一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

1、页脚一元二次不等式及其解法考点梳理矢站笔辱却“1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(aMO)的形式.当a0时，解集为；当aVO时，解集为.2元二次不等式及其解法我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的.一元二次不等式的解：函数与不等式A0A=0AV0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象甘1/u一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x，x(xVx)1212有两相等实根bx1=x2=_2

2、a无实根ax2+bx+c0(a0)的解集Rax2+bx+cV0(a0)的解集x|xVxVx123.分式不等式解法f(x)化分式不等式为标准型方法：移项，通分，右边化为0,左边化为g(X)的形式.将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f(x)g(x)0of(x)g(x)0；f(x)g(x)VOof(x)g(x)V0；千三0of(x)g(x)刊g(x)g(x)工0；0of(x)g(x)g(x)g(x)M0.基础目测小蜀全祐牛可小试(2014课标I)已知集合A=x|x22x320,B=x|2WxV2，则AnB=()A.2，1B.1，2)C.1，1D.1，2)解：TA=x|x23或xWl,B=x|2W

3、xV2,.AnB=x|2WxW1=2,1.故选A.设f(x)=X2+bx+1且f(l)=f(3)，则f(x)0的解集为()A.x|xWRB.x|xM1,xGRC.x|x21D.x|xW1解：f(1)=1b+1=2b,f(3)=9+3b+1=10+3b,由彳(一1)=f(3),得2b=10+3b,解出b=2，代入原函数，f(x)0即X22x+10,x的取值围是xM1.故选B.已知一2丄2,则x的取值围是()2x亠11A.2x0或0 x2B.2x0时，x2；当x0时，x2.所以x的取值围是x0的解集是解：不等式有10等价于（12x）（x+1）0,也就是（x0(x+1)0,所以一1Vx2f1故填x|

4、1x.（2014武汉调研）若一元二次不等式2kx2+kx弓0,则只须（2x2+x）max8k，解得kw；若k0,则只须（2x2+x），解得kw（3,0）.故k的取值围是（一3,0）.故填（一3,0）.min典例解析|命龙胖析触更帝筑类型一一元一次不等式的解法已知关于x的不等式（a+b）x+2a3b0的解集.解：由（a+b）x0,且3b2aa+b从而a=2b，则a+b=3b0,即b0,将a=2b代入(a3b)x+b2a0,得一bx3b0,xV3，故所求解集为(一g,3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为axb(aMO)的形式挖掘隐含条件a+b0且芈学=一3是解本题的关键.解关于x的不等式：

5、(m24)xVm+2.解：当m24=0即m=2或m=2时，当m=2时，原不等式的解集为0，不符合当m=2时，原不等式的解集为R,符合当m240即mV2或m2时，x.m2当m240即一2mm类型二一元二次不等式的解法x27x+120；(2)X22x+3三0；(3)x22x10.解：(1)x|x4.x|3WxW10.因为A0,可得原不等式的解集为R.亠%fx+1,x0,I变式(2013金华十校联考)已知函数f(x)=则不等式x+(x+x1,x0,1)f(x+1)W1的解集是()A.x|1WxW：21B.x|xW1C.x|xW：21D.x|21WxW21解：由题意得不等式x+(x+1)f(x+1)W

6、1等价于x+10,J或x+(x+1)(x+1)+1W1仪+1三0,1x+(x+1)(x+1)1W1,解不等式组得x0的解集为x|2VxV3，求不等式cx2bx+a0的解集.解：.不等式ax2+bx+c0的解集为x|2VxV3,*a0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得b一=2+3,ac=2X3,ab=5a,即c=6a,、a0.a0,得6ax2+5ax+a0(a0).即6x25x10,f11所求不等式的解集为、x|2x亍.类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2(m+1)x+10.解：(1)m=0时，不等式为一(x1)0,不等式的解集为x|x1；当mM0时

7、，不等式为mfxmj(x1)0.当m0,TOC o 1-5 h z1f1.爲1,.不等式的解集为、x|x.当m0,不等式为xm(x1)0.1f1(I)若mi时，不等式的解集为、ximxi即0mi时，不等式的解集为、xiixmp(III)若m=1即m=1时，不等式的解集为点拨：当x2的系数是参数时,首先对它是否为零进行讨论,确定其是一次不等式还是二次不等式，即对mM0与m=0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m0进行讨论；第三层次：*与1大小的不确定性，对m1与m=l进行讨论.解关于x的不等式ax2222xax(aWR).解：不等式整理为ax2+(a2)

8、x20,当a=0时，解集为(一8,1.2当aMO时，ax2+(a2)x2=0的两根为一1,一，所以当a0时,a解集为(一g,lU彳+TOC o 1-5 h z2一当一2VaV0时，解集为-,1；_cL_当a=2时，解集为x|x=l；-2-当-V2时，解集为一1,-.类型五分式不等式的解法(1)解不等式,X12x+1W1.解：x一1一x一1一一x一2一x+2、并勺E1W寸条亍0.x+2f(x+2)(2x+1)三0,c丄1三0一2或XW2.x2%(2)不等式x2+3x+20的解集是.x一2x一2解:X2+3x+2(x+2)(x+1)0(x2)(x+2)(x+1)0，数轴标根得x|2VxV1或x2,

9、故填x|2x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式,再利用数轴标根法写出不等式的解集,如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根.“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以的围;若不等

10、号为“”，则取数轴下方穿根线以的围；若不等式中含有“=”号，写解集时要考虑分母不能为零.晅若集合A=x|lW2x+lW3,B=|x|X2ol，则AnB=()xA.x|lWxVOB.x|OVxWlC.x|0WxW2D.x|OWxWlfx(x2)W0,解：易知A=x|lWxWl,B集合就是不等式组的解集，求出B=xMOx|0VxW2，所以AnB=x|OVxWl.故选B.（2）不等式xl2x+lWO的解集为（A.(-2,12卜1，解：x一1f(x1)(2x+1)W0,2x+1W0 x+1工0.a2(x+xj.Tf(x)=x+x在，2上是减函数,1b.|_-2,1_D.,1U1,+得一23C.1VxV

11、2D.xV1或x2解：记g(a)=(x2)a+x24x+4,aG1,1,依题意,只须g(1)0,g(1)0X23x+20,X25x+60axV1或x3,故选B.点拨：对于参数变化的情形,大多利用参变量转换法,即参数转换为变量；变量转换为参数,把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值围.对于满足|a|W2的所有实数a,求使不等式X2+ax+l2x+a成立的x的取值围.解：原不等式转化为(xl)a+x22x+l0,设f(a)=(xl)a+x22x+l,则f(a)在2,2上恒大于0,故有：f(2)0,f(2)0即x24x+30,解得xYx0 x

12、1或xVl.xV1或x3.类型七二次方程根的讨论蜃若方程2ax2x1=0在(0,1)有且仅有一解，则a的取值围是()A.a1C.1a1D.0Wa1解法一：令f(x)=2ax2x1,则f(0)f(1)V0,即一1X(2a2)V0,解得a1.解法二：当a=0时，x=1,不合题意，故排除C,D；当a=2时，方程可化为4x2+x+1=0,而A=116V0,无实根，故a=2不适合，排除A.故选B.课时柞业查海补輪据晨想伸1不等式x+10的解集是()A.(r,1)U(1,2B.1,2C.(8,1)U2,+e)D.(1,2解：x+W0(x+1)(x2)W0,且x工一1,即xG(1,2,故选D.f12关于x的

13、不等式(mx1)(x2)0,若此不等式的解集为jx|mx0B.0m2D.m0解：由不等式的解集形式知m0.故选D.f113.(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x一1或x寸，则f(10 x)0的解集为()A.x|x一1或xlg2B.x|1xlg2C.x|xlg2D.x|xlg2解：可设f(x)=a(x+1)x|(a0),由f(10 x)0可得(10 x+1)10 x0,从而山扌,解得x一lg2，故选D.4.(2013陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位：m)的取值围是()A.15，20B.12，25C.1

14、0，30D.20，30 x40y解：设矩形的另一边为ym,依题意得40=40，即y=40 x,所以x(40 x)2300,解得10WxW30.故选C.5若关于x的不等式2x28x4a0在(1,4)有解，则实数a的取值围是()A.a4C.a12D.a0在(1,4)有解，即aV2x28x4在(1,4)有解，令f(x)=2x28x4=2(x2)212，当x=2时，f(x)取最小值f(2)=12；当x=4时,f(4)=2(42)212=4，所以在(1,4)上，一12Wf(x)V4.要使aVf(x)有解，则aV4.故选D.若不等式X2kx+k10对xe(1,2)恒成立，则实数k的取值围是.解：Txw(1

15、,2),：x10.则X2kx+k1=(x1)(x+1k)0,等价于x+1k0,即kx+1恒成立，由于2x+13,所以只要kW2即可.故填(一8,2.(2014江苏)已知函数f(x)=X2+mx1,若对于任意xem,m+1，都有f(x)V0成立，则实数m的取值围是.解：由题可得f(x)V0对于xem,m+1恒成立，即f（m）=2m21V0，f(m1)=2m23mV0，若关于x的不等式x2axaW3的解集不是空集，数a的取值围.解：X2axaW3的解集不是空集X2axa+3=0的判别式三0,解得aW6或a2.9已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；若f(x)的最大值为正数，求a的取值围.解：(1)Vf(x)+2x0的解集为(1,3),/.f(x)+2x=a(x1)(x3)，且a0.因而f(x)=a(x1)(x3)2x=ax2(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0得ax2(2+4a)x+9a=0.因为方程有两个相等的实根，所以A=(2