2022版高考数学大一轮复习集合与函数

1、第1讲集合最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的根本关系及集合的根本运算知 识 梳 理1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为和.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法2集合间的根

2、本关系(1)子集：假设对任意xA，都有xB，那么AB或BA.(2)真子集：假设AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么AB或BA.(3)相等：假设AB，且BA，那么AB.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3集合的根本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB假设全集为U，那么集合A的补集为U A图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4.集合关系与运算的常用结论(1)假设有限集A中有n个元素，那么A的子集有2n个，真子集有2n1个(2)子集的传递性：AB，BCAC(3)ABABAABB(4)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(

3、UA)(UB)诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“或“)精彩PPT展示(1)任何集合都有两个子集()(2)集合Ax|yx2，By|yx2，C(x，y)|yx2，那么ABC.()(3)假设x2，10，1，那么x0，1.()(4)假设ABAC，那么BC.()解析(1)错误空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的(2)错误集合A是函数yx2的定义域，即A(，)；集合B是函数yx2的值域，即B0，)；集合C是抛物线yx2上的点集因此A，B，C不相等(3)错误当x1，不满足互异性(4)错误当A时，B，C可为任意集合答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)假设集合AxN|xeq r(10)，a2

4、eq r(2)，那么以下结论正确的选项是()AaA BaA CaA DaA解析由题意知A0，1，2，3，由a2eq r(2)，知a A.答案D3(2022全国卷)设集合Ax|x24x30，那么AB_A.eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(3,2) B.eq blc(rc)(avs4alco1(3，f(3,2)C.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)解析易知A(1，3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，)，所以ABeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，

5、3).答案D4(2022济南模拟)设全集Ux|xN，x6，集合A1，3，B3，5，那么U(AB)等于()A1，4 B1，5C2，5 D2，4解析由题意得AB1，33，51，3，5又U1，2，3，4，5，U(AB)2，4答案D5集合A(x，y)|x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，那么AB的元素个数为_解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线yx，易知直线yx和圆x2y21相交，且有2个交点，故AB中有2个元素答案2考点一集合的根本概念例1 (1)集合A0，1，2，那么集合Bxy|xA，yA中元素的个数是()A1 B3 C5 D9(2)假设集合AxR|ax23x20中

6、只有一个元素，那么a()A.eq f(9,2) B.eq f(9,8) C0 D0或eq f(9,8)解析(1)当x0，y0，1，2时，xy0，1，2；当x1，y0，1，2时，xy1，0，1；当x2，y0，1，2时，xy2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B的元素为2，1，0，1，2，共5个(2)假设集合A中只有一个元素，那么方程ax23x20只有一个实根或有两个相等实根当a0时，xeq f(2,3)，符合题意；当a0时，由(3)28a0，得aeq f(9,8)，所以a的取值为0或eq f(9,8).答案(1)C(2)D规律方法(1)第(1)题易无视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合

7、A中只有一个元素，要分a0与a0两种情况进行讨论，此题易无视a0的情形(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合【训练1】 (1)设a，bR，集合1，ab，aeq blcrc(avs4alco1(0，f(b,a)，b)，那么ba_(2)集合AxR|ax23x20，假设A，那么实数a的取值范围为_解析(1)因为1，ab，aeq blcrc(avs4alco1(0，f(b,a)，b)，a0，所以ab0，且b1，所以a1，b1，所以ba2.(2)由A知方程ax23x20无实根，当a0时，xeq f(2,3)不合题意，舍去；当a0

8、时，98a0，aeq f(9,8).答案(1)2(2)eq blc(rc)(avs4alco1(，f(9,8)考点二集合间的根本关系例2 (1)集合Ax|yeq r(1x2)，xR，Bx|xm2，mA，那么()AAB BBA CAB DBA(2)集合Ax|2x7，Bx|m1x2m1，假设BA，那么实数m的取值范围是_解析(1)易知Ax|1x1，所以Bx|xm2，mAx|0 x1因此BA.(2)当B时，有m12m1，那么m2.当B时，假设BA，如图那么eq blc(avs4alco1(m12，,2m17，,m12m1，)解得20，且BA，那么集合B可能是()A1，2 Bx|x1C1，0，1 DR

9、(2)(2022郑州调研)集合Ax|eq r(x)eq r(x22)，xR，B1，m，假设AB，那么m的值为()A2 B1C1或2 D.eq r(2)或2解析(1)因为Ax|x0，且BA，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确(2)由eq r(x)eq r(x22)，得x2，那么A2因为B1，m且AB，所以m2.答案(1)A(2)A考点三集合的根本运算例3 (1)(2022全国卷)集合Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，那么集合AB中元素的个数为()A5 B4 C3 D2(2)(2022浙江卷)设集合PxR|1x3，QxR|x24，那么P(RQ)()A2，3 B(2，3C1，2)

10、 D(，2)1，)解析(1)集合A中元素满足x3n2，nN，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素(2)易知Qx|x2或x2RQx|2x2，又Px|1x3，故P(R Q)x|2x3答案(1)D(2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍【训练3】 (1)(2022石家庄模拟)设集合M1，1，Nx|x2x6，那么以下结论正确的选项是()ANM BNMCMN DMNR(2)(2022山东卷)设集合U1，2，3，4，5，6，A1，

11、3，5，B3，4，5，那么U (AB)()A2，6 B3，6 C1，3，4，5 D1，2，4，6解析(1)易知N(2，3)，且M1，1，MN.(2)A1，3，5，B3，4，5，AB1，3，4，5，又全集U1，2，3，4，5，6，因此U (AB)2，6答案(1)C(2)A思想方法1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又

12、一表达易错防范1集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的附属关系；二是集合与集合的包含关系4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.根底稳固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2022全国卷)集合A1，2，3，B2，3，那么()AAB BABCAB DBA解析A1，2，3，B2，3，2，3A且2，3B，1A但1B，BA.答案D2(2022全国卷)集合A1

13、，2，3，Bx|(x1)(x2)0，xZ，那么AB()A1 B1，2C0，1，2，3 D1，0，1，2，3解析由(x1)(x2)0，得1x0，Bx|x1，那么()AAB BABR CBA DAB解析由Bx|x1，且Ax|lg x0(1，)，ABR.答案B4集合Px|x21，Ma假设PMP，那么a的取值范围是()A(，1 B1，)C1，1 D(，11，)解析因为PMP，所以MP，即aP，得a21，解得1a1，所以a的取值范围是1，1答案C5(2022山东卷)设集合Ay|y2x，xR，Bx|x210，那么A(0，)又Bx|x210(1，1)因此AB(1，)答案C6(2022浙江卷)全集U1，2，3

14、，4，5，6，集合P1，3，5，Q1，2，4，那么(UP)Q()A1 B3，5C1，2，4，6 D1，2，3，4，5解析U1，2，3，4，5，6，P1，3，5，UP2，4，6，Q1，2，4，(UP)Q1，2，4，6答案C7假设xA，那么eq f(1,x)A，就称A是伙伴关系集合，集合Meq blcrc(avs4alco1(1，0，f(1,2)，2，3)的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A1 B3C7 D31解析具有伙伴关系的元素组是1，eq f(1,2)，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，eq blcrc(avs4alc

15、o1(1，f(1,2)，2).答案B8全集UR，Ax|x0，Bx|x1，那么集合U(AB)()Ax|x0 Bx|x1Cx|0 x1 Dx|0 x1解析Ax|x0，Bx|x1，ABx|x0或x1，在数轴上表示如图U(AB)x|0 x0，且1A，那么实数a的取值范围是_解析1x|x22xa0，1x|x22xa0，即12a0，a1.答案(，110(2022天津卷)集合A1，2，3，By|y2x1，xA，那么AB_解析由A1，2，3，By|y2x1，xA，B1，3，5，因此AB1，3答案1，311集合Ax|x0，得x0，B(，1)(0，)，AB1，0)答案1，0)12(2022石家庄质检)集合Ax|x

16、22 016x2 0170，Bx|xm1，假设AB，那么实数m的取值范围是_解析由x22 016x2 0170，得A1，2 017，又Bx|x2 017，那么m2 016.答案(2 016，)能力提升题组(建议用时：10分钟)13(2022全国卷改编)设集合Sx|(x2)(x3)0，Tx|x0，那么(RS)T()A2，3 B(，2)3，)C(2，3) D(0，)解析易知S(，23，)，RS(2，3)，因此(RS)T(2，3)答案C14(2022黄山模拟)集合UR，Ax|x2x20，Bx|yln(1x)，那么图中阴影局部所表示的集合是()Ax|x1 Bx|1x2Cx|0 x1 Dx|x1解析易知

17、A(1，2)，B(，1)，UB1，)，A(UB)1，2)因此阴影局部表示的集合为A(UB)x|1x0，知Bx|x3或x0，AB4，即AB中只有一个元素答案116集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，那么mn_解析AxR|x2|3xR|5x1，由AB(1，n)可知m1，那么Bx|mx6或52是假命题()(3)命题綈(pq)是假命题，那么命题p，q中至少有一个是真命题()(4)“长方形的对角线相等是存在性命题()(5)xM，p(x)与xM，綈p(x)的真假性相反()解析(1)错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的(2)错误命题pq中，p，q有一真那么真(3)错误

18、pq是真命题，那么p，q都是真命题(4)错误命题“长方形的对角线相等是全称命题答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)p：2是偶数，q：2是质数，那么命题綈p，綈q，pq，pq中真命题的个数为()A1 B2C3 D4解析p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，pq，pq都是真命题答案B3(2022全国卷)设命题p：nN，n22n，那么綈p为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n解析命题p的量词“改为“，“n22n改为“n22n，綈p：nN，n22n.答案C4(2022济南调研)以下命题中的假命题是()AxR，lg x1 BxR，sin x0Cx

19、R，x30 DxR，2x0解析当x10时，lg 101，那么A为真命题；当x0时，sin 00，那么B为真命题；当x0时，x30，那么C为假命题；由指数函数的性质知，xR，2x0，那么D为真命题应选C.答案C5(2022山东卷)假设“xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)，tan xm是真命题，那么实数m的最小值为_解析函数ytan x在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,4)上是增函数，ymaxtan eq f(,4)1，依题意，mymax，即m1.m的最小值为1.答案1考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 设a，b，c是非零向量命题p: 假设ab0，bc0，

20、那么ac0；命题q：假设ab，bc，那么ac.那么以下命题中真命题是()Apq BpqC(綈p)(綈q) Dp(綈q)解析取ac(1，0)，b(0，1)，显然ab0，bc0，但ac10，p是假命题又a，b，c是非零向量，由ab知axb，由bc知byc，axyc，ac，q是真命题综上知pq是真命题，pq是假命题又綈p为真命题，綈q为假命题(綈p)(綈q)，p(綈q)都是假命题答案A规律方法(1)“pq、“pq、“綈p形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或“且“非含义的理解，其操作步骤是：明确其构成形式；判断其中命题p，q的真假；确定“pq“pq“綈p形式命题的真假(2)p且q形式是“一假必假，

21、全真才真，p或q形式是“一真必真，全假才假，非p那么是“与p的真假相反【训练1】 (2022郑州调研)命题p：函数ylog2(x2)的单调增区间是1，)，命题q：函数yeq f(1,3x1)的值域为(0，1)以下命题是真命题的为()Apq BpqCp(綈q) D綈q解析由于ylog2(x2)在(2，)上是增函数，命题p是假命题由3x0，得3x11，所以0eq f(1,3x1)0，那么綈p是()AxR，exx10 BxR，exx10CxR，exx10的否认为綈p：xR，exx10.(2)画出可行域如图中阴影局部所示，由图可知，当目标函数zx2y，经过可行域的点A(2，1)时，取得最小值0，故x2

22、y0.因此p1，p2是真命题答案(1)B(2)B规律方法(1)全称命题与存在性命题的否认与命题的否认有一定的区别，否认全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否认结论，而一般命题的否认只需直接否认结论(2)判定全称命题“xM，p(x)是真命题需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x，使p(x)成立【训练2】 (2022安徽皖江名校联考)命题p：存在xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)，使sin xcos xeq r(2)；命题q：“x(0，)，ln xx1的否

23、认是“x(0，)，ln xx1，那么四个命题：(綈p)(綈q)，pq，(綈p)q，p(綈q)中，正确命题的个数为()A1 B2 C3 D4解析因为sin xcos xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq r(2)，所以命题p是假命题；又存在性命题的否认是全称命题，因此命题q为真命题那么(綈p)(綈q)为真命题，pq为假命题，(綈p)q为真命题，p(綈q)为假命题四个命题中正确的有2个命题答案B考点三由命题的真假求参数的取值范围例3 (1)命题“xR，使2x2(a1)xeq f(1,2)0是假命题，那么实数a的取值范围是()A(，1) B(1，3)C(3

24、，) D(3，1)(2)p：xR，mx210，q：xR，x2mx10，假设pq为假命题，那么实数m的取值范围是()A2，) B(，2C(，22，) D2，2解析(1)原命题的否认为xR，2x2(a1)xeq f(1,2)0，由题意知，其为真命题，即(a1)242eq f(1,2)0，那么2a12，那么1a3.(2)依题意知，p，q均为假命题当p是假命题时，mx210恒成立，那么有m0；当q是假命题时，那么有m240，m2或m2.因此由p，q均为假命题得eq blc(avs4alco1(m0，,m2或m2，)即m2.答案(1)B(2)A规律方法(1)根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：根

25、据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；求出每个命题是真命题时参数的取值范围；根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围(2)全称命题可转化为恒成立问题【训练3】 (2022衡水中学月考)设p：实数x满足x25ax4a20)，q：实数x满足2x5.(1)假设a1，且pq为真，求实数x的取值范围(2)假设綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围解(1)当a1时，x25ax4a20即为x25x40，解得1x4，当p为真时，实数x的取值范围是1x4.假设pq为真，那么p真且q真，所以实数x的取值范围是(2，4)(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件设Ax

26、|p(x)，Bx|q(x)，那么BA.由x25ax4a20得(x4a)(xa)0，Ax|ax4a，又Bx|25，解得eq f(5,4)x2Cab0的充要条件是eq f(a,b)1D“a1，b1是“ab1的充分条件解析因为yex0，xR恒成立，所以A不正确因为当x5时，251，b1时，显然ab1，D正确答案D6命题p：xR，ax2ax10，假设綈p是真命题，那么实数a的取值范围是()A(0，4B0，4C(，04，)D(，0)(4，)解析因为命题p：xR，ax2ax10，所以命题綈p：xR，ax2ax10，那么a0，,a24a0，)解得a4.答案D7(2022衡阳模拟)命题p：R，cos()cos

27、 ；命题q：xR，x210.那么下面结论正确的选项是()Apq是真命题Bpq是假命题C綈p是真命题D綈q是真命题解析对于p：取eq f(,2)，那么cos()cos ，所以命题p为真命题；对于命题q：x20，x210，所以q为真命题由此可得pq是真命题答案A8(2022江西赣中南五校联考)命题p：xR，(m1)(x21)0，命题q：xR，x2mx10恒成立假设pq为假命题，那么实数m的取值范围为()A2，)B(，2(1，)C(，22，)D(1，2解析由命题p：xR，(m1)(x21)0可得m1；由命题q：xR，x2mx10恒成立，可得2m2，假设命题p，q均为真命题，那么此时21.答案B二、填

28、空题9命题“xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，tan xsin x的否认是_答案xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，tan xsin x10假设命题“xR，使得x2(a1)x10是真命题，那么实数a的取值范围是_解析“xR，使得x2(a1)x10是真命题，(a1)240，即(a1)24，a12或a12，a3或a1.答案(，1)(3，)11(2022大连调研)以下四个命题：“假设x2x0，那么x0或x1的逆否命题为“x0且x1，那么x2x0“x0的充分不必要条件命题p：存在xR，使得x2x10 x2或x1.“x0的充分不必要条件，正确中，假设pq

29、为假命题，那么p，q至少有一个假命题，错误答案12命题p：“x0，1，aex；命题q：“xR，使得x24xa0假设命题“pq是真命题，那么实数a的取值范围是_解析假设命题“pq是真命题，那么命题p，q都是真命题由x0，1，aex，得ae；由xR，使x24xa0，知164a0，得a4，因此ea4.答案e，4能力提升题组(建议用时：10分钟)13(2022浙江卷)命题“xR，nN，使得nx2的否认形式是()AxR，nN，使得nx2BxR，nN，使得nx2CxR，nN，使得nx2DxR，nN，使得nx2解析改变量词，否认结论綈p应为：xR，nN，使得n2是“eq f(1,x)eq f(1,2)的充分

30、不必要条件；一个命题的否命题为真，那么它的逆命题一定为真其中说法不正确的序号是_解析逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故错误；此命题的逆否命题为“设a，bR，假设a3且b3，那么ab6，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，错误；eq f(1,x)eq f(1,2)，那么eq f(1,x)eq f(1,2)eq f(2x,2x)0，解得x2，所以“x2是“eq f(1,x)0，yR，那么“xy是“x|y|的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析xyeq avs4al(/) x|y|(如x1，y2)但x|y|时，能有xy.“xy是“x|y|的必要不充

31、分条件答案C4命题“假设a3，那么a6以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A1 B2C3 D4解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“假设a6，那么a3是假命题，从而其否命题也是假命题因此四个命题中有2个假命题答案B5(2022大连双基检测)函数f(x)的定义域为R，那么命题p：“函数f(x)为偶函数是命题q：“xR，f(x)f(x)的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析假设f(x)为偶函数，那么有f(x)f(x)，所以pq；假设f(x)x，当x0时，f(0)f(0)，而f(x)x为奇函数，所以eq avs4al(q/)p.“命

32、题p是“命题q的充分不必要条件答案A考点一四种命题的关系及其真假判断例1 (1)命题“假设x23x40，那么x4的逆否命题及其真假性为()A“假设x4，那么x23x40为真命题B“假设x4，那么x23x40为真命题C“假设x4，那么x23x40为假命题D“假设x4，那么x23x40为假命题(2)原命题为“假设z1，z2互为共轭复数，那么|z1|z2|，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是()A真、假、真 B假、假、真C真、真、假 D假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x23x40，得x4或1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题(2)由共

33、轭复数的性质，|z1|z2|，原命题为真，因此其逆否命题为真；取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假答案(1)C(2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“假设p，那么q的形式，应先改写成“假设p，那么q的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保存大前提不变(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假【训练1】 ：命题“假设

34、函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，那么m1，那么以下结论正确的选项是()A否命题是“假设函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，那么m1，是真命题B逆命题是“假设m1，那么函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，是假命题C逆否命题是“假设m1，那么函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，是真命题D逆否命题是“假设m1，那么函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数，是真命题解析由f(x)exmx在(0，)上是增函数，那么f(x)exm0恒成立，m1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“假设m1，那么函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数是真命题答案D考点二充分条件与必要条件的

35、判定例2 (1)函数f(x)在x处导数存在假设p：f(x)0；q：x是f(x)的极值点，那么()Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2022衡阳一模)“a1是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析(1)由极值的定义，qp，但eq avs4al(p/)q.例如f(x)x3，在x0处f(0)0，f(x)x3是增函数，x0不是函数f(x)x3的极值点因此p是q的必要不充分条件(2)直线axy10与直线(a2

36、)x3y20垂直的充要条件为a(a2)1(3)0，解得a1或3，故“a1是“直线axy10与直线(a2)x3y20垂直的充分不必要条件答案(1)C(2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否认形式给出的问题，如“xy1是“x1或y1的何种条件，即可转化为判断“x1且y1是“xy1的何种条件【训练2】 (2022山东卷)直线a，b分别在两个不同的平面 ，内，那么“直线a和直线b相交是“平面和平面相

37、交的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由题意知a，b，假设a，b相交，那么a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，假设，相交，那么a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交是“平面和平面相交的充分不必要条件答案A考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)例3 (经典母题)Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m假设xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10 xP是xS的必要条件，那么SP.eq blc(avs4alco1(1m2，,1m10，)解得m3.又S为非空集合，1m1

38、m，解得m0.综上，可知m03时，xP是xS的必要条件迁移探究1 本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件？解由例题知Px|2x10假设xP是xS的充要条件，那么PS，eq blc(avs4alco1(1m2，,1m10，)eq blc(avs4alco1(m3，,m9，)这样的m不存在迁移探究2 本例条件不变，假设綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由例题知Px|2x10綈P是綈S的必要不充分条件，P是S的充分不必要条件，PS且Seq avs4al(/)P.2，101m，1meq blc(avs4alco1(1m2，,1m10)或eq blc(avs4alco1(1

39、m0，那么方程x2xm0有实根的逆否命题是()A假设方程x2xm0有实根，那么m0B假设方程x2xm0有实根，那么m0C假设方程x2xm0没有实根，那么m0D假设方程x2xm0没有实根，那么m0解析根据逆否命题的定义，命题“假设m0，那么方程x2xm0有实根的逆否命题是“假设方程x2xm0没有实根，那么m0答案D2“x1是“x22x10的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析因为x22x10有两个相等的实数根为x1，所以“x1是“x22x10的充要条件答案A3设，是两个不同的平面，m是直线且m，那么“m是“的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要

40、条件 D既不充分也不必要条件解析m，meq avs4al(/) ，但m，m，“m是“的必要不充分条件答案B4(2022安徽江南十校联考)“a0是“函数f(x)sin xeq f(1,x)a为奇函数的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析显然a0时，f(x)sin xeq f(1,x)为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(x)f(x)0.又f(x)f(x)sin(x)eq f(1,x)asin xeq f(1,x)a0.因此2a0，故a0.所以“a0是“函数f(x)为奇函数的充要条件答案C5以下结论错误的选项是()A命题“假设x23x40，那么x4的逆否命题为

41、“假设x4，那么x23x40B“x4是“x23x40的充分条件C命题“假设m0，那么方程x2xm0有实根的逆命题为真命题D命题“假设m2n20，那么m0且n0的否命题是“假设m2n20，那么m0或n0解析C项命题的逆命题为“假设方程x2xm0有实根，那么m0假设方程有实根，那么14m0，即meq f(1,4)，不能推出m0.所以不是真命题答案C6设xR，那么“1x2是“|x2|1的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由|x2|1，得1x3，所以1x21x3；但1x3eq avs4al(/) 1x2.所以“1x2是“|x2|eq r(b)是“ln aln

42、b的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由ln aln bab0eq r(a)eq r(b)，故必要性成立当a1，b0时，满足eq r(a)eq r(b)，但ln b无意义，所以ln aln b不成立，故充分性不成立答案B二、填空题9“假设ab，那么ac2bc2，那么命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题答案210“sin cos 是“cos 20的_条件解析cos 20等价于cos2sin20，即cos sin .由cos sin 得到cos 20；反之不成立“sin cos 是

43、“cos 20的充分不必要条件答案充分不必要11命题p：axa1，命题q：x24x0，假设p是q的充分不必要条件，那么a的取值范围是_解析令Mx|axa1，Nx|x24x0 x|0 x0，,a14，)解得0ab，那么a2b2的否命题；“假设xy0，那么x，y互为相反数的逆命题；“假设x24，那么2x2的逆否命题其中真命题的序号是_解析原命题的否命题为“假设ab，那么a2b2错误原命题的逆命题为：“假设x，y互为相反数，那么xy0正确原命题的逆否命题为“假设x2或x2，那么x24正确答案能力提升题组(建议用时：10分钟)13(2022四川卷)设p：实数x，y满足(x1)2(y1)22，q：实数x

44、，y满足eq blc(avs4alco1(yx1，,y1x，,y1，)那么p是q的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析如图作出p，q表示的区域，其中M及其内部为p表示的区域，ABC及其内部(阴影局部)为q表示的区域故p是q的必要不充分条件答案A14(2022南昌十所省重点中学联考)mR，“函数y2xm1有零点是“函数ylogmx在(0，)上为减函数的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由y2xm10，得m12x，那么m1.由于函数ylogmx在(0，)上是减函数，所以0m0是“x1的充分不必要条件；命题：“xR，s

45、in x1的否认是“xR，sin x1；“假设xeq f(,4)，那么tan x1的逆命题为真命题；假设f(x)是R上的奇函数，那么f(log32)f(log23)0.解析中“x2x20是“x1的必要不充分条件，故错误对于，命题：“xR，sin x1的否认是“xR，sin x1，故正确对于，“假设xeq f(,4)，那么tan x1的逆命题为“假设tan x1，那么xeq f(,4)，其为假命题，故错误对于，假设f(x)是R上的奇函数，那么f(x)f(x)0，log32eq f(1,log23)log32，log32与log23不互为相反数，故错误答案第1讲函数及其表示最新考纲1.了解构成函数

46、的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)知 识 梳 理1函数与映射的概念函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB对A中的任意x，按照确定的法那么f，都有唯一确定的数y与它对应如果按照某种对应法那么f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应名称这种对应关系叫做集合A上的一个函数称f是集合A到集合B的映射记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数

47、yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数为相等函数3函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数(1)假设函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个局部组成，但它表示的是一个函数诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“或“)精彩PPT展示(1)函数y1与yx0是同一个

48、函数()(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点()(3)函数yeq r(x21)1的值域是y|y1()(4)假设两个函数的定义域与值域相同，那么这两个函数相等()解析(1)函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数(3)由于x211，故yeq r(x21)10，故函数yeq r(x21)1的值域是y|y0(4)假设两个函数的定义域、对应法那么均对应相同时，才是相等函数答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)假设函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，那么函数yf(x)的图象可能是()解析A中函数定义域不是2，2，C中图象不表

49、示函数，D中函数值域不是0，2答案B3(2022青岛一模)函数yeq f(r(1x2),2x23x2)的定义域为()A(，1 B1，1C1，2)(2，) D.eq blcrc)(avs4alco1(1，f(1,2)eq blc(rc(avs4alco1(f(1,2)，1)解析由题意，得eq blc(avs4alco1(1x20，,2x23x20.)解之得1x1且xeq f(1,2).答案D4(2022陕西卷)设f(x)eq blc(avs4alco1(1r(x)，x0，,2x，x0，)那么f(f(2)等于()A1 B.eq f(1,4)C.eq f(1,2) D.eq f(3,2)解析因为20

50、，所以f(f(2)feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)1eq r(f(1,4)1eq f(1,2)eq f(1,2).答案C5(2022全国卷)函数f(x)ax32x的图象过点(1，4)，那么a_解析由题意知点(1，4)在函数f(x)ax32x的图象上，所以4a2，那么a2.答案2考点一求函数的定义域例1 (1)(2022沈阳调研)函数f(x)ln eq f(x,x1)xeq f(1,2)的定义域为()A(0，) B(1，)C(0，1) D(0，1)(1，)(2)假设函数yf(x)的定义域是1，2 017，那么函数g(x)eq f(fx1,x1)的定义域是_解析(1)要使函

51、数f(x)有意义，应满足eq blc(avs4alco1(f(x,x1)0，,x0，)解得x1，故函数f(x)lneq f(x,x1)xeq f(1,2)的定义域为(1，)(2)yf(x)的定义域为1，2 017，g(x)有意义，应满足eq blc(avs4alco1(1x12 017，,x10.)0 x2 016，且x1.因此g(x)的定义域为x|0 x2 016，且x1答案(1)B(2)x|0 x2 016，且x1规律方法求函数定义域的类型及求法(1)函数的解析式，那么构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)假设f(x)的

52、定义域为a，b，那么f(g(x)的定义域可由ag(x)b求出；假设f(g(x)的定义域为a，b，那么f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域训练1 (1)(2022湖北卷)函数f(x)eq r(4|x|)lgeq f(x25x6,x3)的定义域为()A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6(2)假设函数f(x)eq r(2x22axa1)的定义域为R，那么a的取值范围为_解析(1)要使函数f(x)有意义，应满足eq blc(avs4alco1(4|x|0，,f(x25x6,x3)0，)eq blc(avs4alco1(|x|4，,x20且x3，)那么21)，那么x

53、eq f(2,t1)，f(t)lgeq f(2,t1)，即f(x)lgeq f(2,x1)(x1)(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，那么2axabx1，eq blc(avs4alco1(2a1，,ab1，)即eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,bf(3,2).)f(x)eq f(1,2)x2eq f(3,2)x2.(3)在f(x)2feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq r(x)1中，将x换成eq f(1,x)，那么eq f(1,x)换成x，得feq blc(rc)(av

54、s4alco1(f(1,x)2f(x)eq r(f(1,x)1，由eq blc(avs4alco1(fx2fblc(rc)(avs4alco1(f(1,x)r(x)1，,fblc(rc)(avs4alco1(f(1,x)2fxr(f(1,x)1，)解得f(x)eq f(2,3)eq r(x)eq f(1,3).答案(1)lgeq f(2,x1)(x1)(2)eq f(1,2)x2eq f(3,2)x2(3)eq f(2,3)eq r(x)eq f(1,3)规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：假设函数的类型，可用待定系数法(2)换元法：复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要

55、注意新元的取值范围(3)构造法：关于f(x)与feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)或f(x)的表达式，可根据条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)(4)配凑法：由条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式训练2 (1)f(eq r(x)1)x2eq r(x)，那么f(x)_(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)假设当0 x1时，f(x)x(1x)，那么当1x0时，f(x)_(3)定义在(1，1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，那么f(x)_解析(1)令eq r(

56、x)1t，那么x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1)(2)当1x0时，0 x11，由f(x)eq f(1,2)f(x1)eq f(1,2)x(x1)(3)当x(1，1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)将x换成x，那么x换成x，得2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)eq f(2,3)lg(x1)eq f(1,3)lg(1x)，x(1，1)答案(1)x21(x1)(2)eq f(1,2)x(x1)(3)eq f(2,3)lg(x1)eq f(1,3)lg(1x)(1x1)考点三分段函数(多维探究)命题角度一求分段函数的

57、函数值例31 (2022全国卷)设函数f(x)eq blc(avs4alco1(1log22x，x1，f(log212)2(log2121)2log266，因此f(2)f(log212)369.答案C命题角度二求参数的值或取值范围例32 (1)(2022山东卷)设函数f(x)eq blc(avs4alco1(3xb，x1，,2x，x1.)假设feq blc(rc)(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(5,6)4，那么b()A1 B.eq f(7,8) C.eq f(3,4) D.eq f(1,2)(2)(2022全国卷)设函数f(x)eq blc(avs4alco1(

58、ex1，x1，,xf(1,3)，x1，)那么使得f(x)2成立的x的取值范围是_解析(1)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)3eq f(5,6)beq f(5,2)b，假设eq f(5,2)beq f(3,2)时，那么feq blcrc(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(5,6)feq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)b)b4，解之得beq f(7,8)，不合题意舍去假设eq f(5,2)b1，即beq f(3,2)，那么2eq f(5,2)b4，解得beq f(1,2

59、).(2)当x1时，ex12，解得x1ln 2，所以x1，)且f(a)3，那么f(6a)()Aeq f(7,4) Beq f(5,4) Ceq f(3,4) Deq f(1,4)(2)(2022南京、盐城模拟)函数f(x)eq blc(avs4alco1(f(x,2)1，x0，,x12，x0，)那么不等式f(x)1的解集是_解析(1)当a1时，f(a)2a123，即2a11，不成立，舍去；当a1时，f(a)log2(a1)3，即log2(a1)3，解得a7，此时f(6a)f(1)222eq f(7,4).应选A.(2)当x0时，由题意得eq f(x,2)11，解之得4x0.当x0时，由题意得(

60、x1)21，解之得00，解得x1或x0，)那么feq blcrc(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(1,9)()A2 B3 C9 D9解析feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,9)log3eq f(1,9)2，feq blcrc(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(1,9)f(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2)9.答案C5某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函