2022届高三理科数学全国大联考试卷及解析

1、2022届高三月考试卷答案版数学(理科)时量：120分钟 总分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1设复数zxyi，其中x，y是实数，i是虚数单位，假设eq f(y,1i)xi，那么复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】由，y(1i)(xi)x1(1x)i，那么yx1，且1x0，即x1，y2.所以eq o(z,sup6()xyi12i，所对应的点(1，2)位于第四象限，选D.2向量a与b的夹角是eq f(,3)，且|a|1，|b|4，假设(3ab)a，那么实数

2、的值为(B)A.eq f(3,2) Beq f(3,2) C.eq f(2,3) Deq f(2,3)【解析】由，(3ab)a0，即3a2ba0，所以320，即eq f(3,2)，选B.3以下说法中正确的选项是(C)A假设样本数据x1，x2，xn的平均数为5，那么样本数据2x11，2x21，2xn1的平均数为10B用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，假设抽取的学号为5，16，27，38，49，那么该班学生人数可能为60C某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm，那么这批零件不合格D对某样本通过独立性

3、检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A，假设x1，x2，xn的平均数为5，那么2x11，2x21，2xn1的平均数为25111，所以说法错误；对于B，由抽取的号码可知样本间隔为11，那么对应的人数为11555人假设该班学生人数为60，那么样本间隔为60512，所以说法错误对于C，因为4，0.5，那么(u3，u3)(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，那么这批零件不合格，所以说法正确对于D，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系有95%的正确性，所以说法错误选C.4eq b

4、lc(rc)(avs4alco1(2x2f(1,x)eq sup12(n)(nN*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，那么其展开式中含eq f(1,x)项的系数是(A)A84 B84 C24 D24【解析】由，2n128，得n7，所以Tr1Ceq oal(r,7)(2x2)7req blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(r)(1)r27rCeq oal(r,7)x143r.令143r1，得r5，所以展开式中含eq f(1,x)项的系数为(1)5275Ceq oal(5,7)84，选A.5.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，假设a，b，

5、c成等差数列，且b0，那么以下结论正确的选项是(A)Af(b)0，且f(a)f(c)0 Bf(b)0，且f(a)f(c)0Cf(b)0，且f(a)f(c)0 Df(b)0，且f(a)f(c)0【解析】由，f(b)f(0)0.因为ac2b0，那么ac，从而f(a)f(c)f(c)，即f(a)f(c)0，选A.6设x为区间2，2内的均匀随机数，那么计算机执行以下程序后，输出的y值落在区间eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)内的概率为(C)A.eq f(3,4) B.eq f(5,8) C.eq f(1,2) D.eq f(3,8)【解析】因为当x2，0时，y2xeq blcrc

6、(avs4alco1(f(1,4)，1)；当x(0，2时，y2x1(1，5所以当yeq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)时，x1，1，其区间长度为2，所求的概率Peq f(2,4)eq f(1,2)，选C.7函数f(x)sin 2x2sin2x1，给出以下四个结论：(B)函数f(x)的最小正周期是2；函数f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,8)，f(5,8)上是减函数；函数f(x)的图象关于直线xeq f(,8)对称；函数f(x)的图象可由函数yeq r(2)sin 2x的图象向左平移eq f(,4)个单位得到其中正确结论的个数是A1 B2 C3 D4【

7、解析】f(x)sin 2xcos 2xeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4).因为2，那么f(x)的最小正周期T，结论错误当xeq blcrc(avs4alco1(f(,8)，f(5,8)时，2xeq f(,4)eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)，那么f(x)在区间eq blcrc(avs4alco1(f(,8)，f(5,8)上是减函数，结论正确因为feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)eq r(2)为f(x)的最大值，那么f(x)的图象关于直线xeq f(,8)对称，结论正确设g(x)eq r(2)sin 2x

8、，那么geq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq r(2)sin 2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,2)eq r(2)cos 2xf(x)，结论错误，选B.8.命题p：假设a2且b2，那么abab；命题q：x0，使(x1)2x1，那么以下命题中为真命题的是(A)Apq B(綈p)q Cp(綈q) D(綈p)(綈q)【解析】假设a2且b2，那么eq f(1,a)eq f(1,2)且eq f(1,b)eq f(1,2)，得eq f(1,a)eq f(1,b)1，即eq f(ab,ab)0

9、，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，假设双曲线上存在点M满足|MF1|2|MO|2|MF2|，那么双曲线的离心率为(C)A6 B3 C.eq r(6) D.eq r(3)【解析】过点M作x轴的垂线，垂足为A，因为|MO|MF2|，那么A为OF2的中点，所以|AF2|eq f(c,2)，|AF1|eq f(3c,2).设|MF2|m，那么|MF1|2m.在RtMAF1中，|MA|24m2eq f(9,4)c2.在RtMAF2中，|MA|2m2eq f(c2,4)，那么4m2eq f(9,4)c2m2eq f(c2,4)，即3m22c2.因为|MF1|MF2|2a，那么m2a，所以

10、3(2a)22c2，即c26a2，所以eeq f(c,a)eq r(6)，选C.12对于给定的正整数n，设集合Xn1，2，3，n，AXn，且A记I(A)为集合A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，那么S(2 018)(D)A2 01822 0181 B2 01822 0171 C2 01722 0171 D2 01722 0181【解析】对于集合Xn，满足I(A)1的集合A只有1个，即1；满足I(A)2的集合A有2个，即2，1，2；满足I(A)3的集合A有4个，即3，1，3，2，3，1，2，3；满足I(A)n的集合A有2n1个，所以S(n)12232

11、2n2n1.由错位相减法，得S(n)(n1)2n1，所以S(2 018)2 01722 0181，选D.二、填空题，本大题共4小题，每题5分，共20分13coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(1,3)，那么sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)_eq f(7,9)_【解析】sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(,2)cos 2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2cos2eq blc(rc)(avs4alco1

12、(f(,3)1eq f(7,9).14如图，在ABC中，eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(DC,sup6()，P是线段BD上一点，假设eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AC,sup6()，那么实数m的值为_eq f(1,3)_【解析】因为eq o(AD,sup6()eq f(1,3)eq o(DC,sup6()，那么eq o(AC,sup6()4eq o(AD,sup6()，所以eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().因为B，P，D三点共线，那么meq f

13、(2,3)1，所以meq f(1,3).15函数f(x)|2x1|a，假设存在实数x1，x2(x1x2)，使得f(x1)f(x2)1，那么a的取值范围是_(1，2)_【解析】令f(x)1，那么|2x1|a1.据题意，直线ya1与函数y|2x1|的图象两个不同的交点，由图可知，0a11，即1a2.16设数列an的前n项和为Sn，a11，且Sn4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,n)an(nN*)，那么数列an的通项公式是an_eq f(n,2n1)_【解析】当n2时，anSnSn1eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,n1)an1eq blc(rc)(avs4al

14、co1(1f(2,n)an，那么eq blc(rc)(avs4alco1(2f(2,n)aneq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,n1)an1，即eq f(an,n)eq f(an1,2n1)，所以数列eq f(an,n)是首项为1，公比为eq f(1,2)的等比数列，那么eq f(an,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)，即aneq f(n,2n1).三、解答题：共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题总分值1

15、2分)如图，在平面四边形ABCD中，AB4，AD2，BAD60，BCD120.(1)假设BC2eq r(2)，求CBD的大小；(2)设BCD的面积为S，求S的取值范围【解析】(1)在ABD中，因为AB4，AD2，BAD60，那么BD2AB2AD22ABADcosBAD164242eq f(1,2)12，所以BD2eq r(3).(3分)在BCD中，因为BCD120，BC2eq r(2)，BD2eq r(3)，由eq f(BC,sinCDB)eq f(BD,sinBCD)，得sinCDBeq f(BCsinBCD,BD)eq f(2r(2)sin 120,2r(3)eq f(r(2),2)，那么

16、CDB45.(5分)所以CBD60CDB15.(6分)(2)设CBD，那么CDB60.在BCD中，因为eq f(BC,sin60)eq f(BD,sin 120)4，那么BC4sin(60)(8分)所以Seq f(1,2)BDBCsinCBD4eq r(3)sin(60)sin 4eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )sin 3sin 22eq r(3)sin23sin 2eq r(3)(1cos 2)3sin 2eq r(3)cos 2eq r(3)2eq r(3)sin(230)eq r(3).(11分)因为060，那么30

17、230150，eq f(1,2)sin(230)1，所以0Seq r(3).故S的取值范围是(0，eq r(3)(12分)18(本小题总分值12分)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，AB2，AC4，BAC120，D为BC的中点(1)求证：ADPB；(2)假设二面角APBC的大小为45，求三棱锥PABC的体积【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得BC2416224cos 12028，那么BC2eq r(7).因为D为BC的中点，那么BDCDeq r(7).(2分)因为eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，那么eq o(A

18、D,sup6()2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()2eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()22eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)(416224cos 120)3，所以ADeq r(3).(4分)因为AB2AD2437BD2，那么ABAD.(5分)因为PA底面ABC，那么PAAD，所以AD平面PAB，从而ADPB.(6分)(2)解法一：因为AD平面PAB，过点A作AEPB，垂足为E，连结DE.那么DEPB，所以AED为二面角APBC的平面角(8分)在RtDAE中，由，AED

19、45，那么AEADeq r(3).(9分)在RtPAB中，设PAa，那么PBeq r(AB2PA2)eq r(4a2).(10分)因为ABAPPBAE，那么2aeq r(4a2)eq r(3)，即4a23(4a2)，解得a212，所以PAa2eq r(3).(11分)所以VPABCeq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)eq f(1,2)24sin 1202eq r(3)4.(12分)解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图设PAa，那么点B(2，0，0)，D(0，eq r(3)，0)，P(0，0，a)所以eq o(BD,sup6()(2，eq r(

20、3)，0)，eq o(BP,sup6()(2，0，a)(8分)设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，那么eq blc(avs4alco1(mo(BD,sup6()0，,mo(BP,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(2xr(3)y0，,2xaz0.)取xeq r(3)，那么y2，zeq f(2r(3),a)，所以meq blc(rc)(avs4alco1(r(3)，2，f(2r(3),a).(9分)因为n(0，1，0)为平面PAB的法向量，那么|cosm，n|cos 45eq f(r(2),2)，即eq f(|mn|,|m|n|)eq f(r(2),2).所以eq f(2,

21、r(7f(12,a2)eq f(r(2),2)，解得a212，所以PAa2eq r(3).(11分)所以VPABCeq f(1,3)SABCPAeq f(1,3)eq f(1,2)24sin 1202eq r(3)4.(12分)19(本小题总分值12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的局部送餐员每单抽成6元，超过40单的局部送餐员每单抽成7元现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数1015101

22、05(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，答复以下两个问题：()求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；()小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，那么P(A)eq f(Ceq oal(3,30),Ceq oal(3,50)eq f(29,140).(3分)(2)()设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资

23、为X元，那么当n38时，X386228；当n39时，X396234；当n40时，X406240；当n41时，X4067247；当n42时，X40614254.所以X的分布列为X228234240247254peq f(1,5)eq f(3,10)eq f(1,5)eq f(1,5)eq f(1,10)(7分)Eeq blc(rc)(avs4alco1(X)228eq f(1,5)234eq f(3,10)240eq f(1,5)247eq f(1,5)254eq f(1,10)238.6.(9分)()依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.

24、8，(10分)所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2元，(11分)因为238.6b0)的一个焦点与抛物线y24eq r(3)x的焦点重合，且直线yeq f(b,a)x与圆x2y210 x200相切(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，假设k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2|OB|2是否为定值？假设是，求出此定值；假设不是，说明理由【解析】(1)因为抛物线y24eq r(3)x的焦点为(eq r(3)，0)，那么ceq r(3)，所以a2b23.(2分)因为直线bxay0与圆(x

25、5)2y25相切，那么eq f(5b,r(b2a2)eq r(5)，即a24b2.(4分)解得a24，b21，所以椭圆C的方程是eq f(x2,4)y21.(5分)(2)设直线l的方程为ykxm(m0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得x24(kxm)24，即(4k21)x28kmx4m240，那么x1x2eq f(8km,4k21)，x1x2eq f(4m24,4k21).(7分)由，k2k1k2eq f(y1y2,x1x2)eq f(kx1mkx2m,x1x2)，那么k2x1x2(kx1m)(kx2m)，即km(x1x2)m20，所以eq f(8k2m2

26、,4k21)m20，即(14k2)m20.因为m0，那么k2eq f(1,4)，即keq f(1,2)，从而x1x22m，x1x22m22.(10分)所以|OA|2|OB|2xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)xeq oal(2,1)(kx1m)2xeq oal(2,2)(kx2m)2(k21)(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)2km(x1x2)2m2(k21)(x1x2)22x1x22km(x1x2)2m2.eq f(5,4)4m22(2m22)2m22m25为定值(12分)21(本小题总分值12分)函数f(x)ex

27、a(x1)，aR，e为自然对数的底数(1)假设存在x0(1，)，使f(x0)0，求实数a的取值范围；(2)假设f(x)有两个不同零点x1，x2，证明：x1x2x1x2.【解析】(1)解法一：f(x)exa.(1分)假设a0，因为ex0，那么f(x)0，此时f(x)在R上单调递增当x(1，)时，f(x)f(1)e0，不合题意(2分)假设a0，由f(x)0，得exa，即xln a，那么f(x)在(ln a，)上单调递增，在(，ln a)上单调递减，所以f(x)minf(ln a)eln aa(ln a1)a(2ln a)(4分)据题意，eq blc(avs4alco1(ln a1，,a2ln ae

28、2，所以a的取值范围是(e2，)(5分)解法二：当x(1，)时，由f(x)0，得exeq f(ex,x1).(1分)设g(x)eq f(ex,x1)(x1)，据题意，当x(1，)时，ag(x)能成立，那么ag(x)min.(2分)因为g(x)eq f(exx1ex,x12)eq f(x2ex,x12)(x1)，(3分)那么当x2时，g(x)0，g(x)单调递增；当1x2时，g(x)0，g(x)单调递减(4分)所以g(x)ming(2)e2，故a的取值范围是(e2，)(5分)(2)由题设，f(x1)f(x2)0，即eq blc(avs4alco1(ex1ax11，,ex2ax21，)那么ex1e

29、x2a2(x11)(x21)，即ex1x2a2(x1x2x1x21)(7分)要证x1x2x1x2，只要证ex1x2a2，即证x1x22ln a，即证x1e2，且x1ln ax2，从而2ln ax2ln a.因为f(x)在(，ln a)上单调递减，所以只要证f(x1)f(2ln ax2)，即证f(x2)f(2ln ax2)(9分)设h(x)f(x)f(2ln ax)，那么h(x)f(x)f(2ln ax)ex2ae2ln axexeq f(a2,ex)2a2eq r(exf(a2,ex)2a0，所以h(x)在R上单调递增因为x2ln a，那么h(x2)h(ln a)f(ln a)f(ln a)0，即f(x2)f(2ln ax2)0，即f(x2)f(2ln ax2)，所以原不等式成立(12分)(二)选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分22(本小题总分值10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴