3.2.1 单调性与最大（小）值（第1课时）课件-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1、3.2.1 单调性与最大（小）值第1课时第三章函数的概念与性质重点：理解函数单调性的概念；判断函数的单调性.难点：判断函数的单调性.1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.学习目标知识梳理一、函数在区间上单调递增（递减）总结归纳特别提醒【做一做1-1】 已知函数f(x)的图象如图所示,则()A.函数f(x)在区间-1,2上是增函数 B.函数f(x)在区间-1,2上是减函数C.函数f(x)在区间-1,4上是减函数 D.函数f(x)在区间2,4上是增函数答案:A【做一做1-2】 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内是单调递减,x1

2、,x2(a,b),且x1x2,则有()A.f(x1)f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.以上都有可能答案:B二、函数的增减性1.定义:如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.2.图象特征:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,则函数y=f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的.总结归纳基本初等函数的单调区间如下表所示: 【做一做2】已知0,3是函数f(x)定义域内的一个区间,若f(1)f(2),则函数f(x)在区间0,3上()A.是单调递增B.是单调递减C.不单调递增就是单调递减 D.增减性

3、不能确定解析:虽然1,20,3,12,且f(1)f(2),但是1和2是区间0,3内的两个特殊值,不是区间0,3内的任意值,所以f(x)在0,3上的增减性不能确定.答案:D常考题型一、用定义法判断和证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性的一般步骤（1）取值，设x1，x2是给定区间内的任意两个值，且x1x2.（2）作差变形，作差f（x1）-f（x2）（或f（x2）-f（x1），通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子.（3）判号，确定f（x1）-f（x2）（或f（x2）- f（x1）的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论.（4）定论，根据定义得出结论.用定义法证明函数的

4、单调性常用的变形技巧1.因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差后进行因式分解.2.通分：当原函数是分式函数时，作差后往往先进行通分，然后对分子进行因式分解.3.配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方.4.分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.二、函数单调性的判断及单调区间的求解含参函数单调性的两种类型及解法1.作差变形后式子的符号与参数值无关，直接用定义判断.2.作差变形后式子的符号与参数值有关，此时应对参数分类讨论.C2.图象法例3 函数f（x）|x-2|x的单调减区间是（）A.1，2B.-1，0C.0，2D.2，+）【答案】A训练题1.2019湖南衡阳市一

5、中高一月考函数y|x2-3x-4|的单调增区间是 .2.已知函数f(x)=-x2+2|x|+3.(1)用分段函数的形式表示f(x); (2)画出f(x)的图象;(3)根据图象写出f(x)的单调区间.(2)函数f(x)的图象如图所示.(3)函数f(x)的图象在区间(-,-1和0,1上是上升的, 在区间(-1,0)和(1,+)内是下降的,所以f(x)的单调递增区间是(-,-1,0,1,单调递减区间是-1,0,1,+).图象法适用于已知函数图象或函数图象可以作出的函数.图象法就是先画出函数的图象，然后利用图象直观判断函数的单调性.从左到右图象逐渐上升就是单调递增，逐渐下降就是单调递减.f（x）g（x

6、）f（x）+g（x）f（x）-g（x）增增增不确定增减不确定增减减减不确定减增不确定减B【解题提示】设tx2+3x-4，由t0，可得x-4或x1，则运用复合函数的单调性（同增异减），以及二次函数和幂函数的单调性，即可得到所求的单调区间.【答案】1，+）判断复合函数的单调性的方法 1.对于复合函数yf（g（x），如果ug（x）在（a，b）上是单调函数， 并且yf（u）在（g（a），g（b）或者（g（b），g（a）上也是单调 函数，则yf（g（x）在（a，b）上的单调性如下表所示：ug（x）yf（u）yf（g（x）增增增增减减减增减减减增简记为“同增异减”.2.若一个函数是由多个简单函数复合而成的

7、，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个，则这个复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则这个复合函数为减函数.（-，0） 和1，+）（0，1（1）【证明】任取x1，x2R，且x10， f（x2-x1）1， f（x2）-f（x1）f（x2-x1）+x1）-f（x1）f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）f（x2-x1）-10， f（x1）f（x2）， f（x）是R上的增函数.判断抽象函数的单调性的方法1.抽象函数的单调性一般用定义法来判断，其一般步骤为（1）在所证区间上设出x1，x2（x1x2）.（2）利用题设条件向已知区间转化得出函数值之间的大小关系（f（x1）

8、f（x2）.（3）由定义得出结论.三、函数单调性的应用利用函数的单调性比较大小的方法若已知函数yf（x）在区间a，b上是增函数，x1，x2a，b，则当x1x2时，有f（x1）x2时，有f（x1）f（x2）.减函数也有类似的性质.利用此性质我们可以根据函数的单调性及自变量的大小比较函数值的大小.D解：由题意知，f（x）图象的对称轴为直线x2，且f（x）在（2，+）上单调递增.又 f（1）f（3），且34， f（3）f（4），即f（1）f（4）.分段函数单调性的判断方法分段函数f（x）在R上单调递增（减），不仅每一段是单调递增（减）的，且两段的分界点处的函数值也要满足相应的大小关系，即保证在分段函数的分界点处，函数的图象不下降（上升）.训练题1.已知函数f(x)的定义域为-2,2,且f(x)在区间-2,2上是增函数,f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.【解】因为f(x)在区间-2,2上单调递增,且f(1-m)f(m),利用函数的单调性解函数值不等式的方法1.利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件.2.脱去“f ”的具体方法：若yf（x）在a，b上单