2022年全概率公式及其应用

1、1 绪论 1.1 问题的提出 概率论是统计学在实际生活中应用的理论基础,在实际生活、 生产、工作中常常会遇到各种各样有关于概率运算问题的模型或者大事,而往往有些实际大事的解决是特别复杂的,假如只是使用一般的概率运算方法是无法快捷甚至根本无法解决这些问题,而全概率公式是概率论中的一个重要公式, 它供应了运算复杂大事概率的一条有效途径,使一个复杂大事的概率运算问题化繁为简,使用全概率公式解决问题可以借助引入各种小前提, 将大事分解为两个或是如干个互不相容的 简洁大事的并集并且在每个小部分中可以比较简洁的求得所需要的 概率,从而进一步应用加法公式求出复杂大事的概率,所以针对某些 复杂大事的处理一般可

2、以使用全概率公式进行简化运算；大家不禁思考, 在解决概率问题时, 使用全概率公式与使用一般 方法相比有何不同？其优势表达在哪？全概率公式主要应用于哪些 领域？本文主要探究的即是全概率公式在解决一些实际生活中遇到 的问题中的应用以及其优势；1.2 使用全概率公式解决问题的意义 通过调查和统计我发觉全概率公式的应用范畴特别广泛,同时其 涉及领域也特别宽广；我们可以看到,在现实的各种领域,比如生活、生产、经济、保 险、投资、医疗等领域中,常常会涉及各种类型的概率运算,但是由 于这些实际大事都会有着各种各样的限制条件或者其样本空间极为复杂,因此在运算中也会遇到各种复杂问题；全概率公式的存在即有效地解决

3、了一些复杂繁琐类的问题； 在遇到使用一般方法进行处理分析特别麻烦乃至简洁出错的复杂大事时,为互不相容的两个或者如干个简洁大事,假如可以把这个大事分割成 那么就可以运用全概率公式将样本空间依据某种方式进行分割, 使原本复杂的大事转变为两个或者如干个简洁大事, 再使用条件概率对每个简洁是件进行运算,最终运用加法公式将全部结果进行相加即可以精确便利的得出结果,这也就是全概率公式的意义所在； 敏捷使用全概率公式有助于把握随机事件间的相互影响关系,为生产实践供应更有价值的决策信息；1.3 讨论背景及预期结果目前许多文献与论文都提及到了全概率公式的应用,但是一般都是对全概率公式进行证明、 说明或者深度推广

4、, 其中许多文章都对全概率公式在某一部分领域的应用做出了阐释,并未能总结出全概率公式在各种领域中的实际问题上的应用；本文就是为了探求全概率公式在各种实际问题上的应用, 归纳总结全概率公式的懂得方法、求解问题时的分析方法、解决实际应用时的具体步骤以及应用此公式时应当留意的事项等几点讨论体会, 旨在更加完备的总结出全概率公式在解决各种复杂问题时的作用；2 全概率公式的概述2.1 全概率公式全概率公式是概率论中的一个重要公式,它主要展现了 “ 化整为零” 的数学思想, 将复杂的问题分割为两个或者如干个简洁问题进行分析处理；性质 1（全概率公式）设A 1,A 2, ,A n 为样本空间 的一个分割,即

5、 A 1,A 2, ,A n 互不相容 , 且in1A i= ,假如 PA i0,i=1,2 , ,n,就对任一大事N有nPN=i1PA iPN Ai n证明：由分割定义可知N=N =i1NA i, 且 NA 1,NA 2, ,NA n互不相容；利用可加性可得PN=Pin1NA i=in1PNA i=inPA iPN Ai 13 全概率公式的一些应用 3.2 社会调查中的应用 3.2.1（社会敏锐性问题调查）近几年,中同学吸烟问题越来越 困扰着家长和学校, 而吸烟会严峻影响其身心健康的进展,但同学吸 烟都是避着老师和家进步行的,所以对其不能进行准时有效的遏制；现在要设计一个调查方案, 从调查数

6、据中估量出中同学中有着吸烟习 惯或者有过吸烟经受的比率 p；这类敏锐性问题的调查属于社会调查的一类,对敏锐性问题的调 查方案,关键是要使被调查者主动情愿的作出真实回答并能保守被调 查者的个人隐私； 假如调查方案设计欠妥, 被调查者很有可能就会拒 绝协作或者给不真实的回答, 所得的数据将会失去真实性； 我使用的 是目前最广泛的一种调查方案, 在这个方案中被调查者通过抽签打算回答一下两个问题中的一个问题；问题 1：你的阳历生日是否在7 月 1 日之前？问题 2：你是否有着吸烟习惯或者有过吸烟经受？这个调查方案必需在排除被调查者的顾虑,使被调查者确信参与这次调查不会泄露自己隐私的前提下进行,在调查的

7、操作上需要留意以下关键点：（1）被调查者必需保持独自一人回答疑题；（2）被调查者从一个袋子中随机抽取一个球（每个球除颜色不同外,其他规格均相同,且袋中只有白球和红球）,看过球的颜色后即放回袋中；如摸到白球,就回答疑题 2；1；如摸到红球,就回答疑题在调查过程中,被调查者无论回答疑题 1 仍是 2,只需要在问卷“ 是” 或者“ 否” 下方打钩即可,然后将问卷放入一个密封的投票箱内；这种调查方法可以使被调查者在独立的环境下随机抽取问题进行回答,有助于排除被调查者的顾虑；在调查实施过程中,第一要设有m 张问卷（ m较大）,其中有 n张回答“ 是” ,而我无法确定此 m张问卷中有多少张是回答疑题 2

8、的,同样也就无法确定 n 张回答“ 是” 的问卷中有多少张是回答疑题 2的；现在可以确定的两个信息是：（1）在调查参与人数较多的场合中,任选一人生日在 7 月 1 日之前的概率为 0.5 ；（2）袋中红球的比率 是已知的；由全概率公式可得 :P 是=P 白球P 是 白球 +P 红球P 是红球 所以, P红球= ,P 白球=1- ,P是 白球 =0.5 ,P是 红球 =p整理得：n =0.5 （1- ）+p mp；从而可得： p=n0 . 5 1；m综上,即可得出中同学有着吸烟习惯或者有过吸烟经受的比率3.2.2 （全概率公式在保险方面的应用）某保险公司想对其索赔额建立一个模型,以此期望其产品可

9、以获得更好的利润；依据历史的数据,该公司认为具有利好风险的投保人,其索赔额的密度函数为: . . = .-., . 0. 而认为具有利坏风险的投保人,其索赔额的密度函数为：. . =.-.,x 0.其中索赔额以 50000 元人民币为一个单位, 现已知指定的投保人具有利坏风险的可能性是 25%,问这个投保人的索赔额超过一个单位的概率是多少？解：依据题意,设X为索赔额, W为风险的指示变量；就有所给信息可知： 设有利坏风险时, W=1,其概率为 25%；设有利好风险时,W=0,其概率为 75%,从而有 . ./.=. = .-.,. 0; . ./.=. = . .-. .,. 0. 那么由混合

10、型全概率公式可得随机变量X的密度函数为：. . = . ./.=. + . ./.=. .= .-. .+ .-. .= .-.+ . .-. . 而我们要求的是索赔额 可得：X 1的概率,由密度函数与概率之间的关系. 1 = . . .-. .= .-.+= .-. +.-. .此即索赔额大于一个单位的概率；在保险索赔这个问题中, 我们求解的关键是要列出索赔额数在不同风 险下的密度函数； 在此基础上, 我们必需把题设中的信息数据化,设 出一个指示变量,从而进一步使问题变得简洁化；4 总结 本文通过列举有关全概率公式的案例具体介绍了全概率公式及 从 其应用,系统深化的分析了全概率公式在解决实际问题上的应用,中也可以折射出全概率公式应用的广泛性；随着社会经济的飞速进展, 我们面临更多的机遇和挑战； 在现实 生活中,决策者所面对的概率性的问题通常都具有巨大的样本空间以 及繁琐的运算过程, 假如不能很好的挑选一种合理有效的方法去解决 问题,那么就会造成运算步骤过多、 数据处理量大、 漏掉部分数据的 处理等问题, 而这些问题往往会导致运算结果失真,最终影响决策者 的综合判定；本文研讨的全概率公式