新高考新教材一轮复习人教B版 第九章 第三节　随机事件的概率与古典概型 学案

1、第三节随机事件的概率与古典概型课程标准解读1结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.3.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.4.结合实例，会用频率估计概率. 知识排查微点淘金知识点一样本空间与随机事件1样本空间我们把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母表示)2随机事件：如果随机试验的样本空间为，则随机事件A是的一个非空真子集而且：若试验的结果是

2、A中的元素，则称A发生(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等)随机事件也可用自然语言描述：在一次试验中，可能发生，也可能不发生的事件随机事件可以用集合表示，也可以用语言描述3必然事件、不可能事件、基本事件任何一次随机试验的结果，一定是样本空间中的元素，因此可以认为每次试验中一定发生，从而称为必然事件；又因为空集不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中一定不发生，从而称为不可能事件只含有一个样本点的事件称为基本事件知识点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)事件的和给定

3、事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)AB(或AB)续表定义符号表示事件的积给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或AB)互斥事件给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB对立事件给定样本空间与事件A，则由中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作eq xto(A)AB，且AB(为全集)知识点三随机事件的频率与概率1频数与频率：在相同的条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比值fn(A)eq f(nA,n)为事件A出

4、现的频率2概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数n的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，则把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率微提醒频数是一个整数，其取值范围为0nAn，nAN，因此随机事件A发生的频率fn(A)eq f(nA,n)的可能取值介于0与1之间，即0fn(A)1.知识点四概率的基本性质1P(A)0.2P()1，P()0.3互斥事件的概率加法公式(1)在一次试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(AB)P(A)P(B).特别地，P(A)1P(eq xto(A).(2)一般地，如果事件A1，A2，An是两两互斥事件，那么有P(A1A2An)P(A1)P(

5、A2)P(An).4对任意事件A，B则有P(AB)P(A)P(B)P(AB).5如果AB，那么P(A)P(B)知识点五古典概型1古典概型的特点2古典概型的概率公式假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为eq f(1,n).此时，如果事件C包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知P(C)eq f(m,n).微思考1随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？提示：当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥也即两事件互斥是对立的必要不

6、充分条件2若事件A1，A2，An两两互斥，怎样计算这n个事件的和发生的概率？提示：此时P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)小试牛刀自我诊断1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)随机事件和随机试验是一回事()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(5)从市场上出售的标准为5005g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型()(6)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为eq f(1,3

7、).()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(链接人B必修第二册P101例2)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是eq f(1,4)，取到梅花的概率是eq f(1,4)，则取到红色牌的概率是()A.eq f(1,8)B.eq f(1,4) C.eq f(1,2) D.eq f(3,4)答案：C3(链接人B必修第二册P106例5)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为_.答案：eq f(3,5)4(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%

8、，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是eq f(3,7)；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率答案：05(混淆“等可能性”与“非等可能性”)任意掷两枚骰子，则：(1)出现点数之和为奇数的概率为_.(2)出现点数之和为偶数的概率为_.答案：(1)eq f(1,2)(2)eq f(1,2)一、基础探究点随机事件(题组练透)1在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq f(3,10)，那么概率是eq f(7,10)的事件是()A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张

9、移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.2对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A两次都击中飞机，B两次都没击中飞机，C恰有一次击中飞机，D至少有一次击中飞机，其中彼此互斥的事件是_，互为对立事件的是_.解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为AB，AC，BC，BD，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件而BD，BDI，故B与D互为对立事件答案：A与B，A与C，B与C，B与DB与D判断互斥、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件

10、；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件集合法由各个事件所含的结果组成的集合交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件eq xto(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集二、综合探究点用随机事件的频率估计概率(师生共研)典例剖析例1有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，所用时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期(

11、某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为()A公路1和公路2B公路2和公路1C公路2和公路2 D公路1和公路1解析选A通过公路1到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2到城市乙用时10,11,12,13天的频率分别为0.1,0.4,0.4,0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2，将货物运往城市乙，则P(A1)0.20.40.

12、6，P(A2)0.10.40.5，P(B1)0.20.40.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，所以汽车A最好选择公路1，汽车B最好选择公路2.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 学会用活1某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需

13、求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为e

14、q f(21636,90)0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则Y63002(450300)4450300；若最高气温低于20，则Y62002(450200)4450100，所以，Y的所有可能值为900,300，100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq f(362574,90)0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.三、综合探究点互斥事件、对立事件的概率(思维创新)典例剖析例2A，B，C

15、三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层随机抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表(单位：小时)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取1人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率解(1)由题意，得三个班共抽20个学生，其中C班抽8个，故抽样比keq f(20,100)eq f(1,5)，故C班有学生8eq f(1,5)40(人)(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有

16、5840(种)情况，而且这些情况是等可能的当甲的锻炼时间为6小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有2种情况；当甲的锻炼时间为6.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为7.5小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有3种情况；当甲的锻炼时间为8小时时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的有4种情况故该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率Peq f(23334,40)eq f(3,8).求互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反) 学会用活2某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多

17、得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)易知P(A)eq f(1,1000)，P(B)eq f(1,100)，P(C)eq f(1,20).(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.因为A，B，C两两互斥，所以P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)eq f(11050,1000)eq f(61,1000).故1张奖券的中奖概率为eq

18、f(61,1000).(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)1P(AB)1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,1000)f(1,100)eq f(989,1000).故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq f(989,1000).四、应用探究点古典概型(师生共研)典例剖析例3(1)(2021攀枝花统考)部分省份在即将实施的新高考中将实行312模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二小明与小芳都准备选物理，如果他们都对后面四科的选择没有偏好，则他们所考六科中恰有五

19、科相同的概率为()A.eq f(2,3)B.eq f(1,2)C.eq f(1,3) D.eq f(1,6)解析选A新高考中将实行312模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二小明与小芳都准备选物理，他们都对后面四科的选择没有偏好，样本空间共包含nCeq oal(2,4)Ceq oal(2,4)36个样本点，他们所考六科中恰有五科相同包含的样本点个数为mCeq oal(2,4)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)24，他们所考六科中恰有五科相同的概率为peq f(m,n)eq f(24,36)eq f(2,3).故选A.(2)(2021合肥一模)

20、某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖按照这样的规则摸奖，中奖的概率为()A.eq f(4,5) B.eq f(19,25)C.eq f(23,50) D.eq f(41,100)解析选C分两种情况，第一种第一次摸到连号，则概率为P(A)eq f(4,Coal(2,5)eq f(2,5)，第二种情况对应概率为P(B)eq f(Coal(2,

21、5)4,Coal(2,5)eq f(1,Coal(2,5)eq f(3,50)，所以概率为P(A)P(B)eq f(2,5)eq f(3,50)eq f(23,50)，故选C.1古典概型的概率求解步骤(1)求出所有样本点的个数n；(2)求出事件A包含的所有样本点的个数m；(3)代入公式P(A)eq f(m,n)求解2样本点个数的确定方法(1)列举法：此法适合于样本点个数较少的古典概型；(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中样本点个数的探求；(4)运用排列组合知识计算 学会用活3(2

22、021全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A.eq f(1,3) B.eq f(2,5)C.eq f(2,3) D.eq f(4,5)解析：选C先考虑基本事件的总数，4个1和2个0排成一行，即6个数字排成一行，所以问题可转化为从6个位置中选择2个位置放0，共有Ceq oal(2,6)15个样本点，再考虑2个0不相邻的排法，4个1排成一行，共有5个缝隙(考虑两端)，所以只需从这5个缝隙中选取2个缝隙放0即可，故有Ceq oal(2,5)10个样本点因此2个0不相邻的概率peq f(10,15)eq f(2,3).故选C.概率与数学文化 情境素材易经是我国浩如烟海的先秦古籍中一部最具魅力的经典，古代经学家曾把它列为群经之首湖南教育出版社出版的普通高中教科书