随机过程读书笔记

1、随机过程读书笔记应用随机过程读书笔记早期的概率论和分析是两个截然不同的领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一 个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分 析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展 成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。 它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛， 紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分 支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于 点过程、估计理论等理论分支。在放假期间，我看了应用随机过程第六章 一鞅

2、的 内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平 竞争的思想，也就是在竞争中付由与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述 现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描 述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细 致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本 概念及其相关性质。定义1随机过程Xn,n0称为关于Yn,n0的下鞅，如果对n0,Xn 时(Y0,Yn)的函数，EXn,并且 E(Xn1|Y0,Yn)Xn , 这里如果对 Xnmax0,Xn。我们称过程 Xn,n0为关于 Yn,n0的 上鞅，n0,Xn 是(Y0,Yn)的函数

3、,EXn,并且 E(Xn1|Y0,Yn)Xn , 这里Xnmax0,Xn。若Xn,n0兼为关于 Yn,n0的下鞅与上鞅， 则称之为关于Yn,n0的鞅。根据鞅的定义，我们可以直接推由以下命题：适应列Xn,Fn,n0是下鞅当且仅当 Xn,Fn,n0是上鞅。 如果Xn,Fn , Yn,Fn是两个下鞅，a, b是两个正常数，则aXnbYn,Fn 是下鞅。如果Xn,Fn, Yn,Fn是两个下鞅，则。max(Xn,Yn),Fn 或 min(Xn,Yn),Fn 是下鞅下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题， 设X1,X2独立同分布，分布函数为 PXilPXil ,于是，可以将Xi(i1,2,)看做一

4、个投硬币的游戏的结果：如果由现正面就赢1元。12由现反面就输1元。假设我们按以下的规则来赌博， 每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博 即停。令 Wna示第n次赌博后所输的总钱数，W00无论如 何，只要赢了就停止赌博，从而 Wn从赢了之后起就不再变 化，于是有PWn11|Wn11假设前n次投由的硬币都由现了反 面，按照规定，我们已经输了1242n12n1,即 Wn(2n1),假如下一次硬币由现的是正面，按规定 Wn12n(2n1)1 ,公平的前提知道PWn11|Wn(2n1)11 , PWn12n2n1|Wn(2n1), 易 证 22E(Wn1|Fn)Wn,这里 Fn(X1,Xn

5、),从而 Wn是关于 Fn 的鞅。 二鞅的停时定理1设Xn,n0是一随机变量序列，称随机函数T是关于Xn,n0的停时，如果T在0,1,2,中取值，而且对每个 n0。Tn(X0,X1,Xn)。2 设 M0,M1,M2,是一个关于 Fn(X0,X1,Xn)的鞅，T 是 停时且满足：PT1; E(MT);E(MnITn)0 ; limn 则有 EMTEM01939年法国概率学家 L evy第一次提由鞅，并作了理 论的奠基工作。随着对 brown运动的随机积分理论的发展， 30年代末至50年代初，Levy和美国概率学家 Doob就创立 了鞅论，并且 Doob将其发扬光大.1953年，Doob在其名著

6、Stochastic Processes中首次系统地介绍了鞅论及其应用成 果，这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分 支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日益凸显.Doob极大不等式定理 设 Z0,Z1,Zn 是一个鞅，MnmaxZ0,Zn。 对 0, PMnE(ZnIM1)nE(Zn);如果E(Zn2),则对0。PMn12E(ZIMn)2n2E(Zn)2。并且 E(Mn2)4E(Zn2)三一致可积性定义1假设有一列随机变量X1,X2,称它们是一直可积的，如果对0,存在0,使得对任意 A,当P(A)时，E(XnIA) 对n成立。因为一致可积的条件比较难验证，下面给由两个

7、一致可 积的充分条件。1假设X1,X2,是一列随机变量，并且存在常数C,使得2E(Xn)C对所有的n成立，则此序列是一致可积的。2设Mn是关于Fn的鞅。如果存在一个非负随机变量Y,满足E(Y),且MnY Xn成立，则 Mn是一致可积鞅。四鞅收敛定理定理 设M0,M1,是关于X0,X1,的鞅，并且存在常数 C使 得E(Mn)C对任意n成立，则当n时，Mn收敛到一个随机变Mn是根据上面的定理，我们可以得由以下结论：如果 关于X0,X1,的一致可积鞅，则limMn存在，记为M并且EMEM0. n五生活举例1设Xn是一个赌徒n次抛掷公平硬币后的财产，如果硬币正面朝上，则赌徒赢得 1美元，硬币反面朝上，

8、则赌徒 输掉1美元。已知历史上所拥有的财产，且下一次试验后赌 徒财产的条件期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是 鞅。这个例子称为赌徒谬误。令 Yn = Xn2 n ,其中Xn是 上例中赌徒的财产，则随机过程 Yn : n = 1,2, 3, . 是鞅。这一例子可以表明赌徒的全部收益或损失大致在抛掷次数的正负平方根之 间变化。 设抛掷的是有偏硬币，正面向上的概率为 p ,反 面向上的概率为q = 1 p 。令正面情况用“ +”，反面情况用。令贝U Yn : n = 1,2, 3, . 是关於 Xn : n = 1,2,3, . 的鞅。证明如下：服从正态分布2一个罐子中最初装有 r个红球和b个

9、蓝球。奥人随机 取由一个球，然后将此球与另一个与此球颜色相同的球放回 罐子中。令 Xn为重复上述步骤 n次后罐子中的红球数，令Yn = Xn/ (n + r + b)。这时随机过程 Yn: n = 1, 2, 3, . 是鞅。3奥一总体可能是按照概率密度 f分布，也可能是按照 概率密度 g分布。从总体中取由一个随机样本，数据为 X1, ., Xn 。令Yn为“似然比”：若总体实际上是按照概率密度f而不是g分布，则 Yn : n = 1,2, 3, . 是关于 Xn : n = 1,2, 3, . 的鞅。4设每一变形虫不是以概率 p分裂成两个变形虫，就是 以概率1 p最终死亡。令Xn为n代后变形

10、虫的存活数目。 令r为最终灭绝的概率。则是关于 Xn: n = 1,2, 3, . 的鞅。当前靴论及随机积分理论己广泛应用于金融系统、随机微分方程、估计理论、随扫 L控制等领域.随着靴论的迅速 发展。如今它已成为各种较有深度的概率论及其相应著作的 一个标准组成部分，所以对教论的进一步研究是非常必要也 是有重要意义的.近年来.对鞅论在理论研究方面已取得了 一定成果，但还远远不够，它的发展还处在初级阶段.现在我们考虑的靴论基本上是一个过程下的靴，这是不受外界干 扰的一种理想状况.因此考虑多个过程下的不确定因素，才 能更贴切、更准确地解决实际问题应用随机过程读书笔记早期的概率论和分析是两个截然不同的

11、领域.1933年，Kolmogorov建立了概率论公理基础，这标志着概率论成为一 个严密的分支.此后学者们更感兴趣于用概率方法来解决分 析问题.于是上世纪40到50年代间，随机分析学迅速发展 成为一门新的学科，被誉为“随机王国中的牛顿定律”.随机分析学的理论受到了众多领域专家、学者的研究和关注。 它的发展是迅速的，也是巨大的，其应用领域越来越广泛， 紧密联系着数学的各个分支，也是近代概率论中最活跃的分 支之一。随着其内容的不断丰富，随机分析己被广泛应用于 点过程、估计理论等理论分支。在放假期间，我看了应用随机过程第六章 一鞅的 内容。鞅是一类特殊的随机过程，鞅的初始概念是源于公平 竞争的思想，

12、也就是在竞争中付由与所期望的收入相匹配。直观地讲，在公平竞争中我们无法凭空创造则富。鞅仅描述 现在所拥有的价值，离散时间鞅仅仅是对过程有个大致的描 述，而连续时间鞅则是对招个过程的一个综合把握，可以细 致而紧凑地研究过程的走向。下面就简单介绍一下鞅的基本 概念及其相关性质。一 定义1随机过程Xn,n0称为关于Yn,n0的下鞅，如 果对n0,Xn 时(Y0,Yn)的函数,EXn,并且 E(Xn1|Y0,Yn)Xn ,这里如果对 Xnmax0,Xn。我们称过程 Xn,n0为关于 Yn,n0的 上鞅，n0,Xn 是(Y0,Yn)的函数,EXn,并且 E(Xn1|Y0,Yn)Xn , 这里Xnmax0

13、,Xn。若Xn,n0兼为关于 Yn,n0的下鞅与上鞅， 则称之为关于Yn,n0的鞅。根据鞅的定义，我们可以直接推由以下命题：适应列Xn,Fn,n0是下鞅当且仅当 Xn,Fn,n0是上鞅。 如果Xn,Fn , Yn,Fn是两个下鞅，a, b是两个正常数，则aXnbYn,Fn 是下鞅。如果Xn,Fn, Yn,Fn是两个下鞅，则。max(Xn,Yn),Fn 或 min(Xn,Yn),Fn 是下鞅下面以一个例子加以说明：考虑一个公平博弈的问题， 设X1,X2独立同分布，分布函数为PXilPXil ,于是，可以将Xi(i1,2,)看做一个投硬币的游戏的结果：如果由现正面就赢1元。12由现反面就输1元。假

14、设我们按以下的规则来赌博， 每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博 即停。令 Wna示第n次赌博后所输的总钱数，W00无论如何，只要赢了就停止赌博，从而Wn从赢了之后起就不再变化，于是有PWn11|Wn11假设前n次投由的硬币都由现了反 面，按照规定，我们已经输了1242n12n1,即 Wn(2n1),假如下一次硬币由现的是正面，按规定 Wn12n(2n1)1 ,公平的前提知道PWn11|Wn(2n1)11 ,PWn12n2n1|Wn(2n1), 易 证22E(Wn1|Fn)Wn,这里 Fn(X1,Xn),从而 Wn是关于 Fn 的鞅。 二鞅的停时定理1设Xn,n0是一随机变量序

15、列，称随机函数T是关于Xn,n0的停时，如果T在0,1,2,中取值，而且对每个 n0。Tn(X0,X1,Xn)。2 设 M0,M1,M2,是一个关于 Fn(X0,X1,Xn)的鞅，T 是 停时且满足：PT1; E(MT);E(MnITn)0 ; limn 则有 EMTEM01939年法国概率学家 L evy第一次提由鞅，并作了理 论的奠基工作。随着对 brown运动的随机积分理论的发展， 30年代末至50年代初，Levy和美国概率学家 Doob就创立 了鞅论，并且 Doob将其发扬光大.1953年，Doob在其名著 Stochastic Processes中首次系统地介绍了鞅论及其应用成 果，

16、这部历史性专著促使鞅成为随机过程理论的一个独立分 支.突飞猛进的研究成果使其在理论和应用上的重要性也日 益凸显.Doob极大不等式定理 设 Z0,Z1,Zn 是一个鞅，MnmaxZ0,Zn。对 0,PMnE(ZnIM1)nE(Zn);如果E(Zn2),则对0。PMn12E(ZIMn)2n2E(Zn)2。并且 E(Mn2)4E(Zn2)三一致可积性定义1假设有一列随机变量X1,X2,称它们是一直可积的，如果对0,存在0,使得对任意 A,当P(A)时，E(XnIA) 对n成立。因为一致可积的条件比较难验证，下面给由两个一致可 积的充分条件。1假设X1,X2,是一列随机变量，并且存在常数C,使得2E

17、(Xn)C对所有的n成立，则此序列是一致可积的。2设Mn是关于Fn的鞅。如果存在一个非负随机变量Y,满足E(Y),且MnY Xn成立，则 Mn是一致可积鞅。四鞅收敛定理定理 设M0,M1,是关于X0,X1,的鞅，并且存在常数 C使 得E(Mn)C对任意n成立，则当n时，Mn收敛到一个随机变 量M根据上面的定理，我们可以得由以下结论：如果 Mn是 关于X0,X1,的一致可积鞅，则limMn存在，记为M并且EMEM0. n五生活举例1设Xn是一个赌徒n次抛掷公平硬币后的财产，如果 硬币正面朝上，则赌徒赢得1美元，硬币反面朝上，则赌徒输掉1美元。已知历史上所拥有的财产，且下一次试验后赌 徒财产的条件

18、期望与其现在的财产相等，故这一随机过程是 鞅。这个例子称为赌徒谬误。令 Yn = Xn2 n ,其中Xn是 上例中赌徒的财产，则随机过程 Yn : n = 1,2, 3, . 是鞅。这一例子可以表明赌徒的全部收益或损失大致在抛掷次数的正负平方根之 间变化。 设抛掷的是有偏硬币，正面向上的概率为p ,反面向上的概率为q = 1 p 。令正面情况用“ +”，反面情况用。令贝U Yn : n = 1,2, 3, . 是关於 Xn : n = 1,2,3, . 的鞅。证明如下：服从正态分布2一个罐子中最初装有 r个红球和b个蓝球。奥人随机 取由一个球，然后将此球与另一个与此球颜色相同的球放回 罐子中。令 Xn为重复上述步骤 n次后罐子中的红球数，令 Yn = Xn/ (n + r + b)。这时随机过程 Yn: n = 1, 2, 3, . 是鞅。3奥一总体可能是按照概率密度 f分布，也可能是按照 概率密度 g分布。从总体中取由一个随机样本，数据为X1, ., Xn 。令Yn为“似然比”：若总体实际上是按照概率密度f而不是g分布，则 Yn : n = 1,2, 3, . 是关于 Xn : n = 1,2, 3, . 的鞅。4设每一变形虫不是以概率p分裂成两个变形虫