1.极值点偏移的纯偏移型解法

1、极值点偏移的纯偏移型解法什么是极值点偏移我们知道二次函数f(x)的顶点就是极值点X，若f(x)=c的两根的X+XX+X中点为122，则刚好有122=X，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移;22按极值点偏移的处理方法分:分为两类：纯偏移，非纯偏移纯偏移的处理策略为：构造函数F(x)二f(X)-f(2xx)或是F(x)二f(X+x)-f(X-X).ooo【例1】已知函数f(X)二xe-X(xgR).(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x1时，f(x)g(x);若x圭打,且f(xi)=f(x2),证明：G

2、X22.12情况如下表:X(-8,1)1(1,+8)f(x)+0f(x)/极大值所以f(x)在(2,1)内是增函数，在(1，+8)内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1e(II)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2；令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)二xe-X+(x2)ex-2；于是F(x)-(xD(e2x-2-De-X；当x1时，2x-20,从而e2x-2-10,又e-x0,所以F(x)0,从而函数F(x)在1,+)是增函数.又F(1)=e-1-e-1=0,所以xl时，有F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).(Ill)

3、证明：若(x-l)(x-1)=0,由(I)及f(x)=f(x),则x=x=1与x丰x矛盾.12121212若(x-1)(x-1)0,由(I)及f(x)=f(x),得x=x与x丰x矛盾.12121212根据(I)(2)得(xi一1)(x2-1)0,不妨设xi1由(II)可知，f(x)g(x)，则g(x)=f(2-x),所以f(x)f(2-x)，从而222222f(x)f(2-x).因为x1，所以2-x2一x2，即x1+x22.【练习1】已知函数f(x)=Inx一ax2+(2一a)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a0，111证明：当0 xf(-x)；(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交于

4、A，Baaa两点，线段AB中点的横坐标为x0,证明：f(x0)VO.解：(I)f(x)的定义域为(0,+8),f(x)=1-2ax+(2-a)=-(2x+1)(ax-】).xx(i)若a0,所以f(x)在(0,+8)单调增加.111(ii)若a0,则由f(x)=0得x=_,且当xg(0,)时,f(x)0,当x时,f(x)0.aaa11所以f(x)在(0,)单调增加，在(一,+8)单调减少.aa11(II)设函数g(x)=f(+x)-f(-x),则aag(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,g(x)aa2a3x2+一2a=1+ax1-ax1-a2x21当0 x0,而g(0)=0,所

5、以g(x)0.a111故当0 xf(-x).aaa(III)由(I)可得，当a0时，函数y=f(x)的图像与x轴至多有一个交点,1110，从而f(x)的最大值为f(),且/()0.aa不妨设A(x,0),B(x,0),0 xx,则0-.由(i)12121f(一x)=f(+一x)f(x)=o.从而x一x,a1aa112a1知，f(x)0.01-x【例2】已知函数f(x)=ex.(i)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：若x工x，1+x212且f（x1）=f（x）时，则x1+TO.1xx2一2x一1丄1一x1+x2x(1+x2)21+x2e%1x一x(x1)2+2(1+x2)2解：（1）函数fx

6、）的定义域为（一8,+s）.f（x）=jx2ex+当x0；当x0时，f（x）v0，所以fx）的单调递增区间为（一8，0），单调递减区间为（0，+8）.1x(2)证明：当x0，ex0,故fx)0；同理，当x1时，fx)v0.当f(x1)=fx2)(x工x2)时，不妨设x1x2，由(1)知，xW(8,0)，x2(0，1).下面证明：7x(0，1)，fx)(x)，即证1+；ex1x2e-x.此不等式等价于(1x)ex0.1x令g(x)=(1x)ex申，则gf(x)=xex(e2x1).当xW(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递减,1x从而g(x)g(0)=0,即(1x)exe0.所以Vx(0,1

7、),fx)f(x).由x店(0,1),所以x2f(x2)f(x2)，从而f(x1)f(x2).由于x1，x2G(,0),几)在(一a,0)上单调递增，所以x1x2，即x1x20.【练习2】已知函数f(x)=exax+a,agR，其中图像与x轴交于A(珥,0),b(x?,。),且xx.证明：f(xx)02-S所灯尹je又是单调增函数，且耳尹=乔j所以广(辰卜o.【练习3】已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.设x,x是/(x)的两个12零点，证明：xi+x22.解:不妨设xix2由题意知fI】)=f(x2)=0.要证不等式成立，只需证当x10时，F(x)0.F(x)F(0)=0.即f(1x)f(1+x).令x=1-叮，则f()=f(x)=fG-(1x)fG+(1x)=f(2x),即f(x)f(2-x).而x,2-xg(1,+a)，且f(x)在(1,+a)上递增，故x2-x，即212121x+x2.12极值点偏移的的纯偏移型解法步骤：1.构造一元差函数F(x)=f(x)f(2xx)或是F(x)=f(x+x)f(xx)；ooo2对差函数F(x)求导，判断单调性；结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定f(x0+x)与f(x0 x)