，B，CABC. l，AlAD. A，B，C，A，B，C，A，

7、B，C不共线，重合解：对于A，Al，Bl，A，B，则l，故A正确；对于B，A，B，C，A，B，C，则平面即平面ABC，而C，则，两平面相交有且只有一条交线，即AB，故B正确；对于C，当lA时，满足l，Al，此时A，故C错误；对于D，A，B，C，A，B，C，A，B，C不共线，则点A，B，C确定的平面有且只有一个，即，重合，故D正确. 故选ABD. 【点拨】 结合平面的基本性质及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析. 是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是 ()A. 垂直 B. 相交 C. 异面 D. 平行解：因为Am，A，m，所以A是m和平面

8、相交的点，又n在平面内，所以m和n异面或相交，一定不平行. 故选D. 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ. 求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点. 证明：(1)如图所示. 因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1. 在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD. 所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面. (2)在正方体AC1中，设平面AA1C1C为，又因为设平面BDEF为. 因为QA1C1，所以Q. 又因为QE

9、F，所以Q. 所以Q是与的公共点. 同理，P是与的公共点. 所以PQ. 又因为A1CR，所以RA1C，R，且R. 则RPQ，故P，Q，R三点共线. (3)因为EFBD且EFBD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由MDE，DE平面D1DCC1，得M平面D1DCC1，同理，点M平面B1BCC1. 又因为平面D1DCC1平面B1BCC1CC1，所以MCC1. 所以DE，BF，CC1三线交于点M. 【点拨】 证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利

10、用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD. 在BCD中，因为eq f(BG,GC)eq f(DH,HC)eq f(1,2)，所以GHBD，所以EFGH. 所以E，F，

11、G，H四点共面. (2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC. 同理P平面ADC. 所以P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又因为平面ABC平面ADCAC，所以PAC，即P，A，C三点共线. 考点二判断两条直线的位置关系【多选题】(2020山东烟台适应性训练)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是 ()A. 直线AM与C1C是相交直线B. 直线AM与BN是平行直线C. 直线BN与MB1是异面直线D. 直线MN与AC所成的角为60解：A中，CC1平面CDD1C1，M平面CDD1C1，A平面CDD1C1，MCC1

12、，可知AM与CC1为异面直线，故A错误；B中，取DD1的中点P，连接AP，易知BNAP，APAMA，可知BN与AM不平行，故B错误；C中，BN平面BCC1B1，B1平面BCC1B1，M平面BCC1B1，B1BN，可知BN与MB1异面，可知C正确；D中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，可知MNCD1，则直线MN与AC所成角即为D1CA，又AD1C为等边三角形，可得D1CA60，可知D正确. 故选CD. 【点拨】 空间两条直线位置关系的判定方法：【多选题】(2021重庆质检)四棱锥PABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是 ()A. MN与PD是异面直线B.

13、MN平面PBCC. MNACD. MNPB解：如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，AC，由题意知，四边形MHCN为平行四边形，则MNHC，所以MN平面PBC，设四边形MHCN确定平面，又因为D，但P平面，DMN，因此MN与PD是异面直线，故A，B正确；若MNAC，由于CHMN，则CHAC，事实上ACCHC，C不正确；因为PCBC，H为PB的中点，所以CHPB，又CHMN，所以MNPB，D正确. 故选ABD. 考点三异面直线所成的角(1)(2021湖北省八校联考)正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1eq r(2)AB，D是BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为 ()A. eq f(,

14、6) B. eq f(,4) C. eq f(,3) D. eq f(,2)解：如图，取B1C1的中点E，连接A1E，CE，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面A1B1C1，而A1E底面A1B1C1，所以BB1A1E，由正三棱柱的性质可知，A1B1C1为等边三角形，所以A1EB1C1，且A1EB1C1E，所以A1E平面BB1C1C，而EC平面BB1C1C，则A1EEC，又因为A1EAD，A1EC90，所以CA1E即为异面直线AD与A1C所成的角，不妨设AB2，则AA12eq r(2)，A1Eeq r(3)，CE3，则tanCA1Eeq f(CE,A1E)eq f(3,r(3)eq r(3

15、)，所以CA1Eeq f(,3). 故选C. (2)(教材习题改编)如图是某正方体的平面展开图，B是所在棱的中点，则在该正方体中，AB与CD所成角的余弦值为 ()A. eq f(r(10),10) B. eq f(r(10),5) C. eq f(1,20) D. eq f(1,10)解：将平面展开图还原，如图所示，过点C作CNAB交正方体的棱于点N，则易知N为所在棱的中点，则DCN或其补角为异面直线AB与CD所成的角. 连接DN，设正方体的棱长为2，则易知CD2eq r(2)，CNeq r(5)，NDeq r(221222)3，故在CND中，由余弦定理得cosDCNeq f(CD2CN2DN

16、2,2CDCN)eq f(r(10),10)，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为eq f(r(10),10). 故选A. 【点拨】 平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围为(0，90. (1)(2021合肥市第六中学高一期末)如图，矩形ABCD中，ABeq r(3)，正方形ADEF的边长为1，且平面ABCD平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为 ()A. eq f(r(7),7) B. eq f(r(7),7) C. eq f(r(5),5) D. eq f(r(5),5)解：取AF的中点G，连接AC交BD于O点，如图所示，则

17、OGCF，且OGeq f(1,2)CF，异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角，由平面ABCD平面ADEF知，AF平面ABCD，由题易知ACBD2，CFeq r(1222)eq r(5)，则OGeq f(1,2)CFeq f(r(5),2)，OBeq f(1,2)BD1，BGeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)（r(3)）2)eq f(r(13),2)，则在OBG中，由余弦定理知，cosBOGeq f(OB2OG2BG2,2OBOG)eq f(12blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),2)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(r(13),2)sup12(2),21f(r(5),2)eq f(r(5),5)，由两异面直线夹角的取值范围为(0，eq f(,2)，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为eq f(r(5),5). 故选C. (2)(2020太原三模)如图是