中职数学基础模块下册第七单元《平面向量》word教案

1、第1节平面向量的概念及线性运算基础梳理1向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于个单位的向量(4)平行向量：方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上规定：0与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量(6)相反向量：与a长度，方向的向量，叫做a的相反向量2向量的加法运算及其几何意义b(1)三角形法则：已知非零向量a、，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的，记作ab，即abABBCAC，这种求向量和的方法，称为向量加法的(2

2、)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示3向量的减法运算及其几何意义(1)定义：aba(b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的(2)如图，ABa，ADb，则DBab.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a的方向与a的方向；当0时，a0.(2)运算律设，是两个实数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.(3)两个

3、向量共线定理：向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使ba.典例分析(A)ab(B)ab(C)ab(D)ab向量的有关概念【例1】给出下列各命题：零向量没有方向；若|a|b|，则ab；单位向量都相等；向量就是有向线段；若ab，bc，则ac；若四边形ABCD是平行四边形，则ABDC，BCDA.其中真命题是_向量的线性运算【例2】(2010年高考全国卷)ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.设CBa，CAb，|a|1，|b|2，则CD等于()1221333334435555变式探究21：(2010年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若OA|AB|3OB2OC0，

4、则等于_|BC|向量共线与三点共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线变式探究31：已知向量a、b不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么()(A)k1且c与d同向(B)k1且c与d反向(C)k1且c与d同向(D)k1且c与d反向易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例1】下列命题正确的是()(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数，使ba；(B)在ABC中，ABBCCA0；(C)不等式|a|b|ab|a|b|中两个等号不可能同时成立；(D)向量a、b不共线，则向量

5、ab与向量ab必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为_第2节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，也可记作a，b.(2)范围：向量夹角的范围是0，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.质疑探究eqoac(,1)：在ABC中，设ABa，BCb，则a与b的夹角是ABC吗？2平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一

6、平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？3平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解a或1(x，y)x2y2(4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1x2质疑探究3：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的条件能否可以写成11？【例2】已知点A(1,2)，B(2,8)以及ACAB，DABA，求点C、变式探究21：(2010年山东临

7、沂联考)已知A(7,1)、B(1,4)，直线yax与线段AB交于(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x，y分别叫做a在x轴、y轴上的坐标，a(x，y)叫做向量a的坐标表示相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量4平面向量的坐标运算(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)(2)已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，

8、ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，ab(b0)的充要条件是x1y2x2y10.(3)非零向量a(x，y)的单位向量为1|a|.y1y2xyx2y2提示：不能，因为x2，y2有可能为0，应表示为x1y2x2y10.典例分析平面向量基本定理及其应用【例1】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AMc，ANd，试用c，d表示AB，AD.向量坐标的概念及运算1133D的坐标和CD的坐标12C，且AC2CB，则实数a等于()45(A)2(B)1(C)(D)53共线向量的坐标运算【例3】(2010年高考陕西卷)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab

9、)c，则m_.变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，则2a3b等于()(A)(5，10)(B)(4，8)(C)(3，6)(D)(2，4)易错警示错源：对共线向量不理解【例题】已知两点A(2,3)，B(4,5)，则与AB共线的单位向量是()(A)e(6,2)，)(B)e(3101010103101031010(C)e(，)或e(，)10101010(D)e(6,2)或(6，2)第3节平面向量的数量积基础梳理1数量积的定义已知两个非零向量a与b，其夹角为.我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos.规定：零向

10、量与任一向量的数量积为0.2数量积的几何意义|(1)向量的投影：a|cos叫做向量a在b方向上的投影，当为锐角时，它是正数，当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0.(2)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积3数量积的运算律已知向量a、b、c和实数，则：(1)交换律：abba；(2)结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：(ab)cacbc.质疑探究：若非零向量a，b，c满足acbc，则ab吗？(ab)ca(bc)恒成立吗？提示：不一定有ab，因为acbcc(ab)0，即c与ab垂直，但不一定有ax1x2y1y2b.因此数量积不满足消去律

11、因为(ab)c与向量c共线，(bc)a与向量a共线当c与a不共线时(ab)ca(bc)即向量的数量积不满足结合律4向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地，aa|a|2或|a|aa.(4)cosab.|a|b|(5)|ab|a|b|.5用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题(1)若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(2)夹角公式：若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则co

12、s.x12y12x22y22(3)距离公式：若表示向量a的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，x2，y2)，则|a|x2x12y2y12，这就是平面内两点间的距离公式(4)垂直关系：设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0 x1x2y1y20.典例分析向量数量积的运算及模的问题【例1】(1)(2010年高考天津卷eqoac(,)如图，在ABC中，ADAB，BCBD，|AD|1，则ACAD_.(2)(2010年高考广东卷)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()(A)6(B)5(C)4(D)3(1)向量的数量积有两种计算方

13、法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下：若a(x，y)，则|a|x2y2.|a|2a2aa.|ab|2a22abb2.变式探究11：(2009年高考辽宁卷)平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于()(A)3(B)23(C)4(D)12两向量垂直问题|【例2】已知|a|5，b|4，且a与b的夹角为60，则当向量kab与a2b垂直时，k_.(A)(B)(C)(D)变式探究21：(2009年高考宁夏、海南卷)已知a(3,2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()11

14、117766【例3】已知|a|1，ab，(ab)(ab)，求：两向量夹角问题1122(1)a与b的夹角的大小；(2)ab与ab的夹角的余弦值变式探究31：(2009年高考重庆卷)已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角是()(A)(B)(C)(D)6432数量积的综合应用【例4】已知|a|1，|b|2.(1)若ab，求ab；(2)若a，b的夹角为60，求|ab|；(3)若(ab)b，求a与b的夹角易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围第4节

15、平面向量的应用基础梳理1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题设a(x1，y1)，b(x2，y2)，证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即abab(b0)x1y2x2y10.证明垂直问题，主要利用向量数量积，即abab0 x1x2y1y20.求线段的长，主要利用向量的模，即|a|a2x12y12.求夹角问题，利用数量积的变形公式：abx1x2y1y2x2y2x2y2即coscosa，b|a|b|1122.2平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应

16、用，可用向量来解决(2)物理中的功W是一个标量，它是力f与位移s的数量积，即Wfs|f|s|cos.3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质典例分析向量在平面几何中的应用【例1】如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2CD2AC2BD2，

17、求证：ADBC.变式探究11：在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(A)|AC|2ACAB(B)|BC|2BABC(C)|AB|2ACCD)(D)|CD|2ACABBABC|AB|2平面向量在物理中的应用【例2】(2009年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()(A)6(B)2(C)25(D)27(2)设，且a(bc)，求cos的值向量与三角的整合【例3】已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，c(1,0)(1)求向量bc的长度的最大值；4

18、cossin2(2)若ab，且m0，求的值变式探究31：(2010年河西区模拟)已知向量a(3，1)，向量b(sinm，cos)，(1)若ab，且0,2)，将m表示为的函数，并求m的最小值及相应的的值；2cos平面向量与解析几何的整合【例4】(2010年安徽巢湖模拟)已知A(3，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足|PA|PB|4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求OMON的取值范围变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F为抛物线y22px(p0)的焦点，A，B，C为该|抛物线上三点，若FAFBFC0，FA|FB|FC|3，则该抛物线

19、的方程是()(A)y22x(B)y24x(C)y26x(D)y28x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】如图，半圆的直径AB2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(PAPB)PC的最小值是_第5节复数的概念及运算基础梳理1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0，b0，则abi为纯虚数(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)xy(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数

20、的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数(5)复数的模：向量OZ的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|ra2b2(r0，rR)z2cdi(2)常用结论：i，(1i)22i.质疑探究1：复数abi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0吗？提示：不是，a0是abi(a，bR)为纯虚数的必要条件，只有当a0，b0时，abi才为纯虚数2复数的几何意义一一对应一一对应(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)；(2)复数zabi平面向量OZ(a，bR)3复数的运算设z1abi，z2cdi

21、(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；zabiabicdi(4)除法：1cdicdiacbdbcadc2d2c2d2i(cdi0)质疑探究2：(1)z1，z2为复数，z1z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？(2)若z1，z2R，z12z220，则z1z20，此命题对z1，z2C还成立吗？提示：(1)假命题例如：z11i，z22i，z1z230.但z1z2无意义，因为虚数无大小概念(2)不一定成立比如z11，z2i满足

22、z12z220.但z10，z20.(1)in的周期性：i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，nZ.1i典例分析(对应学生用书第69页)复数的有关概念【例1】已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是(A)(1,5)(B)(1,3)(C)(1，5)(D)(1，3)思路点拨：写出|z|的表达式，根据a的范围确定|z|的取值范围)【例2】(2009年高考海南、宁夏卷)复数32i变式探究11：已知(xi)(1i)y，则实数x，y分别为()(A)x1，y1(B)x1，y2(C)x1，y1(D)x1，y2复数代数形式的运算32i23i23i等于(A)0(B)2(C)2i(D)2i

23、)【例3】(2010年高考陕西卷)复数z在复平面上对应的点位于()变式探究21：(2010年高考广东卷)若复数z11i，z23i，则z1z2等于()(A)42i(B)2i(C)22i(D)3i复数的几何意义i1i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限变式探究31：已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点，若OCxOAyOB，则xy的值是_易错警示错源：对复数的概念理解不透【例题】设复数zabi(a，bR)的共轭复数为zabi，则zz为()(A)实数(B)纯虚数(C)0(D)零或纯虚数篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考

24、必考内容，直接命题时题量一般为1道选择题或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是向量的概念和线性运算(如2010年高考湖北卷，理5)，数量积(如2010年高考湖南卷，文6)，与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如2010年高考福建卷，文11)复数是每年高考必考内容，题量为1道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意义和代数形式的四则运算(如2010年高考辽宁卷，理2)1(2010年高考湖北卷，理eqoac(,5)已知ABC和点M满足MAMBMC0，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m等于()(A)2(B)3(C)4(D)53(2010年

25、高考福建卷，文11)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，(A)a，b(B)a3，b1(C)a，b(D)a1，b32若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为()(A)30(B)60(C)120(D)150 x2y243点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()(A)2(B)3(C)6(D)812i4(2010年高考辽宁卷，理2)设a，b为实数，若复数1i，则()abi31221322【真题1】(2010年高考江西卷，理13)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_.追本溯源：人教A版必修4第119页复习参考题A组第13题：已知|a|

26、3，|b|2，a与b的夹角为30，求|ab|，|ab|.【真题2】(2010年高考重庆卷，理14)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A、B满足AF3FB，则弦AB的中点到准线的距离为_【真题3】(2010年高考江苏卷，2)设复数z满足z(23i)64i(i为虚数单位)，则z的模为_一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2010年河西区模拟)复数z2i21i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于(B)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2已知平面向量a(3,1)，b(x，3)，ab，则x等于(C)(A)9(B)1(C)9(D)13在ABC中，ABc，AC

27、b，若点D满足BD2DC，则AD等于(A)(A)bc(B)cb(C)bc(D)bc(A)(B)(C)(D)xcosysin0与圆(xcos)2(ysin)2的位置关系是(D)2152333321123333a2i4(2010年高考山东卷)已知bi(a，bR)，其中i为虚数单位，则ab等于i(B)(A)1(B)1(C)2(D)35在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则BD等于(B)(A)(2，4)(B)(3，5)(C)(3,5)(D)(2,4)6已知两个单位向量e1，e2的夹角为，则下列结论不正确的是(D)(A)e1在e2方向上的投影为cos(B)e12e

28、22(C)(e1e2)(e1e2)(D)e1e217(2010年高考全国新课标卷)a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于(C)88161665656565|8(2010年高考四川卷)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC216，ABAC|ABAC|，则|AM|等于(C)(A)8(B)4(C)2(D)19已知向量a(2cos，2sin)，b(3cos，3sin)，若a与b的夹角为60，则直线1122(A)相交(B)相交且过圆心(C)相切(D)相离10(2009年高考海南、宁夏卷)已知点O，N，P在ABC所在平面内，且|OA|OB|OC|，NANBNC0，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的(C)15(2010年高考重庆卷)已知复数z1i，则z_.(A)重心、外心、垂心(B)重心、外心、内心(C