直角三角形知识点回顾

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业知识点回顾知识点一：直角三角形的概念与性质1有一个角是 的三角形叫做直角三角形；2直角三角形的两个锐角 ；3直角三角形斜边上的中线等于 的一半.例1（2009湖北省荆门市）如图1，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB = （ ） （图1）A、40 B、30 C、20 D、10解：RtABC中，ACB=90，A=50，B=9050=40由折叠得DAC=A=50，DAC=B+ADBADB=5040=10，选D.例2若直

2、角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积是 cm2.解：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形斜边的长为212=24cm.直角三角形的面积是2410=120cm2.同步检测一：1（2009年湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，1与2的和总是保持不变，那么1与2的和是_度（图3）（图2）2如图3，RtABC中，B=90，BDAC于D，点E为AC的中点，若BC=7，AB=24，则BE= ，BD= .知识点二：勾股定理直角三角形 的平方和等于 的平方例3

3、（2009年四川省宜宾市）已知：如图4，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜边AB3，则图中阴影部分的面积和为 （图4）解：过点E作EDAB于点D，可证得ED=AB，=AB2，同理=AC2，=BC2，从而图中阴影部分的面积和为（AB2+ AC2+ BC2）=（AB2+ AB2）=.例4（2009年湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为 （ ）（图5）A、1 B、 C、 D、2解：RtDAB中，BD=，设AG=x，则BG=4x由折叠得AD=AD=3，AG=AG=x，DAG=A=90，AB=BDAD=

4、53=2，GAB=90，从而RtGAB中，x2+22=（4x）2.解得x=，选C.同步检测二：3如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 .（图6）4（2009年四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 （ ）A、13 B、26 C、47 D、945（2009年黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，求BM的长.知识点三：直角三角形的判定方法1根据

5、定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形；2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且C=90.（图7）例5（2009年湖南省衡阳市）如图7，A、B、C分别表示三个村庄，AB1000米，BC600米，AC800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在 （ ）A、AB中点 B、BC中点C、AC中点 D、C的平分线与AB的交点解：显然到A、B、C三个村庄距离相等的点P应该是AB、BC、AC三边垂直平分线的交点.又BC2+AC2=6002+8002=；AB2=100

6、02=BC2+AC2=AB2，ACB=90,由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P的位置应在AB的中点处，选A.例6如图8，点P是等边ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ. （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PAPBPC=345，连接PQ，试判断PQC的形状，并说明理由.（图8）（1）答：AP=CQ证：ABC为等边三角形AB=BC，ABC=60PBQ=60ABC=PBQABP=CBQ在ABP与CBQ中，ABPCBQ（SAS）AP=CQ（2）答：PQC为直角三角形.理由是：设PA=3k

7、，则PB=4k，PC=5k（k0），CQ=AP=3kBQ=BP，PBQ=60PBQ为等边三角形（有一个角为60的等腰三角形是等边三角形）PQ=PB=4k又CQ2=9k2，PQ2=16k2，PC2=25k2，CQ2+PQ2=PC2PQC为直角三角形，且PQC=90.同步检测三：6、（2009年黑龙江省牡丹江市）如图9， ABC中，CDAB于D，下列条件中：1=A；B+2=90；BCACAB=345；ACBD=ACCD，一定能确定ABC为直角三角形的条件的个数是 （ ） A、1B、2 C、3 D、47、（2009年甘肃省定西市）如图10，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACBECD90，D为AB

8、边上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD2+DB2=DE2.（图10）（图9）（图11）随堂检测：1（2009年湖南省长沙市）如图11，等腰ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD= cm（图13）2(2009年上海市)如图12，在RtABC中，BAC=90，AB=3， M为边BC上的点，联结AM如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是 .（图12）S1S2（图14）3（2009年贵州省安顺市）如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的. 在RtABC中，若直角边AC6，

9、BC6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_.4（2009年浙江省湖州市）如图14，已知在RtABC中，ACB=Rt，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 .5（2009年湖北省恩施自治州）如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 （）A、5 B、25 C、10+5 D、35（图15）（图16）6（2009年浙江省丽江市）如图16，已知ABC中，ABC90，ABBC，三

10、角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 ， l2，l3之间的距离为3 ，则AC的长是 （ ）A、 B、 C、 D、77（2009年新疆维吾尔自治区）如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图（图17）（2）证明勾股定理8（2009年湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世如图18，著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别

11、为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2=PA+PB（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2=PA+PB的值为最小；（图18）（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最

12、小值9（2009年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.10（2009年湖北省咸宁市）问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图19中的图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上：_思维拓展：（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图

13、法若ABC三边的长分别为a、（a0），请利用图19中的图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积探索创新：（3）若ABC三边的长分别为、（m0，n0，且mn），试运用构图法求出这三角形的面积（图）（图）ACB（图19）答案：知识点回顾的答案知识点一：直角；互为余角；斜边；知识点二：两直角边；斜边；知识点三：直角；a2+b2=c2.同步测试的答案190； 2BE=，BD=； 32或； 4A；（图1）（图2）（第5题答案图）5（1）当点F在DC上时，如图1，先证ABEBCF，可得AE=BF=5，BE=CF=3，AEBF，再由面积公式得BM=.（2）当点F在AD上时，如

14、图2，先证ABEBAF，可得BE=AF=3，AE=BF=5，连结EF，证ABEF，BM=BF=.6C（提示：能确定ABC为直角三角形的有，共3个）7证明:（1） ACB=ECD=90，ACBACD=ECDACD，即 BCD=ACEBC=AC，DC=EC， ACEBCD.（2）ACB是等腰直角三角形，B=BAC=45ACEBCD， CAE=B=45DAE=CAE+BAC=45+45=90RtDAE中，AD2+AE2=DE2.ACEBCD AEDB，AD2+DB2=DE2.随堂检测的答案：14cm； 22； 376；42； 5B； 6A（第7（1）题答案图）7解：（1）如图，（2）证明：大正方形的

15、面积表示为，大正方形的面积也可表示为，=，即，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.8解：（1）图18（1）中过B作BCAP，交PA的延长线于点C，则PC40，又AP10，AC30.在RtABC 中，AB50 ，AC30，BC40 ， BP，S1；图18（2）中，过B作BCAA，交AA的延长线于点C，则AC50，又BC40，BA，由轴对称知：PAPA，S2BA， S1S2. （2）如 图18（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA，由轴对称知MAMA，MB+MAMB+MAAB，S2BA为最小.（3）如图，过A作关于X轴的对称点A，过B作关于Y轴的对称点B，连接AB，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.过A、 B分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，AB，（第8题答案图）所求四边形的周长为.9解：设在RtABC中，ABC=90，AB=8，BC=6. 由勾股定理有：AC=10.扩充部分为RtABD，扩充成等腰ACD，应分以下三种情况：如图1，当AC=AD=10时，可求BD=CB=6，得ACD的周长为32m；如图2，当AC=CD=10时，可求BD=4，