老师上课材料力学课件附录1

1、材 料 力 学附录 截面的几何性质Geometric Properties of Plane Figure附录 截面的几何性质Geometric Properties of Plane Figure 受力构件内各个点的应力及构件的变形不但与内力的大小及其分布情况有关,还与构件横截面的形状和尺寸有关。如: 平面图形的几何性质是指由平面图形的形状和尺寸所决定的几何量。 下面主要介绍求解弯曲应力时会遇到的一些特殊的几何量。-1 截面的静矩和形心位置Statical Moment Centroid of AreayczcCrzyAdA平面图形对z轴的静矩为:平面图形对y轴的静矩为:静矩又叫面积矩(Ar

2、ea Moment)它实质上是平面图形对某一轴的一阶矩(First Moment of Area)。-1-1 定义（Definitions)zyO-1 截面的静矩和形心位置Statical MomentCentroid of Area注意与平面分布力 （ 为单位面积上所受之力）之矩即 , 式中yC为图形的形心到z轴的距离。同理 , 式zC中为图形的形心到y轴的距离。（ 为常数，在面内均布时）比较:若把面积A视为“力”，则dA便是微分力。由力矩定理有: 形心C(yC,zC)实质上是平面图形的几何中心。当平面图形代表均质的薄板时，其形心即此薄板的质心。-1 截面的静矩和形心位置Statical M

3、omentCentroid of Area结论:1)S的量纲为L3，常用单位m3,mm3。2)S的大小,与图形和所选轴的相对位置有关。可正、可负、可为0。图形对其自身形心轴(Centroid Axis:过形心的轴)的静矩S0。图形的对称轴必定通过图形的形心(即为形心轴),故其S 0。3)If Sl=0 l 轴必定是形心轴。-1-2形心位置(Centroid Position) 式中Ai 和(yCi,zCi) 分别为构成此组合图形的任一简单几何图形的面积及其形心在Oyz坐标系中的坐标。n为由此组合图形分解成的简单图形的个数。对组合图形:-1 截面的静矩和形心位置Statical MomentCe

4、ntroid of Area-1- 3 Examples : 例题-1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。解:(因求静矩的面积分中的被积函数为单变量函数,故可将其处理为一次积分来求解。) 如图,由相似三角形关系,易得:故:-1 截面的静矩和形心位置Statical MomentCentroid of Area例题-2 试确定图示截面形心C的位置。解:如图,将截面分为I、II两个矩形。矩形矩形故-2 截面的极惯矩轴惯矩惯性积Second Moment of Area 注意与面内均布质量dA的转动惯量(薄板面内某轴z)之比较!rzyAdAzyO 二次矩就是平面图形与某一距离的平方矩

5、或两个相互垂直的距离乘积之矩。故有: 图示平面图形对面内任一点O的极惯矩(Polar Moment of Inertia): 图示平面图形对z轴的轴惯性矩(Moment of Inertia)为: 图示平面图形对y轴的轴惯矩(Moment of Inertia)为: 图示平面图形对任两正交轴yz的惯性积(Product of Inertia):-2 截面的极惯矩轴惯矩惯性积Second Moment of AreaAdAzyOrzy性质1:证明:性质2:Ip 、Iy 、Iz恒为正。且其大小与图形和所选轴(或点)的相对位置有关。性质2:Iyz可正,可负,可为零。且其大小与图形和所选轴的相对位置有

6、关。性质3:对称平面图形对包括其对称轴在内的一对正交轴的惯积 Iyz0 。 Ip 、Iy 、Iz 、Iyz的量纲均为L4；常用单位为:m4 or mm4 。在偏心拉压和压杆稳定分析中,我们还会遇到如右式所示的几何量:(称为惯性半径Radius of Gyration )。惯性半径与理论力学中的回转半径相似。故例题-4 试计算图示园截面对其形心轴(即直径轴)的惯性矩。-2 截面的极惯矩轴惯矩惯性积Second Moment of Area例题-3 试计算图示矩形截面对其对称轴(即形心轴)x和y的轴惯性矩。解:(因求轴惯矩的面积分中的被积函数为单变量函数,故可将其处理为一次积分来求解。)若截面是高

7、度为h的平行四边形,则它对形心轴x的惯性矩同样为:解:-3(1) 轴惯矩和惯性积的平行移轴公式Parallel Axes Theorem or Parallel-Axes FormulasyC为形心轴AzCdA=0而：AdA=A 如图,形心轴为yC,zC,与之平行的对应轴为y,z。则有: y=yC+b ; z=zC+a其中a为y与yC轴间的距离; b为z与zC轴间的距离;易证:故得:同理: 即:由形心轴过渡(转移)到相应的平行轴时,图形的轴惯矩I有一个正的增量a2A(or b2A)。同样，易得 其中a,b为图形形心C在分别与形心轴yC,zC平行的坐标系yOz中的坐标。-3(2) 组合截面的轴惯

8、矩和惯性积Second Moment of Composite Area组合图形:可视为若干个简单几何图形组成的图形。设 则由面积分的性质,有:同理,有:例题-6 图示截面由一个25c号槽钢截面和两个909012角钢截面组成。试求此组合截面的形心轴惯矩Ix和Iy。解:查P359槽钢表和P348等边角钢表,得:25c号槽钢截面:A44.91cm2, IxC3690.45cm4,IyC218.415cm4 909012角钢截面:A20.3cm2, IxCIyC149.22cm4, 其他参数如图所示:25c号槽钢截面:A44.91cm2,IxC3690.45cm4,IyC218.415cm4 909

9、012角钢截面:A20.3cm2,IxCIyC149.22cm4, 其他参数如图所示:根据和列表计算如下:由表得:b=|xC|=24.1mm , Ix=7910104mm4 Iy=966104mm4 如图,如果已知正交坐标轴zOy下平面图形A的惯矩Iy,Iz和惯积Iyz ,如何求绕zOy的原点O转动a角-4(1) 轴惯矩和惯性积的转轴公式Transfer formulas for rotation of axes( 为正， 为负)zyy1z1yzdAAaaaay1z1的新坐标系z1Oy1下，A的轴惯矩Iz1，Iz1和Iz1y1?由图易得:故:由类似的推导,可得:将 代入上面各式，化简得:由转轴

10、公式易得:Iz1+Iy1=Iz+Iy=Ip-4(2) 截面的主惯性轴和主惯性矩Principal Axes and Principal Moments of Inertia 主惯性轴(Principal axes):使 的某一对正交轴y0,z0 ,叫该平面图形的主惯性轴,简称主轴,其上的惯性矩叫主惯性矩。则 此式即为求主轴方向a0的方程。因为 故: 如图,已知:IY,IZ,IZY; 求主轴z0Oy0的方向(即0角)。根据主轴的定义为由惯性积的转轴公式得:如果过一点恒有一对相互正交的主轴z0和y0。-4(2) 截面的主惯性轴和主惯性矩Principal Axes and Principal Mo

11、ments of Inertia注意到 ,其极值应满足:由右图得:代入:并简化得主惯矩:下面证明主轴为 轴惯矩取极值的轴:与 等效。IZ-IY 2a0-2IZY-4(2) 截面的主惯性轴和主惯性矩Principal Axes and Principal Moments of Inertia故得:主轴即图形轴惯矩取极值的轴。 这说明:平面图形的主惯矩是此图形对过同一点的所有轴的轴惯矩中的极大值和极小值。总结:1、对某一平面图形而言,过任一点O必有一对相互正交的主轴。2、某平面图形的主轴即此图形的惯性积为0的轴。3、平面图形对主轴的轴惯矩主惯矩必为极大值 or 极小值。4、已知zOy坐标系下平面图

12、形A的Iy,Iz,Izy，则对O点的主惯矩为:5、主轴方向可由式 确定。-4(3)截面的形心主轴和形心主惯矩Centroid Principal Axes and its Principal Moments of Inertia且此两对称轴间的夹角 ，则过形心的任一轴( l )均为y通过图形形心的主轴叫形心主轴。图形对形心主轴的轴惯矩叫形心主惯矩。结合平行移轴定理知:最小形心主惯矩是图形的最小轴惯矩。 显然有:性质3:对称图形的对称轴为形心主轴,过形心且与对称轴正交的轴是另一形心主轴。性质4:如果某一平面图形有两条对称轴。此平面图形的形心主轴。且:Iy=Iz=Il 。证明:如图,设y，z为此平

13、面图形的两对称轴,且z为与y正交的另一形心主轴，y为与z正交的另一形心主轴。-4(3)截面的形心主轴和形心主惯矩Centroid Principal Axes and its Principal Moments of Inertiay作业:I-20、 补充题:若已知:yOz为某平面图形的主轴坐标系,且Iy=Iz。试证明:过坐标原点O的任意轴均为此平面图形的主轴。设过形心任一轴l与z夹角为a,则有:同样可得:即 l 轴为形心主轴。-5 截面的形心主惯矩I的近似算法 显然对应最大形心主轴，其图形各部分面积离此轴的距离远比离另一形心主轴的距离远一些。 如图,若将任意形状的截面剖分为n个平行于x轴的,

14、高为t的狭长条,则有:-4(3)截面的形心主轴和形心主惯矩Centroid Principal Axes and its Principal Moments of Inertia-4(3)截面的形心主轴和形心主惯矩Centroid Principal Axes and its Principal Moments of Inertia-4(3)截面的形心主轴和形心主惯矩Centroid Principal Axes and its Principal Moments of Inertia附录 截面的几何性质 小 结截面图形几何性质主要内容包括:* 截面图形对指定坐标轴的静矩、惯性矩和惯性积的定义和计算；* 截面图形几何性质的坐标转换公式:平行移轴公式和旋转轴公式；* 截面图形形心主轴的确定和形心主惯性矩的计算。重点是:形心主轴的确定和形心主惯性矩的计算。 形心主轴位置确定分为以下三种情况:(l)截面图形具有两根正交对称轴时,此二根对称轴的交点为形心,两根对称轴为形心主轴。(2)截面图形具有一根对称轴时,则对称轴就是一根形心主轴,另一根形心主轴通过形心且与对称轴垂直。因此,只需求出一个形心坐标。 例如z为对称轴,取y为参考轴,