平面问题极坐标例题

1、关于平面问题极坐标例题第一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月1、基本方程直角坐标与极坐标的关系xyo第二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月位移分量的关系问题：逆关系？应力分量的关系第三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月平衡微分方程 微元体的取法应力的正负号 切应力互等第四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 三个几何方程第五张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 三个物理方程第六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 应力函数与用应力分量表示的变形协调方程 (不计体力时）Where第七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月结论不计体力时，在极坐标中求解

2、平面问题，就是要找到一个应力函数 ，且按它求得的应力分量满足应力边界条件，对多连体，还需满足位移单值条件。第八张，PPT共七十九页，创作于2022年6月2 厚壁筒问题 对受内压和外压的厚壁筒这类轴对称问题，应力、应变分布对称于圆筒的中心轴线，任一点位移只有径向分量和z方向分量，与角度无关。且由于垂直于oz轴的平面变形后仍为平面，固u只与有关，w只与z有关。第九张，PPT共七十九页，创作于2022年6月应变分量为第十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月应力分量为：应力分量与角度无关 第十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月平衡方程只有一个 用位移分量表示求出第十二张，PPT共七十九

3、页，创作于2022年6月C1，C2为待定常数，由边界条件确定，为此，先求出应力分量第十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月边界条件ab第十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月第十五张，PPT共七十九页，创作于2022年6月3 半无限平面体问题-锲形体xyF应力函数应力分量第十六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月边界条件：如何写？常数A由脱离体平衡条件确定：yFaaY方向合力自动满足X方向合力：x第十七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 半无限平面体问题yxF第十八张，PPT共七十九页，创作于2022年6月应力分量用直角坐标系表示用x,y表示为：第十九张，PPT共

4、七十九页，创作于2022年6月 相应的位移按下列步骤求出：（2）代入几何方程，（1）由物理方程求形变 对第一式积分，求出 ，含 ； 对第二式积分，求出 ，含 ； 第二十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 由对称条件，代入第三式，分开变量，求出 和 ，得 （3）求刚体位移H , I , K。 x 向无约束条件, I 不能确定。 第二十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月因刚体位移 不能确定，用相对沉陷表示： 此解答用于基础梁 问题。地基一般为平面 应变问题，故应取（4）半平面体表面的沉陷,M点 为 为基点 ,s 。 第二十二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月思考题 1、试

5、考虑书中的应力解答(4-22)具有下列特点：在图示直径为OA=D的圆上，如图， yxoFDAB都等于第二十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 3、试考虑在下图中，当 的边界上有均布压力q作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？ 2、试考虑在下图中，o点有外力偶M作用时，如何用量纲分析方法假设应力的函数形式？ （答案： ）（答案： ）第二十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月M第二十五张，PPT共七十九页，创作于2022年6月4 坝体应力xyoM分别写出直角坐标系与极坐标系下的边界条件液体密度：坝体材料密度：第二十六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月极坐标直角坐标

6、第二十七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月5 圆孔孔边应力集中xy2aqq第二十八张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 工程结构中常开设孔口最简单的为圆孔。 本节研究小孔口问题，应符合（1）孔口尺寸弹性体尺寸，孔口引起的应力扰动局限于小范围内。（2）孔边距边界较远（1.5倍孔口尺寸）孔口与边界不相互干扰。 当弹性体开孔时，在小孔口附近，将 发生应力集中现象。第二十九张，PPT共七十九页，创作于2022年6月1.带小圆孔的矩形板，四边受均布拉力q， 图(a)。第三十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月内边界条件为，将外边界改造成为圆边界，作 则有 利用圆环的轴对称解答，取 且

7、Rr，得应力解答： 第三十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月2. 带小圆孔的矩形板， x, y向分别受拉压力 ，图(b)。所以应力集中系数为2。内边界条件为最大应力发生在孔边， 作 圆，求出外边界条件为 第三十二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月用半逆解法求得的应力解答为：在孔边 ， ，最大、最小应力为 ，应力集中系数为 。 第三十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月3.带小圆孔的矩形板，只受x向均布拉力q。第三十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月应用图示叠加原理（此时令 ） 得应力解答:第三十五张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 讨论：（1）孔边应

8、力， 最大应力 3q ，最小应力-q。第三十六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月（2) y轴 上应力，可见，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动5%。第三十七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月（3） x 轴 上应力，同样，距孔边1.5D处 ，由于孔口引起的应力扰动远处的应力，孔口附近应力无孔时的应力。（2）局部性-应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）范围内。此区域外的应力扰动，一般5%。第三十九张，PPT共七十九页，创作于2022年6月（3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。 因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。 如正方孔 的角点，角点曲率半

9、径第四十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 5.一般小孔口问题的分析： （1）假设无孔，求出结构在孔心处的 、 、 。（2）求出孔心处主应力 （3）在远处的均匀应力场 作用下， 求出孔口附近的应力。 第四十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 为便于工程上的应用，下图为远处为 (压应力场)作用下，椭圆类孔口的应力分布情况。 -43/2ba1 1-2.2312/3-1101 -31第四十二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月例题1 试考察应力函数 能解决图中所示弹性体的何种受力问题？yxaa0第四十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月解：本题应按逆解法求解。 首先校

10、核相容方程， 是满足的。 然后，代入应力公式，求出应力分量：第四十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第四十五张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数 求解应力分量。例题2第四十六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 解：首先检验 ，已满足 。由 求应力，代入应力公式得第四十七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 再考察边界条件。注意本题有两个 面,即 ，分别为 面。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有 代入公式，得应力解答，第四十八张，PPT共七十九页，创作于

11、2022年6月设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。例题3第四十九张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 （2）将 代入相容方程，得 （1） 应比应力的长度量纲高2次幂，可假设 。删去因子 ，得一个关于 的常微分方程。令其解为 ，代入上式，可得到一个关于 的特征方程，第五十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月其解为 于是得 的四个解 ；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得 本题中结构对称于 的 轴，而 是反对称荷载，因此，应力应反对称于 轴，为 的奇函数，从而得第五十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 （5）考察边界条件。由于原点o有集中

12、力偶 作用，应分别考察大边界上的条件和 原点附近的条件。 在 的边界上，有（4）由 求得应力分量，第五十二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心， 为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为(a)第五十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出(b)代入应力公式，得最后的应力解答，第五十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，例题4 xy0F第五十五张，PPT共七十九页，创作于20

13、22年6月（1）经校核，上述 满足相容方程。 解：（2）代入应力公式，得第五十六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 （3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为 的脱离体，列出其3个平衡条件：第五十七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第五十八张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 （4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。第五十九张，PPT共七十九页，创

14、作于2022年6月 由物理方程求出应变分量，第六十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月代入几何方程，得由前两式积分，得第六十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月将 代入第三式，并分开变量，得第六十二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 为了使上式在区域内任意的 都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出(b)第六十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月将式（c）对 求导一次，再求出再将上式的 代入 ，得显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(d)(e)第六十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月将式（a）代入上

15、式，得 将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第六十五张，PPT共七十九页，创作于2022年6月圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。例题5第六十六张，PPT共七十九页，创作于2022年6月解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。 （a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，第六十七张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 （b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出 （c）对于圆周上的点M，分别作用 且 ，并有显然，在圆周上有第六十八张，PPT共七十九页，创作于2022

16、年6月 因此，圆盘在对径受压时，其应力解是 (a),(b),(c)三部分解答之和。两者合成为圆周上的法向分布压力 为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力 其对应的应力分量为 第六十九张，PPT共七十九页，创作于2022年6月由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量 现在来计算水平直径CD线上的 值。对于N点，设 则有 第七十张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 读者试求出CD线和AB线上的水平正应力 值，并证明在中心线AB上， 为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第七十一张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 例题6 图示的三角形悬臂梁，在上边界 受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数求出其应力分量。第七十二张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 解：应力函数 应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数第七十三张，PPT共七十九页，创作于2022年6月得出的应力解答是第七十四张，PPT共七十九页，创作于2022年6月 例题7 图中所示的半平面体，在 的边界上受到