自动控制理论-典型环节的频率特性

1、第二节 典型环节与开环频率特性8/23/20221实频特性 ： ；虚频特性： ；ReImK 比例环节： ;幅频特性： ；相频特性： 比例环节的极坐标图为实轴上的K点。一、奈奎斯特图8/23/20222积分环节的奈氏图频率特性：ReIm 积分环节的频率特性：积分环节的极坐标图为负虚轴。频率w从0特性曲线由虚轴的趋向原点。8/23/20223惯性环节的奈氏图 惯性环节的频率特性：8/23/20224惯性环节的奈氏图极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率局部，而上半个圆对应于负频率局部。8/23/20225实频、虚频、幅频和相频特性分别为：振荡环节的频率特性 振荡环节的

2、频率特性：讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：8/23/20226当 时， ，曲线在3，4象限；当 时，与之对称于实轴。 振荡环节的奈氏图实际曲线还与阻尼系数有关8/23/20227振荡环节的奈氏图由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的根本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。8/23/20228 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性8/23/20229 纯微分环节：纯微分环节的奈氏图ReIm微分环节的极坐标图为正虚轴。频率w从0特性曲线由原点趋向虚轴的+。8/23/202210一阶微分环

3、节的奈氏图 一阶微分：ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率w从0特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。8/23/202211二阶微分环节的频率特性 二阶微分环节：幅频和相频特性为：8/23/2022121极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。延迟环节的奈氏图 延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：8/23/2022137、开环系统极坐标频率特性的绘制绘制奈氏图 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成，或是一个有理分式，不管那种形式，都可由下面的方法绘制。 使用MATLAB工具绘制。 将开环系统的频率特性写成 或 的形式，根据不同的

4、 算出 或 可在复平面上得到不同的点并连之为曲线。手工画法。或直接用经验法绘制。绘制方法：8/23/202214例5-1设开环系统的频率特性为： 试列出实频和虚频特性的表达式。当 绘制奈氏图。解：当 时， 找出几个特殊点（比如 ，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。8/23/202215 0-1.72-5.770 0-0.79 03.8510.80.20相角： -180-114.62 -90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。8/23/202216以下图是用 Matlab工具绘制的奈氏图。8/23/202217例5-2设开环系统的频率

5、特性为：试绘制极坐标特性曲线。解：分析1、当 时，显然，当 时， 的渐近线是一条通过实轴 点，且平行于虚轴的直线。2、与实轴的交点。令： ，解得： ，这时：3、当 时， ，渐近线方向向下。8/23/2022188/23/202219具有积分环节的系统的频率特性的特点：频率特性可表示为：其相角为：当 时，当 时， 显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。8/23/202220以下图为0型、型和型系统在低频和高频段频率特性示意图：（0型）（型）（型）低频段频率特性n-m=3n-m=1n-m=2高频段频率特性至于中频局部，可计算一些特殊点的来确定。如与坐标的交点等。8/2

6、3/202221幅频特性： ；相频特性： 比例环节： ;对数幅频特性： 相频特性： 比例环节的bode图二、对数频率特性曲线波德图，Bode图8/23/202222 积分环节的频率特性：频率特性：积分环节的Bode图可见斜率为20/dec 当有两个积分环节时，斜率为 -40/dec 8/23/202223惯性环节的Bode图 惯性环节的频率特性：对数幅频特性： ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当 时， ，称为低频渐近线。高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。 当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线

7、，当 时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为： ，得： ，称为转折频率或交换频率。 可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。8/23/202224惯性环节的Bode图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。8/23/202225惯性环节的Bode图波德图误差分析实际频率特性和渐近线之间的误差：当 时，误差为：当 时，误差为：最大误差发生在 处，为wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.

8、2-0.048/23/202226 相频特性： 作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0, -45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节的波德图wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76

9、-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.48/23/202227 振荡环节的频率特性：讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：振荡环节的频率特性幅频特性为：相频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：高频段渐近线：两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。8/23/202228相频特性：几个特征点：由图可见：对数相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0, -90)点是斜对称的。对数幅频特性曲线有峰值。振荡环节的波德图8/23/202229对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值

10、。谐振频率，谐振峰值当 ， ， 。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。 8/23/202230振荡环节的波德图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。8/23/202231 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性8/23/202232纯微分环节的波德图 纯微分：8/23/202233 一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到 。低

11、频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图8/23/202234一阶微分环节的波德图8/23/202235幅频和相频特性为： 二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线：转折频率为： ，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相角的变化范围从0180度。二阶微分环节的频率特性8/23/202236二阶微分环节的波德图8/23/202237 延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：延迟环节的奈氏图8/23/2022387、开环系统对数坐标频率特性的绘制绘制波德图 开环系统对数频率特性曲线的绘制方法：先画出每一个典型环节的波德图，然后相加。8/2

12、3/202239例：开环系统传递函数为： ，试画出该系统的波德图。解：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。8/23/202240 实际上，画图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线渐进线组成，在转折频率处改变斜率。 确定 和各转折频率 ，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上； 确定低频渐进线： ，就是第一条折线，其斜率为 ，过点（1，20logk）。实际上是k和积分 的曲线。具体步骤如下：8/23/202241 高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。 相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到 （一阶惯

13、性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到 （二阶惯性）时，斜率下降-40dB/Dec; 画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到 （一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到 （二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;8/23/202242例5-3系统开环特性为：试画出波德图。解：1、该系统是0型系统，所以则，2、低频渐进线：斜率为 ，过点（1，20）3、波德图如下：8/23/202243红线为渐进线，兰线为实际曲线。8/23/202244例5-4已知，试画波德图。解：1、2、低频渐进线斜率为 ，过（1，-60）点。4、画出波德图如下页

14、：3、高频渐进线斜率为 ：8/23/202245红线为渐进线，兰线为实际曲线。8/23/202246三、非最小相位系统的频率特性 在前面所讨论的例子中，当 时，对数幅频特性的高频渐进线的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相频都趋于 。具有这种特征的系统称为最小相位系统。在最小相位系统中，具有相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小，如上表示的 。相角变化大于最小值的系统称为非最小相位系统。结论：在s右半平面上没有零、极点的系统为最小相位系统，相应的传递函数为最小相位传递函数；反之为非最小相位系统。8/23/202247例有两个系统，频率特性分别为：转折频率都是：幅频特性相同，均为：相频特性不同，分别为：显然， 满足 的条件，是最小相位系统；而 不满足 的条件，是非最小相位系统。可以发现：在右半平面有一个零点。8/23/202248最小相位系统非最小相位系统 该两个系统的波德图如下所示：8/23/202249奈氏图为：最小相位系统非最小相位系统8/23/202250 对于最小相