传热学第四章导热数值解法

1、第四章热传导问题的数值解法Shanghai Jiao Tong University有限差分法的基本：用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微代数形式的差分方程近似代替微分方程，并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。SJTU-ZXC导热问题研究的基本方法导热问题研究的目的实验方法分子动力学模拟法数值计算法有限有限差分法理论分析法强化/减弱导热的措施热流量温度分布Shanghai Jiao Tong University数值计算方法的基本12将时间、空间坐标系中连续的物理量场，用有限离散点上数值的集合来代替，并通过求解离散点物理量组成的3代数方程来求解，所得的解称为数值解。4

2、数值计算方法的优点：5变物性复杂几何形状复杂边界6SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题Step-1: 控制方程及边界条件SJTU-ZXCyh3 t ft0h2t fh1t fxShanghai Jiao Tong University二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题Step-2: 计算域离散化(m,n)N基本概念：网格线节点（内节点、边界节点）控制容积界面线步长均匀/非均匀网格MmxSJTU-ZXCnyxShanghai Jiao Tong University二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热

3、问题Step-3: 建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（）级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)f2f (x)2nf (x)n( f x )x f (x )x Lxxx2n2n!SJTU-ZXC边界外节点边界内节点边界节点平直边界节点内节点itysreo Tong UniviaJi nghaSha内节点离散方程的推导（级数展开法）1. 对相邻节点写出温度 t 对内节点(m, n) 的级数展开式x(m,n):的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n)y(m,n):的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1)X方向mmtSJTU-ZXCt2tx2 t3x31n,t m,nx x2! x

4、3L!x23m , nm , nm , nt223x3 , n3!t 1n, t m, nxm , nitysreo Tong UniviaJi nghaSha内节点离散方程的推导（级数展开法）2. 整理得到二阶导数的中心差分中心差分 t2tm,n tm t n121 m, n ,o(x )2x2x2m ,n2ty2m2tt,tmn1nm,o ( n,n1y2)截断误差：级数余项中的x的最低阶数为2即中心差分格式具有二阶精度。y2m ,3. 由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University内节点离散方程的推导（热平衡法）基本

5、：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热量0SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University内节点离散方程的推导（热平衡法）m n+1)y(m+1,n)(m, n)(m-1,n)y(m,n-1)yoxxx对控制体每个界面线（图中虚线）应用导热定律。SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University y tm1,n

6、tm,n y tm1,n tm,nexwx x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,nsynyx ySJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University恒定温度边界举例一 T 0 T 0 0T 0123Tm1,n Tm1,n Tm,n1 Tm,n1 4Tm,n 0SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University恒定温度边界举例一Tm1,n Tm1,n Tm,n1 Tm,n14Tm,n 0SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong UniversityStep-3: 建立节点离散（代数）方程基本方法：Taylor（）级数展开法控制

7、容积平衡法(热平衡法)为什么要建立边界节点的离散方程？一类边界条件：方程组封闭，可直接求解二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用表示内热源。SJTU-ZXC边界外节点边界内节点边界节点平直边界节点内节点Shanghai Jiao Tong University边界节点离散方程的推导（热平衡法）：二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0y tm1,n tm,nyqxw x tm,n1 tm,n x tm,n1 tm,nyy22x y 0 &m,n22x

8、x2x y4tm,n 2tm1,n tm,n1 tm,n1&qwm,nSJTU-ZXC平直边界节点Shanghai Jiao Tong University边界节点离散方程的推导（热平衡法）：二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0SJTU-ZXC边界外角点Shanghai Jiao Tong University边界节点离散方程的推导（热平衡法）：二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0 y tm1,n tm,ny qxw22x q x tm,n1 tm,nwy22x y 0 &m,n22 2xx2x

9、 y&qw 2tm,ntm1,ntm,n1m,n2SJTU-ZXC边界外角点Shanghai Jiao Tong University边界节点离散方程的推导（热平衡法）：二维矩形域内稳态、常物性的导热问题从所有方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0y tm1,n tm,n1,n tm,ny qy tmw xx22xtm,n1 tm,n1 tm,nx qx tm,nw yy223xy 0 &m,n4 1 (2t2ttttm1,nm,n1m,n1m1,nm,n6x y 3x2 & 2x2qw )2SJTU-ZXC边界内角点Shanghai Jiao Tong University边界节点离

10、散方程的两个具体问题：边界热流密度的具体处理方法qw constqw h(t f tm,n )qw 0多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际坐标变换：保角变换SJTU-ZXC不规则边界的处理方法第三类边界第二类边界绝热边界Shanghai Jiao Tong University建立节点离散方程的级数法与热平衡法的比较：级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷；级数法对于建立边界节点的离散方程较；当导热物体物性或内热源不均匀时，方便处理。级数法不适用，而热平衡法能够Step-4: 设置温度场的迭代初值SJTU-ZXCitysreo Tong Univi

11、aJi nghaShaep-5:tS 节点离散（代数）方程的求解n个未知节点温度，n个代数方程式： . taa1na nb221. 2nat 2 bn. 迭代解法 2.直接解法：矩阵求逆、nann消tn等ab缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）SJTU-ZXC直接解法Shanghai Jiao Tong UniversityStep-5: 节点离散（代数）方程的求解迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等先对要计算的场作出假设（给

12、定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代时总是使用节点温度的值SJTU-ZXCitysreo Tong UniviaJi nghaShaep-5:tS 节点离散（代数）方程的求解Gauss-Seidel迭代法(k)、t (k)(tk)根据第 k 次迭代的数值： tn12在计算后面的节点温度时应采用值：SJTU-ZXC1k 1)a(k t1) .at( k ) ( bk )32 23n n3.)1 k 1 )an (k t1).a.nk) (k b2 2n1k 1)a22 ( k t) .a

13、2n t( k )( bk)2n2( k )1a2 ( k )t .a n1 t( k )( bk ) 12n1Shanghai Jiao Tong UniversityStep-5: 节点离散（代数）方程的求解判断迭代是否收敛的准则：Gauss-Seidel迭代法 为允许的偏差，一般取10-310-6max t (k 1)t (k ) ii(k 1)为k次迭代得到的计算域温度最大值(k )t (k)ortimax timaxt (k )it (k 1)ort (k ) max ii计算域温度存在近于0的值时采用t (k )maxSJTU-ZXCShanghai Jiao Tong Unive

14、rsityStep-5: 节点离散（代数）方程的求解Gauss-Seidel迭代法如何避免迭代发散？必须满足对角占优原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数绝对值的代数和 (参考例题4-1)Step-6: 解的分析如何判断数值解的准确性？三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证数值计算中偏差 总是存在的，增加节点数目可以减小误差。计算网格独立性。SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University4-4 非稳态导热问题的数值解法由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还需要对时间坐标进行离散处理。稳态扩散项的离散格式：中心差分格式非稳态

15、项的离散格：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式SJTU-ZXC源项稳态项（扩散项）非稳态项itysreo Tong UniviaJi nghaSha4-4 非稳态导热问题的数值解法一稳态导热微分方程及定解条件：ttftfx2hh t 0t初始条件00平板加热问题 第三类边界条件xt0边界条件x 0 xt hx( t tf)xSJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University非稳态项的离散格式的构造：向前差分格式级数展开法4-4 非稳态导热问题的数值解法向后差分格式中心差分格式x 为空间步长 为时间步长离散化代数方程点（n,i）偏微分方程非稳态项向前差分扩散项中心差

16、分SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University非稳态项的离散格式的构造：热平衡法4-4 非稳态导热问题的数值解法从所有方向流入控制体的总热量 控制体内能的增量SJTU-ZXC x xdx E t (i ) t (i )A n1nxx t (i ) t (i )A nn1xdxx t (i1) t (i )cA x nnE内节点 nShanghai Jiao Tong University非稳态项的离散格式的构造：热平衡法4-4 非稳态导热问题的数值解法左边对称绝热边界t 0 x 0 xt1 t2SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong Universi

17、ty非稳态项的离散格式的构造：热平衡法4-4 非稳态导热问题的数值解法t (i) t (i)x t (i1) t (i ) t) N 1N xh(t(i ) NN cfN2SJTU-ZXC右边第三类边界Shanghai Jiao Tong University4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热节点离散方程的两种格式：2显示格式显示格式：格式右边全部为第 i 时间层的温度值，只要 i 时间层温度已知，即可计算得到 i+1 时间层的温度。显示格式存在稳定性问题：如果节点 t (i) 前面的系数小于零，则数值n解出现不稳定的震荡结果。1 2aFo a 0 0.5显示格式的稳定性条件：x2x2

18、即：空间步长x和时间步长的选取有限制SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热节点离散方程的两种格式：隐式格式隐式格式：空间离散采用（i+1）时层的值。隐式格式不存在稳定性问题，对时间步长和空间步长没有限制，但是计算量较大。SJTU-ZXCShanghai Jiao Tong University导热问题的数值计算实践例题4-5 二维肋片稳态导热问题的数值计算（1）编程，编程语言自定，最后提交源程序（2）提交电子（word格式），包括：（a）给出空间离散示意图（网格划分）（b）节点离散方程（c） 图示温度等值线（可以利用origin或）例题4-6 无限大平板的一稳态导热问题数值计算（1）编程，编程语言自定，最后提交源程序（2