直线电机电磁场

1、直线电机的电磁场分析在物理学中，某一物理的空间分布构成一个物理的“场”，像电磁场都具有大小和方向，他们由在它们的作用范围内每一点的向量表示，这些向量产生一个向量场。描写场各点的空间变化趋势需用微分手段，矢量微分算符（哈密顿）就是为了这个目的引入的。引入哈密顿算符：=xix+yiy+ziz （1）通量设矢量函数A（x，y，z）构成矢量场，S为场中的某一曲面。设S为闭曲面，则=SAdS （2）对于闭曲面，规定其法矢量处处向外，于是，若0，则表示闭曲面S中流出的通量多于流入的通量，这表明S中源强于壑：若0，则表明S中源弱于壑。散度散度表示源在某点的详细分布情况，所以可以在某一点取一小的闭曲面，然后令

2、其向这点无限收缩。在极限情况下，单位体积的通量就可以放映这点的详细分布。divA=limV01VSAdS （3）divA=A=Axx+Ayy+Azz （4）对于静电学中运用静电场的coulomb定律，将点电荷推广到任意电荷分布q情形，即电场的Gauss定律。=SEdS=q40r2SdS=q40r24r2q0 （5）SEdS=q0 （6）q为闭曲面S内所包含的净自由电荷。所以E=00 （7）其中0为体电荷密度。对于磁学中SBdS=0 （8）即磁感应线B是闭合的，流入曲面S的磁感应线等于流出的。环量矢量场A(x，y，z)沿某闭合曲线C的环量，意义在于放映回路l中有无环量源。即表示了做功情况：W=l

3、Adl （9）这里的dl为l上的元位移，旋度旋度表示涡旋源在某点的详细分布情况，所以可以在某点取一小面元，面元周界为C，在极限情况下，单位周界的环量就可以放映这点的详细分布。规定最大的环量强度值为旋度矢量的量值，所以rotA=limS0nSlAdlmax （10）rotA=A=ixiyizxyzAxAyAz （11）n表示S的单位法矢量，它与C的绕行方向成右手螺旋。若某区域中处处divA=0，则称A为无旋场。保守场就是无旋场。对于静电场E的环量可以看做是电势，因为电场力F=Eq0,CFdl即电场力对移动电荷做的功，可以假设一点电荷q的电场中，有一试验电荷q0从a点经过任意路径移到b点，做功w可

4、以表示为W=q0abEdl=q0rarbq40r2dr=q0q40（1ra-1rb） （12）由此可见，在点电荷电场中电场力做功与路径无关。即静电场力是保守力，静电场是保守场。所以有CEdl=0 （13）表示静电场E沿任意闭合路径C的线积分，称为场强E的环流，即静电场的环流定律。对于磁场取无限长的载流直导线的磁场中，取一个与载流直导线垂直的平面，并以这个平面与导线的交点为圆心，在平面上取一半径为r的圆，则通过毕奥-萨伐尔定律dB=04J0dlrr3求得在这圆周上任意一点的磁感应强度B=0J02r，方向为该点切线方向。则B沿该圆周为闭合路径C=2r的积分为CBdl=C0J02rdl=0J02r2

5、r=0J0 （14）CBdl=0J0 （15）即称为磁感应强度B的环流，其中J0为传导电流。通过分子电流的观点把此公式拓展到磁铁上，把磁铁在各个截面上的边缘看成是环形电流（宏观上叫它为磁化电流）。推导MAXWELL电磁方程组Maxwell场方程组放映了宏观电磁现象所遵守的客观规律，理论上研究电磁场问题就是求解满足问题的初始与边界条件的场方程组解。关于静电场电荷通常划分为自由电荷和极化电荷（又称束缚电荷），自由电荷是指能够被宏观分离并能在宏观范围内运动的正电荷或负电荷，极化电荷是指不能被宏观分离从而也不能在宏观范围内运动的正负等量电荷。设自由电荷的体密度为0，它产生的静电场为E0，则E0是有源无

6、旋场，有E0=00（16）E0=0 （17）设极化电荷（束缚电荷）的体密度为，它产生的静电场为E，则E，也是有源无旋场，有：E，=，0 （18）E，=0 （19）以上式子相加，得E0+E，=0+，0 （20）E0+E，=0 （21）设：=，+0 （22）E位=E0+E， （23）最后得：E位=0（24）E位=0（25）是总的电荷密度，E位是产生的静电场，E位是有源无旋场即位场（势场）。对于涡旋电场（法拉第定律）变化的磁场产生涡旋电场E旋，用faraday电磁感应定律（确切的是解释其中的感生电动势，感生电动势产生的是涡旋电场力，通过F=q（E+vb）知道动生电动势产生的是Lorentz力，广泛应

7、用于电动力学）证得E旋是无源有旋（左旋）的电场。法拉第定律的积分形式表示为CE旋dl=-tSBdS （26）得：E旋=0 （27）E旋=-Bt （28）总电场E=E0+E，+E旋=E位+E旋 （29）所以，有：E=00+，0 （30）E=-Bt （31）关于恒定磁场在外电场作用下，自由电荷宏观运动形成的电流称为传导电流j0。极化电流jp是在极化电荷非恒定的条件下才会出现的电流。磁化的宏观效果等价于形成了磁化电流jm。恒定的传导电流j0、极化电流jp、磁化电流jm（均是电流密度），分别产生恒定磁场B0、B0、Bm，他们都是无源有旋（右旋）场。B0=0 （32）B0=0j0 （33）Bp=0 （3

8、4）Bp=0jp （35）Bm=0 （36）Bm=0jm （37）上述结果适用于恒定磁场，后来被MAXWELL推广到普遍情形，即认为在非恒定的普遍情形下，电流产生的磁场任遵循上式。关于变化的电场的磁场(安培环路定律)安培环路定律是奥斯特的电流产生磁场的实验发现和麦克斯韦时变电场产生磁场的数学贡献的结合。正是麦克斯韦的贡献导致了电磁波的预言。安培环路定律的数学形式:CB0dl=SJ0dS+ddtS0EdS （38）引入H之后可以求得H=J0+DtxPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEX

9、XXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGE

10、XXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAG

11、EXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX （39）现通过MAXWELL假设，变化电场Et产生的磁场BEt也是无源有旋（右旋）场，BEt=0 （40）BEt=00Et （41）总磁场总磁场B是上述各磁场总和，B=B0+Bp+Bm

12、+BEt （42）所以，有：B=0 （43）B=0j0+0jp+0jm+00Et （44）（22）、（23）式普遍适用，不受恒定条件限制。宏观MAXWALL方程合并，得到宏观MAXWALL方程为：E=00+，0 （45）E=-Bt （46）B=0 （47）B=0（J0+JP+JM+0Et） （48）式中：0自由电荷的体密度(cm3) 自由电荷运动产生的自由电流密度，极化电荷的体密度（cm3）E电场强度(Vm)B磁通密度(T)J0传导电流密度(Am2)JP极化电流(Am2)JM磁化电流(Am2)由于，、JP、JM未知都无法测量或控制，需要消除。使方程组的场源只剩下可以测量及控制的自由电荷0和传导

13、电流J0。对于消除，由于极化强度P与，存在着关系P=-， ，引入辅助物理量电位移矢量D，定义：D=0E+P （49）对式子（49）求散度：得到：D=0E+P=0 （50）由于引进了D，就多了一个变量，需加入一个方程，同时由于P和E存在着线性的关系P=e0E，e为介质磁化率，带入到式子49得：D=1+e0E=E （51）对于消除JP和JM，由于M=Jm，引入辅助物理量电磁场强度H，定义：H=B0-M （52）对式子（52）求旋度，得H=B0-M=J0+JP+0Et （53）对式子（49）求t的导数，得：Dt=0Et+Pt=Jp+0Et （54）将54式带入到（53）式，得：H=Dt+J0 （55

14、）由于引进了H，需补充H和B的关系式，由于B=r0mM，r=1+m,带入到式子52，得：B=H （56）由上面的结论可以得到：PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXX

15、XPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEX

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17、XXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXD=0 （57）E=-Bt （58）B=0 （59）H=J0+DtxPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGE

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20、GEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX（60）D=E（61）B=H （62）J0=E （63）式中：H磁场强度(Am)D电位移矢量(cm2)媒质的介电常数（permittivity）媒质的磁导率（permeability）导电媒质的电导率（conductivity）需要说明媒质中各点的电磁特性与该点的线性各向同性和均匀的（三个参数则成为与时间无关的标量）即同性媒介。J0=E是欧拉定律的微分形式，在导体中的电流密度遵守欧姆定律，其中J0依托所讨论的问题确定这里为传导电流。由于一个矢量的旋度的散度等于零，故取58式的散度即可得59式，而取60式的散度，则有

21、J0+t=0 （64）此式称为电流的连续方程，表明单位时间从单位体积流出的电流，其极限等于该点每单位体积内点电荷的减少率。恒定电流指电流场不随时间变化，这就要求电荷的分布不随时间发生变化，因而电荷产生的电场是恒定电场，即静电场。即t=0，得：J0=0 （65）在把麦克斯韦方程组应用到电机时，需要作一些修改。首先电机的电源频率一般很低，所以位移电流Dt可以忽略不计。其次上式是在导电媒质和磁场之间没有相对运动的条件下推导出来的，当导电媒介（各向同性）在交变磁场中运动（其速度v比光速小得多）时，在导电媒质中除了由于磁场随时间发生变化产生的感应电场E之外，还有由于导电媒质和磁场之间有相对运动产生的速度

22、电场vB，这两种电场在导电媒质中引起的感应电流J=（E+vB）。在我们这里选用第二种方法。在大多数机电装置中，磁场源为绕组电流或者永磁体，为减少不必要的复杂性，可设磁场是准静态场，即电场的时变量被忽略。忽略二次源Dt的作用，即JD=0。位移电流包括极化电流JP=Pt和变化的电场0Et两部分。Maxwell方程将有如下形式D=0 （66）E=-Bt （67）H=J0 （68）B=0 （69）J0=0 （70）B=0（H+M） （71）M=mH （72）B=H （73）J0=E （74）矢量磁势电磁场问题中，借助于某些辅助函数求解电磁场在某些情况下带来的一定方便，由于B的无散性和矢量恒等式F=0可

23、将B通过辅助矢量函数A表示为B=A （75）通过库仑规范定义A=0，所以B=A=A-2A=-2A （76）B=0H+M=0（J0+M） （77）0（J0+M）=-2A （78）2A=-0（J0+M） （79）和标量磁势不同，矢量磁势对磁场的所有区域都有效，并可简化磁链的计算，故采用矢量磁势来进行磁场计算。矢量磁势的泊松方程矢量磁势的泊松方程为2A=-0（J0+M） （80）其中：J0代表自由体电流密度，M为永磁体的等效体电流密度。在直线电机应用中，磁场被近似视为是2维的，如图磁场分布是在x，-z，平面中，又是可推出磁矢势A沿y方向的量。现在把矢量泊松方程简化为标量方程。2x，2+2z，2Ay=

24、-0(J0+Mxz，-Mzx，) （81）傅立叶（Fourier）级数正弦函数在工程技术中占有特殊的地位，它是工程人最常用的函数，主要原因其一是正弦信号容易产生，更重要是一个任意周期函数都可以展成由许多正弦谐波成分组成的Fourier级数（离散谱），而一个非周期函数则可以用Fourier积分（连续谱）表示我们可以采用Fourier分析和变换法通过对各个频率的响应，经过叠加确定出系统对任一种准静态信号的响应。电机基本都是周期性的几何结构，所以采用傅立叶级数法来分析源和场。现假设直线电机长度无限，源和场都是周期函数，忽略场和源存在的边端效应。考虑到函数是沿z轴正弦分布的，同时也具有时间正弦性，则可

25、以表示为：z，t=Reej（t-kz） （82）其中C为复常数，表示时间角频率，时间周期T=2。其中k是空间角频率k=2l，l为空间周期。表示复常数，以后带有的量就是复常数。若只考虑沿z轴的正弦分布，为：z，t=Retejkz （83）其中为和时间相关的量，以后带有的量就是和时间相关的量。所以使用傅立叶级数，表示空间周期为l的函数可以表示为：z，t=n-ntejknz，kn=2nl （84）幅值nt=1lzz+lz，tejknzdz （85）x，xab永磁铁cz，dx0ef定子绕组gzh 直线电机x-z平面模型磁化强度M和电流密度J的傅立叶表示见图，永磁阵列由磁化方向沿着z轴和X轴方向的磁体组

26、成，磁化强度可表示为M=n=-Mxnix+Mzniz=n=-Mxne-jknz,ix+Mzne-jknz,iz （86）同理，电流密度可以表示为J=n=-Jyniy=n=-Jyne-jknziy （87）分析方案的提出如图，就是直线电机的几何结构，为方便计算，现假设：初级铁心的磁导率为无限大；电机x方向为无限宽；电机z方向为无限长。其中：高度的区域表示定子绕组层，绕组通有Y方向（垂直于表面向外）的电流密度J；高度的区域表示动子上的永磁阵列；空白区域为自由空间（即气隙）：坐标系xyz固定在永磁阵列上，坐标系xyz固定在定子上，两个坐标系平行，原点间的偏移可用矢量x0+ix+z0iz表示，其中x0

27、为气隙高度，z0表示z轴方向上坐标系xyz相对于坐标系xyz的位移；空间周期为l，第n次谐波的空间角频率为kn=2nl，其中abcd、efgh分别表示永磁阵列、绕组电流层的边界。由于永磁体和电流的场源通过傅立叶级数表示出来了，只要知道永磁体和定子电流的具体参数、分布情况，就可以通过泊松方程（式（80）求出在任意一点的磁场强度。现在我们假设每段l的磁源分布为Mn，电流源分布为Jn，分别用泊松方程求出永磁体和定子电流在某点的磁场强度，然后再叠加，就可以得到某点的磁场强度。磁场分析方法由于永磁铁没有自由电流，可推出2x，2+2z，2Ayn=-0(Mn)y， （88）Mn=ixiyizx，y，z，Mx

28、nMynMzn=ixiyizx，y，z，Mxn0Mzn=Mxny，ix-Mznx，-Mxnz，iy-Mxny，iz （89）由于Mxn=Mxne-jknz,；Mzn=Mzne-jknz,。所以Mxn、Mzn只与z，有关。得：Mn=Mnxz，iy=-jknMxne-jknz,iy （90）2x，2+2z，2Ayn=0jknMxne-jknz,iy （91）特解为：Aynp=-j0knMxne-jknz, （92）解为：Ayn=Aynp+Aynh （93）其中Aynp是特解，Aynh是通解。求通解Aynh，于是：2Aynhx，2+2Aynhz，2=0 （94）由于Aynh=Axnhe-jknz,

29、（95）2Aynhx2e-jknz,-kn2Aynhe-jknz,=0 （96）2Aynhx，2-kn2Aynh=0 （97）接着求解方程：s2-kn2=0 （98）所以： s=kn （99）所以求解的：Aynh=c1eknx，+c2e-knx， （100）由于sinhx=ex-e-x2 （101）coshx=ex+e-x2 （102）tanhx=sinhxcoshx （103）cothx=coshxsinhx （104）试图用双曲线函数表示Ayn，于是有：Aynh=c1eknx，+c2eknx，=c3sinhknx，+c4coshknx，=c3ex-e-x2+c4ex+e-x2=c3+c42

30、ex+c4-c32e-x （105）c3+c42，c4-c32都是常数。所以Ayn也可以表示为：Aynh=c3sinhknx+c4coshknx （106）所以由结论求解得：Aynh=（c1sinhknx+c2coshknx）e-jknz, （107）在b、c处的Aynh表示：Aynhx=0=c1sinhknx+c2coshknxx=0 （108）Aynhx=c1sinhknx+c2coshknxx= （109）得：c1sinhkn0+c2coshkn0=Aynhc （110）c1sinhkn+c2coshkn=Aynhb （111）求解，得：c2=Aynhc （112）c1=-Aynhcco

31、shhkn+Aynhbsinhkn （113）带入：Aynh=-Aynhccoshkn+Aynhbsinhknsinhknx+Aynhccoshx （114）Aynh=Aynhbsinhknsinhknx-Aynhccoshknsinhknsinhknx+Aynhccoshknx （115）Aynh=Aynhbsinhknsinhknx+-Aynhccoshknsinhknx+Aynhcsinhkncoshknxsinhkn （116）Aynh=Aynhbsinhknsinhknx+Aynhc（sinhkn（-x）sinhkn （117）由于：Aynh=Ayn-Aynp （118）Aynh=A

32、yn+j0knMxn （119）得：Aynhb=Aynb+j0knMxn （120）Aynhc=Aync+j0knMxn （121）最终得到：Aynh=Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sinhkn（-x）sinhkn （122）可以求出Bx,By;由于：B=A （123）Aynh=（Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sinhkn（-x）sinhkn）e-jknz, （124）Ayn=Aynh-j0knMxn=（Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sin

33、hkn（-x）sinhkn-j0knMxn）e-jknz,（125）B=A=ixiyizx，y，z，0Ayn0=-Aynz，ix+Aynx，iz （126）Bxn=-Aynz， （127）Bzn=Aynx， （128）Bxn=jknAyn=jkn（Aynb+j0knMxnsinhknsinhknx+（Aync+j0knMxn）（sinhkn（-x）sinhkn-j0knMxn（129）Bzn=Aynx，=knAynb+j0knMxnsinhkncoshknx-kn（Aync+j0knMxn）（coshkn（-x）sinhkn （130）所以可以得到在b和c边界上有Bzn=kn（Aynbcosh

34、knx-Aynccoshkn-xsinhkn+j0knMxncoshknx-j0knMxn（coshkn（-x）sinhkn）（131）BznxBznx=kncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhkncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhknAynbAync+coshknx-（coshkn（-x）sinhkncoshknx-（coshkn（-x）sinhknj0knMxn（132）在b边界x=；在c边界x=0；BznbBznc=kncoshknsinhkn-1sinhkncoshkn0sinhkn-coshkn-0sinhknAynbAync+coshkn-1sin

35、hkncoshkn0+coshkn-0sinhknj0knMxn=kncothkn-1sinhkn1sinhkn-cothknAynbAync+coshkn-1sinhkn1-（coshkn）sinhknj0knMxn （133）再考虑a以上区域，由上式结果得：Aynh=（c1sinhknx+c2coshknx）e-jknz, （134）Aynhx=+=c1sinhknx+c2coshknxx=+ （135）Aynhx=c1sinhknx+c2coshknxx= （136）再考虑a以上区域，由于a以上区域为气隙，不存在磁源，由上式结果得： BznxBznx=kncoshknxsinh(+)-c

36、oshkn-xsinhkncoshknxsinh(+)-coshkn-xsinh(+)Ayn+Ayna+coshknx-（coshkn（-x）sinh(+)coshknx-（coshkn（-x）sinh(+)j0knMxnBzn（+）Bzna=kncothkn（+）-1sinhkn（+）1sinhkn（+）-cothkn（+）Ayn（+）Ayna （137）上式limxcothknx=1，limxsinhknx=，Ayn（+）=0.当kn0时，Bzn（+）Bzna=kn1-1+1+-1Ayn（+）Ayna=kn100-10Ayna （138）Bzna=-knAyna （139）当kn0时，Bz

37、n（+）Bzna=kn-1-1-1-1Ayn（+）Ayna=kn-10010Ayna （140）Bzna=knAyna （141）综合，最后可求得：Bzna=-knAyna （142）同理得：Bznd=knAynd （143）由于磁矢势在边界连续:Ayna=Aynb （144）Aync=Aynd （145）确定b、c边界上的边界条件如图，在磁铁表面上下边界上，分别去闭合环路abcd和a，b，c，d，并使初级的正向与坐标y轴的正向一致，因为ad=bc=a，d，=b，c，0；ab=dc=a，b，=d，c，=dx；由式H=J0，B=0可导出磁场的两个边界条件。nBa-Bb=0K0+n0Ma-0Mb；

38、nBa-Bb=0.其中n是边界法向量，方向指向x正方向；K0是边界上的自由面电流密度。对于磁铁，Ke=nMa-Mb，Ke为等效磁化面电流密度。于是在bc边界上的边界条件是：HanCabHbC为曲面的周线，为闭合曲线。n为界面法线方向的单位矢量，自1侧指向2侧。H=j0+DtcHdl=j0d+dDddtHasin1l-Hbsin2l=（J+Dt）lhHasin1-Hbsin2=limh0J+Dth=i0写成矢量形式为nHa-Hb=i0回路C横越界面的跨度趋于零，C所围曲面的面积趋于零，所以dDddt等于零。由电磁学原理得：nHa-Hb=i0i0为传导电流面密度，有限理想导体界面，对绝缘介质面和一

39、般有限电导率导体界面，i0为零。见图，我们可以得到B的边界条件。n-Bzna+Bznb=i0 （146）-Bzna+Bznb=0Kyb （147）同理，得：-Bznc+Bznd=0Kyc （148）Kyb=Mix=Mzne-jknz, （149）Kyc=M（-ix）=-Mzne-jknz, （150）-Bzna+Bznb=0Mzn （151）-Bznc+Bznd=-0Mzn （152）有上面8个方程式解8个未知数，得：Ayna=0Mznsinhknknsinhkn+（coshkn+1）+j0Mxn（coshkn-1）-knsinhkn+kn（1-coshkn） （153）当kn0时，Ayna=

40、0Mznsinhknknsinhkn+kncoshkn+1+j0Mxn（coshkn-1）-knsinhkn+kn1-coshkn=0Mznekn-e-kn2knekn-e-kn2+knekn+e-kn2+1+j0Mxn（ekn+e-kn2-1）-knekn-e-kn2+kn1-ekn+e-kn2=0Mzn(ekn-e-kn)2kn(ekn+1)+j0Mxn（ekn+e-kn-2）2kn(1-ekn)=0Mzn(ekn+1-1-e-kn)2kn(ekn+1)+j0Mxn（ekn+1ekn-2）2kn1-ekn=0Mzn2kn1-1+1eknekn+1+j0Mxn（e2kn+1-2ekn）2kn

41、1-eknekn=0Mzn2kn1-1ekn+j0Mxne-kn-12kn=0Mzn2kn1-1ekn+j0Mxne-kn-12kn=(0Mzn2kn-j0Mxn2kn)1-e-kn（154）当kn0时，Ayna=0Mznsinhkn-knsinhkn+kncoshkn+1+j0Mxn（coshkn-1）knsinhkn+kn1-coshkn=0Mznekn-e-kn2-knekn-e-kn2+knekn+e-kn2+1+j0Mxn（ekn+e-kn2-1）knekn-e-kn2+kn1-ekn+e-kn2=0Mzn(ekn-e-kn)2kn(e-kn+1)+j0Mxn（ekn+e-kn-2）

42、2kn(1-e-kn)=0Mzn(ekn+1-1-e-kn)2kn(e-kn+1)+j0Mxn（ekn+1ekn-2）2kn1-e-kn=0Mzn2kn-1+1+ekn1ekn+1+j0Mxn（e2kn+1-2ekn）2knekn-1=0Mzn2kn-1+ekn+j0Mxnekn-12kn=0Mzn2kn-1+ekn+j0Mxnekn-12kn=-0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-ekn)（155）所以Ayna可以表示成这样：Ayna=0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-e-kn) （156）同理，可求得：Aynd=-0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-e-kn) （157）Bdxn=

43、-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn) （158）Bdzn=-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn) （159）绕组电流层磁场电机定子电流绕组电流层的泊松方程，气隙磁场用拉普拉斯方程式表示：2A=-0J0 （160）2x，2+2z，2Ayn=-0Jyne-iknz （161）解为：Ayn=Aynp+Aynh （162）其中Aynp是特解，Aynh是通解。Aynp=0kn2Jyn （163）通解类似于永磁铁的解法：在f边界x=；在g边界x=0；BznfBzng=kncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhkncoshknxsinhkn-coshkn-xsinhk

44、nAynfAyng+-coshknx+coshkn-xsinhkncoshknx-coshkn-xsinhkn0knJyn=kncothkn-1sinhkn1sinhkn-cothknAynfAyng+1-coshknsinhkncoshkn-1sinhkn0kn （164）Bze=-knAyne （165）Bzh=knAynh （166）通过磁矢势的边界处连续，得：Ayne=Aynf （167）Ayng=Aynh （168）定子绕组表面无面电流，边界条件：-Bzna+Bzna=0 （169）-Bznc+Bznd=0 （170）由上面8个方程式解8个未知数，得：Ayne=0Jyn2kn2(1-

45、e-kn) （171）Aynh=0Jyn2kn2(1-e-kn) （172）Bxne=j0Jyn2kn(1-e-kn) （173）Bzne=-0Jyn2kn(1-e-kn) （174）最后考虑中间的部分。由于中间部分是气隙，没有磁源，所以绕组和永磁阵列分别的磁场强度表达式：BzndBzne=kncothknx0-1sinhknx01sinhknx0-cothknx0AyndAyne （175）总磁场永磁阵列和绕组的磁场在气隙处的叠加就是要求的合磁场永磁阵列和绕组电流的磁场在自由空间里都沿着x轴呈指数衰减，绕组电流在边界d处产生的磁场在x，y，z，坐标系中表示。需先求出绕组电流在边界d处产生的磁

46、场，由于BzndBzne=kncothknx0-1sinhknx01sinhknx0-cothknx0AyndAyne （176）其中Ayne=0Jyn2kn2(1-e-kn) （177）Bzne=-0Jyn2kn(1-e-kn) （178）最后求得Bznd=j0Jyn2kne-knx0(1-e-kn) （179）再将绕组电流在边界d处产生的磁场在x，y，z，坐标系中表示，只需变换z坐标Bznd=-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz （180）z=z，+z0Bznd=-0Jyn2kne-knx01-e-kne-jknz，+z0-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-

47、jknz0e-jknz， （190）Bznd=-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0 （191）同理求得Bxnd；最后结果是：Bxnd=j0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0 （192）Bznd=-0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0 （193）将它和永磁阵列在d处的磁场叠加，求出合磁场：Bxnd=j0Jyn2kne-knx0(1-e-kn)e-jknz0+-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn) （194）Bznd=-j0Jyn2kne-knx01-e-kne-jknz0+-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn)

48、 （195）Halbach阵列的磁场分析1973年在对永磁体进行拼装实验时，美国学者Mallinson发现了一种奇特的永磁体结构，他把这种结构称作magnetic curiosity，当时他没有意识到这种结构的应用价值。1979年在利用各种永磁体结构产生的磁场做电子加速实验时，美国劳伦斯伯克利国家实验室的KlausHalbach也发现了这种特殊的永碰体结构，他逐步完善这一结构，最终形成了Halbach阵列的概念，目前该阵列已在很多领域中得到了席用。并在八、九十年代被许多研究机构相继应用于新一代的粒子加速器、自由电子激光装置、同步辐射装置等高能物理领域，因其具有很多优良特性，20世纪90年代中期

49、，国际上逐渐开始重视其在电机领域的应用。通常的永磁电机设计，永磁体多采用径向与切向阵列，Halbach永磁体阵列将径向与切向阵列结合在一起，合成的结果使一侧磁场增强而另一侧磁场减弱，从而能够达到对磁场能的最大利用。而且一些应用中磁屏蔽是必须的(例如在磁悬浮列车应用中，车厢里必须实现碰屏蔽，否会对乘客的健康造成负面影响)，因此具有单边磁特性的永磁阵列或者绕组结构很有实用价值。但是，理想的Halbach磁体阵列是不存在的，而准Halbach结构永磁阵列则由不同的结构而具有不同的性能，其参数，磁化角度，材料等对阵列产生磁场的优劣有着十分重要的影响。Halbach永磁体阵列具有一些适用于电机的优良特性

50、：Halbach永磁体阵列可以得到在空间按理想正弦分布的磁场，可大大减弱电机的齿槽效应力矩。即使采用每极较少的永磁体段数，也可以得到和理想Halbach永磁体阵列类似的磁场分布。这些特点使得采用Halbach永磁体阵列的电机齿槽效应第二章基于Halbach阵列楔形气隙盘式无铁心永磁同步电机的结构力矩几乎可以忽略不计，有利于提高电机的性能。采用较少段数的Halbach阵列以及简单绕组和定、转子非斜槽结构，就可以得到理想的正弦分布的磁场，制造电机的成本降低。Halbach永磁体阵列的一侧磁场很强，另一侧很弱。这一特性有助于提高电机气隙中的磁密，从而提高电机的力能密度和缩小电机体积。同时，可以大大减

51、弱电机轭部的磁通，即该阵列具有磁自屏蔽特性。既可以大大减小电机本体的漏磁现象，减少电机对外部环境的电磁干扰；又可以减少轭部铁心的质量，有助于降低成本；还可以使电机转子的质量和转动惯量相应变小，有助于提高电机的动态特性。Halbach永磁体阵列可以提高电机的效率。与常规的永磁体径向励磁结构的电机相比，采用Halbach阵列电机的空载损耗降低。采用Halbach永磁体阵列，可以降低电机的电磁力矩脉动，降低对电机轴承的要求。Halbach永磁体阵列按其加工方式，主要有两种：一种是整体环形充磁；另一种是拼装。在本设计中采用的是拼装Halbach永磁体阵列。虽然理论上来说，整体环形充磁的效果要理想，但就

52、现有技术来说整体环形充磁的工艺还不完善，技术性能达不到，而且拼装工艺也能得到比较满意的结果，是目前主要采用的方法。Halbach阵列磁化强度的傅立叶系数可由下公式求出。Mxn=1l0lMxejknzdz （196）Mzn=1l0lMzejknzdz （197）Mz-M0M0zl2l0-M0M0z0l2lMxlz0lx=l4Halbach阵列的磁化强度分布情况如图，可以求得Mx、Mz：Mx=M0，ml-l8zml+l8-M0，ml+3l8zml+5l80，even （198）Mz=M0，ml+l8zml+3l8-M0，ml+5l8zml+7l80，even （199）可以知道，Mx、Mz为周期函

53、数，现把这个周期函数看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。图给出了Halbach阵列的磁化强度分布，每对磁极由四段永磁体构成，空间周期l=mm,阵列厚度=l4=mm。永磁体采用钕铁硼永磁体，剩磁Br=1.03T，磁化强度M0=Br0。通过欧拉公式ejknz=cosknz+jsinknz，可以求得傅立叶系数：Mxn=1l0lMxejknzdz=1l0lMxcosknz+jsinknzdz=2M0n，n=8m+1or8m+3-2M0n，n=8m+5or8m+70，even（200）Mzn=1l0lMzejknzdz=1l0lMzcosknz+jsinknzdz=jnMxn （201）求永磁体在d边界

54、下方x处（设为i点）产生的磁场，由于BzndBzni=kncothknx-1sinhknx1sinhknx-cothknxAyndAyni （202）其中Aynd=-0Mzn2kn-j0Mxn2kn(1-e-kn) （203）Bdzn=-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn) （204）最后求得：Bzni=-0Mzn2-j0knMxn2kn(1-e-kn)ekn （205）同理求得：Bzn=-0Mzn2-j0knMxn2kn1-e-knekn，x0-0Mzn2+j0knMxn2kn1-e-kne-knx-，x （206）Bxn=-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn)ekn

55、，x0-j0knMzn2kn+0Mxn2(1-e-kn)e-knx-，x （207）式（207）为永磁阵列x方向磁感应强度的傅立叶系数，式（206）为z方向磁感应强度的傅立叶系数。把（200）、（201）式代入式（206）、（207），并代入x=和X=0，可计算出边界a和d处x方向磁感应强度的谐波，同理可计算出边界d下方和边界a上方各处的磁场。计算出了磁场的分布，就可以根据实际情况求得垂直力和驱动力的大小。从而进行后续的设计以至于达到精确度要求。M=n=-Mxnix+Mzniz=n=-Mxne-jknz,ix+Mzne-jknz,iz参考文献1陈秉乾，舒幼生，胡望雨：电磁学专题M.高等教育出版

56、社，2001,12.2劳（Rao，N，N）美（邵小桃，郭勇，王国栋译）:电磁场基础M.电子工业出版社,2010,1.3钟江帆：大学物理M.高等教育出版社，2004,1.4赵凯华，陈熙谋：电磁学M.高等教育出版社，2003,4. 5Kim W J.High-Precision Planar Magnetic LevitationD.MIT,1997.6周赣，基于Halbach永磁阵列的高精度平面电机的研究D.东南大学，2009.7电磁力的分析在把麦克斯韦方程组应用到电机时，需要做一些修改。首先，因为电机的电源频率一般比较低，所以位移电流Dt可以忽略不计。其次式E=-Bt是在导电煤质和磁场之间没有

57、相对运动的条件下推导出来的，当导电煤质（各向同性）在交变磁场中运动（其速度比光速小很多）时，在导电煤质中除了由于磁场随时间发生变化产生的感应电场E之外，还有导电煤质和磁场间有相对运动产生的速度电场vB,这两种电场在导电煤质中引起的感应电流为J=（E+vB）。在电机电磁场中，常常需要计算电磁场对电流的作用力。在静电场E和磁场B同时存在的空间，运动电荷受到的总力F由洛伦兹力方程决定，即F=q（E+vB）式中：v电荷在磁场中的运动速度。在电机中实际不存在自由电荷，故式可以修改成为F=qvB=JB该式就是计算电机电磁力（磁场对电流的作用力）的一个基本公式。Maxwell应力张量法这里采用Maxwell

58、应力张量法求解电磁力，Maxwell应力张量法是计算力和力矩的有效工具，通过它计算电磁力可以避免复杂的体积分。由于张力密度能被写成应力张量的散度形式。假设力密度的第i个分量可以写成下面的形式：Fi=Tijxj；（F=T）这里运用了爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）。为了避免复杂的体积分，我们可以通过高斯定理轻松地把体积分变成面积分，现在通过定义一个矢量Gi=Ti1i1+Ti2i2+Ti3i3由上1式有：VFidV=VGidV=sGinda带入2式，有：VFidV=sTijnjda于是作用在封闭面S上的电磁力可通过下式积分表示出来。fi=sTijnjd

59、a其中：fi为待求力的分量；nj是面积微元da法向矢量的第j个分量。在这里我们对下标是重复的重复复数在整个坐标系中采用爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）。比如：fx=sTxxnx+Txyny+Txznzda. 通过Kornteweg-Helmholtz力密度公式Maxwell应力张量TijTij=HiHj-2ijHkHk这里ij是Kornecker三角ij=1, i=j0, ij于是可以求得：Tij=2（H2x-H2y-H2z）(HxHy)(HxHz)(HxHy)2（H2y-H2x-H2z）(HyHz)(HxHz)(HyHz)2（H2z-H2y-H2x）电磁力的解析在分析电磁力时，可以假设永磁铁为一个封闭的立方体曲面，该曲面包含Halbach的一对磁极，底面边界为d，通过式 来计算电磁力。为了分析的目的，需做如下的假设：假设立方体在x方向无限宽，即上表面在无限远处，这时上表面场强为零。由于y轴方向磁场为零，所以法线沿y轴方向的两个侧面的积分和为零。由于场的